高中数学《数学归纳法》专题自测试题.docx
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高中数学《数学归纳法》专题自测试题
2015年高中数学《数学归纳法》专题自测试题
【梳理自测】
1.(教材习题改编)用数学归纳法证明1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=16n(n+1)(n+2)时,当n=1时,等式左边有________.()
A.1项B.2项C.3项D.n项
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于()
A.1B.2C.3D.0
3.用数学归纳法证明:
“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*)”在验证n=1时,左端计算所得的项为()
A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3
4.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.
5.(教材习题改编)用数学归纳法证明1+12+13+…+12n-1<n(n∈N,且n>1),第一步要证的不等式是________.
答案:
1.A2.C3.C4.180°5.1+12+13<2
◆以上题目主要考查了以下内容:
数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述方法叫做数学归纳法.
【指点迷津】
1.一类问题
数学归纳法是用来证明与正整数n有关的命题.
2.二个步骤
第一步是递推的“基础”,第二步是递推的“依据”,两个步骤缺一不可.
3.三个防范
①n0不一定是1.
②n=k成立时,下一个后继数可能是n=k+1或者n=k+2等.
③证明n=k+1命题成立时,必须用n=k的结论.
考向一用数学归纳法证明等式
例题1是否存在常数a,b,c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n+112(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?
并证明你的结论.
【审题视点】由n=1,n=2,n=3代入,求a,b,c,再用数学归纳法证明等式成立.
【典例精讲】假设存在符合题意的常数a,b,c,在等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n+112(an2+bn+c)中,
令n=1,得4=16(a+b+c)①
令n=2,得22=12(4a+2b+c)②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,对于n=1,2,3都有
1·22+2·32+…+n(n+1)2
=n(n+112(3n2+11n+10)(*)式成立.
下面用数学归纳法证明:
对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述知,(*)式成立.
(2)假设n=k(k∈N*)时,(*)式成立,
即1·22+2·32+…+k(k+1)2=k(k+112(3k2+11k+10),
那么当n=k+1时,
1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=k(k+112(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(k+112(3k2+5k+12k+24)
=(k+112[3(k+1)2+11(k+1)+10],
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.
【类题通法】用数学归纳法证明等式时,要注意第
(1)步中验证n0的值,如本题要取n0=2,在第
(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式.
变式训练
1.n∈N*,求证:
1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1
+1n+2+…+12n.
证明:
(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=11+1=12.左边=右边.
(2)假设n=k时等式成立,即1-12+13-14+…+12k-1-12k=1k+1+1k+2+…+12k,
则当n=k+1时,
12k+12k+2
=12k+12k+2
=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2.
即当n=k+1时,等式也成立.
综合
(1),
(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.
考向二用数学归纳法证明不等式
例题2已知函数f(x)=13x3-x,数列{an}满足条件:
a1≥1,an+1≥f′(an+1).试比较11+a1+11+a2+11+a3+…+11+an与1的大小,并说明理由.
【审题视点】由an+1≥f′(an+1)归纳猜想an的不等式,再得出11+an的不等关系,求和比较大小.
【典例精讲】∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1.
∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1≥23-1,由此猜想:
an≥2n-1.
下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.
由①、②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1.
即1+an≥2n,∴11+an≤12n,
∴11+a1+11+a2+11+a3+…+11+an≤12+122+123+…+12n=1-12n<1.
【类题通法】在由n=k到n=k+1的推证过程中,应用放缩技巧,使问题得以简化,用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
变式训练
2.设数列{an}满足a1=2,an+1=an+1an(n=1,2,…).
证明:
an>对一切正整数n都成立.
证明:
当n=1时,a1=2>,不等式成立.
假设当n=k(k∈N*)时,ak>成立.
那么当n=k+1时,
a2k+1=a2k+2k+2>2k+3+2k>2(k+1)+1.
∴当n=k+1时,ak+1>成立.
综上,an>对一切正整数n都成立.
考向三归纳、猜想、证明
例题3(2014·东北三校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn=an2+1an-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明通项公式的正确性.
【审题视点】当n=1时,建立关于a1的方程,求a1,再由a1建立a2的方程求a2,a3猜想an.由ak的表达式建立ak+1的方程,求ak+1.用数学归纳法证明.
【典例精讲】
(1)当n=1时,
由已知得a1=a12+1a1-1,a21+2a1-2=0.
∴a1=-1或a1=--1(舍去).xKb1.Com
当n=2时,由已知得a1+a2=a22+1a2-1,
将a1=-1代入并整理得a22+2a2-2=0.
∴a2=-或a2=--(舍去).
同理可得a3=-.
由a1,a2,a3,猜想an=-(n∈N*).
(2)证明:
①由
(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立,即ak=-.
那么由ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-ak2-1ak,
将ak=-代入上式并整理得a2k+1+2ak+1-2=0,
解得:
ak+1=-
或ak+1=--(舍去).
即当n=k+1时,通项公式也成立.
由①和②,可知对所有n∈N*,an=-都成立.
【类题通法】利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.
变式训练
3.(2014·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1=12,xn+1=11+xn,n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论.
解析:
由x1=12及xn+1=11+xn,
得x2=23,x4=58,x6=1321,
由x2>x4>x6猜想:
数列{x2n}是递减数列.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立.
(2)假设当n=k时命题成立,即x2k>x2k+2,易知xk>0,那么x2k+2-x2k+4=11+x2k+1-11+x2k+3
=x2k+3-x2k+1(1+x2k+1
=x2k-x2k+2(1+x2k>0,
即x2(k+1)>x2(k+1)+2.
也就是说,当n=k+1时命题也成立.
结合
(1)和
(2)知命题成立.
典型例题(2014·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=a2n+n,an>0(n∈N*).
(1)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明:
+≤.
【解题指南】
(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,从而可猜想an,并用数学归纳法证明.
(2)利用分析法,结合x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式可证.
【思维流程】
寻找特例a1,a2,a3等.
猜想an的公式.
转换递推公式为an与an-1的关系.
用数学归纳法证明an.
①验证递推公式中的第一个自然数n=2.
②推证ak+1的表达式为k+1.
③补验n=1,说明对于n∈N*成立.
分析法证明.
【规范解答】
(1)分别令n=1,2,3,得
2+3,
∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.
猜想:
an=n.………………2分
由2Sn=a2n+n①
可知,当n≥2时,2Sn-1=a2n-1+(n-1)②
①-②,得2an=a2n-a2n-1+1,
即a2n=2an+a2n-1-1.………………3分
(ⅰ)当n=2时,a22=2a2+12-1,
∵a2>0,∴a2=2.…………………………4分
(ⅱ)假设当n=k(k≥2)时,ak=k,那么当n=k+1时,
a2k+1=2ak+1+a2k-1=2ak+1+k2-1
⇒[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0,
∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,
∴ak+1=k+1.……………………
即当n=k+1时也成立.……………………6分
∴an=n(n≥2).
显然n=1时,也成立,故对于一切n∈N*,均有an=n.7分
(2)要证+≤,
只要证nx+1+2+ny+1≤2(n+2).…………8分
即n(x+y)+2+2≤2(n+2),
将x+y=1代入,得2≤n+2,
即只要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2,
即4xy≤1.10分
∵x>0,y>0,且x+y=1,∴≤x+y2=12,
即xy≤14,故4xy≤1成立,所以原不等式成立.12分
【规范建议】
(1)为了正确地猜想an,首先准确求出a1,a2,a3的值.
(2)证明n=k到n=k+1这一步时,不要忽略了假设条件去证明,造成不是纯正的数学归纳法.
如本题:
2Sn-1=a2n-1+n-1
∴2(Sn-Sn-1)=a2n-a2n-1+1推导an与an-1的递推关系,再推出an,则不是数学归纳法.
(3)第二问中不等式证明不是关于n的不等式,由x+y=1来推证,则不能称为数学归纳法.
真题体验
1.(2012·高考天津卷)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:
Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).
解析:
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.
由条件,得方程组2+3d+2q3=27,8+6d-2q3=10,解得d=3,q=2.
所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.
(2)证明:
(方法一)由
(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,①
2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.②
②-①,得
Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
=12(1-2n-11-2+2n+2-6n+2
=10×2n-6n-10.
而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12
=10×2n-6n-10,
故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.
(方法二)
(1)当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立;
(2)假设当n=k时等式成立,
即Tk+12=-2ak+10bk,
则当n=k+1时有
Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1
=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)
=ak+1b1+qTk
=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)
=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24
=-2ak+1+10bk+1-12,
即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.
因此n=k+1时等式也成立.
由
(1)和
(2),可知对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立.
2.(2012·高考全国卷)函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:
x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.
(1)证明:
2≤xn<xn+1<3;
(2)求数列{xn}的通项公式.
解析:
(1)证明:
①当n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为
y-5=f(22-4(x-4),
令y=0,解得x2=114,所以2≤x1<x2<3.
②假设当n=k时,结论成立,即2≤xk<xk+1<3.
直线PQk+1的方程为
y-5=f(xk+1xk+1-4(x-4),
令y=0,解得xk+2=3+4xk+12+xk+1.
由归纳假设知
xk+2=3+4xk+12+xk+1=4-52+xk+1<4-52+3=3;
xk+2-xk+1=(3-xk+12+xk+1>0,
即xk+1<xk+2.
所以2≤xk+1<xk+2<3,即当n=k+1时,结论成立.
由①②知对任意的正整数n,2≤xn<xn+1<3.
(2)由
(1)及题意得xn+1=3+4xn2+xn.
设bn=xn-3,则
1bn+1=5bn+1,
1bn+1+14=514,
数列14是首项为-34,公比为5的等比数列.
因此1bn+14=-34·5n-1,
即bn=-43·5n-1+1,
所以数列{xn}的通项公式为
xn=3-43·5n-1+1.
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