新人教版第十二章全等三角形全章教案资料.docx
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新人教版第十二章全等三角形全章教案资料
第十二章全等三角形
§12.1全等三角形
教学目标
(一)知识技能:
1、了解全等形及全等三角形的概念。
2、理解掌握全等三角形的性质。
3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。
(二)过程与方法:
1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念,培养几何直觉。
2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等
三角形的体验。
(三)情感态度与价值观:
在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。
教学重点:
全等三角形的性质.
教学难点:
找全等三角形的对应边、对应角.
预习导航:
什么是全等三角形?
如何找全等三角形的对应边和对应角?
全等三角形有哪些性质?
教学过程
(一)提出问题,创设情境
出示投影片
:
1.问题:
你能
发现这两个图形有什么美妙
的关系吗?
这两个图形是完全重合的.
2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F
生:
同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.
3.学生自己动手(同桌两名同学配合)
取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样.
4.获取概念
让学生用自己的语言叙述:
全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、
对应边,以及有关的数学符号.
记作:
△ABC≌△A’B’C’符号“≌”读作“全等于”
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
(二).新知探究
利用投影片演示
1.活动:
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
2.议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
3.观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?
对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
得到全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.
全等三角形的对应角相等.
(三)例题讲解
[例1]如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
1.分析:
△OCA≌△OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使两三角形重合?
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点,所以C和B重合,A和D重合.
∠C=∠B;∠A=∠D;∠AOC=∠DOB.AC=DB;OA=OD;OC=OB.
2.总结:
两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.
[例2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
1.分析:
对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来.
2小结:
找对应边和对应角的常用方法有:
(1)有公共边的,公共边是对应边.
(2)有公共角的,公共角是对应角.
(3)有对顶角的,对顶角是对应角一对最长的边是对应边,
一对最短的边是对应边.
(4)一对最大的角是对应角,一对最小的角是对应角
(5)全等三角形对应角所对的边是对应边;
两个对应角所夹的边也是对应边.
(6)全等三角形对应边所对的角是对应角;
两条对应边所夹的角是对应角
(四)课堂练习
1、填空
点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△______重合,这说明△AOB≌△______.这两个三角形的对应边是AO与_____,OB与_____,BA与______;对应角是∠AOB与________,∠OBA与________,∠BAO与________.
2、判断题
1)全等三角形的对应边相等,对应角相等。
( )
2)全等三角形的周长相等,面积也相等。
( )
3)面积相等的三角形是全等三角形。
( )
4)周长相等的三角形是全等三角形。
( )
(五).课时小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,
并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课
大家要重点掌握的.
找对应元素的常用方法有以下几种:
(一)从运动角度看
1.翻转法:
找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
2.旋转法:
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
3.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(二)根据位置元素来推理
1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.
2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
3.有公共边的,公共边是对应边.
4.有公共角的,公共角是对应角.
5.有对顶角的,对顶角是对应角一对最长的边是对应边,
一对最短的边是对应边.
一对最大的角是对应角,一对最小的角是对应角
(六)作业
(七)教学反思:
§12.2三角形全等的判定
§12.2.1三角形全等的判定
(一)
教学目标
(一)知识与技能
1、三角形全等的“边边边”的条件.
2、了解三角形的稳定性.
3、作一个角等于已知角。
(二)过程与方法:
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
(三)情感态度价值观:
体会探索全等的条件,通过合作交流,
形成良好的思维
教学重点:
三角形全等的条件.
教学难点:
寻求三角形全等的条件.
预习导航:
1、已知三角形三边如何作三角形?
2、如何判定三角形全等?
3、如何作一个角等于已知角?
教学过程
(一).创设情境,引入新课
出示投影片,已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
展示课作前准备的三角形纸片,提出问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
(可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).
这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我们就来探究这个问题.
(二).导入新课
出示投影片
活动1:
探究
1.只给一个条件(一组边相等或一组角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°和50°.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:
一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:
有四种可能.即:
三内角、三条边、两边一内角、两内角一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
活动2:
已知三边作三角形
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.画图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.
3.特殊的三角形有这样的规律,要是任意画一个三角形ABC,根据前面作法,同样可以作出一个△A′B′C′,使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′.将△A′B′C′剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:
作法:
(略)
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
活动3:
定理的应用用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.
[例]如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.
[师生共析]要证△ABD≌△ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.
生活实践的有关知识:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
有前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法。
已知:
∠AOB。
求做:
∠A′B′C′,使∠A′B′C′=∠AOB
作法:
略
(三).随堂练习
1.如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
2.课本P9练习.
(四).课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
(五).作业
1.习题12.2复习巩固1、2.习题12.2综合运用9.
教学反思:
§12.2.2三角形全等的判定
(二)
教学目标
知识技能;1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
过程与方法:
3.掌握三角形全等的“SAS”条件,了解三角形的稳定性.
4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
情感态度与价值观:
在探究三角形全等的过程中学生通过交流合作获取快乐。
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
预习导航:
三角形全等的判定方法是什么?
教学过程
一、创设情境,复习提问
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么?
二、新课讲解
1.三角形全等的判定
(二)
(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么,怎样才能判定两个三角形全等呢?
也就是说,具备什么条件的两个三角形能全等?
是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”?
现在我们用图形变换的方法研究下面的问题:
如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
(此外,还可以图1
(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数,也将与△ABD重合.图1
(2)中的△ABC绕着点A旋转,使AB与AE重合,再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°.两个三角形也可重合)
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
2.上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
3.边角边公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
4.猜一猜:
是不是两条边和一个角对应相等,这样的两个三角形一定全等吗?
你能举例说明吗?
如图△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=BD,∠B=∠B
他们全等吗?
三、例题与练习
例1已知:
AD∥BC,AD=CB(图3).
求证:
△ADC≌△CBA.
问题:
如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件(AF=CE或AE=CF)?
怎样证明呢?
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.
求证:
△ABE≌△ACF.
例2已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
四、小结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
五、作业:
习题12.2
第3和第4题
教学反思
§12.2.3三角形全等的判定(三)
教学目标:
知识技能1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件
2.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题
过程与方法:
通过作图、对比、发现,小结得出三角形的判定方法。
情感态度价值观:
在探究中感受推理的魅力,在成功中获得喜悦,在分析中提升思维能力。
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究.
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明.
预习导航:
1探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等。
2、会利用新的判定方法判定两个三角形全等。
教学过程
(一).提出问题,创设情境
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
(二).新课讲解
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题2:
三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
问题3:
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,画任意一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
作法①作线段A′B′,使A′B′=AB
②分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边在同一侧作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
③射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.
将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
问题4:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
5.探究:
对于三个角对应相等的两个三角形全等吗?
如图,△ABC和△ADE中,如果DE∥AB,则∠A=∠A,∠B=∠ADE,
∠C=∠AED,但△ABC和△ADE不重合,所以不全等。
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
[例]如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
(三).随堂练习
1.课本P41练习1、2.
2.补充练习
图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
答案:
图
(1)中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB.图
(2)由“AAS”可证得△ACE≌△BDC.
(四).课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
(五).作业
1.课本习题12.2─5、6题.
教学反思:
§12.2.4三角形全等的判定---直角三角形全等的判定(四)
教学目标
知识与技能1.、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题
过程与方法2、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
情感态度价值观:
3、在学习过程中,通过交流合作,使学生体会成功的喜悦。
教学重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
预习导航:
直角三角形的判定方法有哪些?
直角三角形的判定方法中哪种方法是直角三角形所独有的?
它独特之处是什么?
教学过程
(一).提出问题,复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,
斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(二).情境导入:
舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗?
方法一:
测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)
方法二:
测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)
⑵如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗?
下面我们来验证一下吧。
(三).新知探究:
探索练习:
(动手操作):
已知线段a,c(a 利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠ , AB=c,CB=a 1、按步骤作图: ac 1作∠MCN=∠ =90°, 2在射线CM上截取线段CB=a, ③以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A, ④连结AB 2、与同桌重叠比较,是否重合? 3、从中你发现了什么? 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL) 4.直角三角形的判定方法有哪些? 三角形判定全等的方法: SAS、ASA、AAS、SSS, 还有直角三角形特殊的判定方法——“HL” (四)例题讲解: 如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E, AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗? 说说你的理由 答: 理由 (五)巩固练习: 1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高, 则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”) 根据(用简写法) 2.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F, (1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF, 根据 (2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF, 根据 (3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF, 根据 (4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。 则△ACE≌△BDF, 根据 (5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF, 根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有() (A)两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等 (C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等 4、如图,广场上有两根旗杆,已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的,那么这两根旗杆高度相等吗? 说说你的理由。 (六)提高练习: 判断题: (1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。 () (2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等() (3)一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等() (4)两直角边对应相等的两个直角三角形全等() (5)两边对应相等的两个直角三角形全等() (6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等() (7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等() (8)一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等() (七)课时小结 至此,我们有六种判定三角形全等的方法: 1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS) 3.边角边(SAS) 4.角边角(ASA) 5.角角边(AAS) 6.HL(仅用在直角三角形中) (八)作业 1.课本习题12.2─7.8题. 教学反思 全等三角形的判定综合练习课 一、基本概念回顾: 1、判定一般两个三角形全等的方法: SSS、SAS、ASA、AAS 2、判定直角三角形全等的方法: HL 二、知识应用: 1、已知: 如图,点D、E在BC上,且BD=CE,AD=AE, 求证: AB=AC. 2、已知: 如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF, 求证: △ABC≌△DEF. 3、已知: BE⊥CD,BE=DE,BC=DA, 求证: ①△BEC≌△DAE; ②DF⊥BC. 4、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的
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