人教版数学中考《直线与圆的位置关系》专题复习精品教案.docx
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人教版数学中考《直线与圆的位置关系》专题复习精品教案
中考数学人教版专题复习:
直线与圆的位置关系
一、考点突破
1. 探索直线与圆的位置关系,感受类比、转化、数形结合等数学思想;
2. 理解直线和圆的三种位置关系,注意区分相切和相交的概念。
二、重难点提示
重点:
会判断直线和圆的位置关系;概念。
难点:
直线和圆的位置关系的综合运用。
考点精讲
1. 直线与圆的位置关系
① 相交:
直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆
的割线,公共点叫做交点;
② 相切:
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆
的切线,这个唯一的公共点叫做切点;
③ 相离:
直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
【要点诠释】
判断直线与圆的位置关系时,直接比较圆心到直线的距离与圆的半径的大
小即可。
设⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d 。
那么:
直线 l 与⊙O 相交 <====> d<r
直线 l 与⊙O 相切 <====> d=r
- 1 -
直线 l 与⊙O 相离 <====> d>r
2. 切线的判定和性质
① 切线的判定定理:
过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线。
② 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
注意:
证明圆的切线必须满足两个条件:
(1)点 A 在圆上,
(2)过点 A 的半径与直线垂直。
【核心归纳】 在解题过程中,如果有“圆的切线”这个条件,我们常用的方法
是连接切点与圆心,构造直角三角形,记住口诀“见切点,连半径”,它是解
决有关切线问题的重要辅助线。
③ 三角形的内切圆:
与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三
角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。
【核心突破】
名称确定方法
图形 性质
外心(三角
形外接圆
的圆心)
三角形三边中
垂线的交点
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在
三角形的内部。
- 2 -
内心(三角
形内切圆
的圆心)
三角形三条角
平分线的交点
(1)到三边的距离
相等;
( 2 )OA 、OB 、 OC
分 别 平 分 ∠BAC 、
∠ABC、∠ACB;
(3)内心在三角形
内部。
3. 切线长定理
① 切线长:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫
做这点到圆
的切线长。
② 切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
如下图:
圆外一点 P 与圆 O 相切于 D,E 两点,所以有 PD=PE,可以通过连
接 OP 来证明。
注意:
圆心和圆外一点的连线平分圆经过这个点的两条切线的夹角。
典例精析
例题 1 如图,矩形 ABCD 的长为 6,宽为 3,点 O 为矩形的中心,⊙O 的半
12
径为 1,O O ⊥AB 于点 P,O O =6.若⊙O 绕点 P 按顺时针方向旋转 360°,在旋
12122
转过程中,⊙O 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()
2
A. 3 次B. 4 次C. 5 次D. 6 次
思路分析:
根据题意作出图形,直接写出答案即可.
答案:
如图,⊙O 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出 现 4 次,故选 B.
2
- 3 -
A
D
O
2
P
O
1
B
C
技巧点拨:
本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是了解当圆与直
线相切时,点到圆心的距离等于圆的半径。
例题 2如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 A,弦 CD∥AB,E,F 为圆上的两点,
且∠CDE=∠ADF.若⊙O 的半径为 5 ,CD=4,则弦 EF 的长为()
2
A. 4B. 2 5
C. 5 D. 6
思路分析:
首先连接 OA,并反向延长交 CD 于点 H,连接 OC,由直线 AB 与
⊙O 相切于点 A,弦 CD∥AB,可求得 OH 的长,然后由勾股定理求得 AC 的长,又
由∠CDE=∠ADF,可证得 EF=AC,继而求得答案。
答案:
连接 OA,并反向延长交 CD 于点 H,连接 OC,
∵直线 AB 与⊙O 相切于点 A,∴OA⊥AB,
∵弦 CD∥AB,∴AH⊥CD,∴CH= 1 CD= 1 ×4=2,
22
∵⊙O 的半径为 5 ,∴OA=OC= 5 ,∴OH= OC 2 - CH 2 = 3 ,
222
∴AH=OA+OH= 5 + 3 =4,∴AC=AH 2 + CH 2 =2 5 。
22
⋂⋂⋂
故选 B.
技巧点拨:
此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理
等知识。
此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,及掌握数形结合思想的应用。
- 4 -
例题 3如图 1,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,AB=4,BC=2,
P 是⊙O 上半部分的一个动点,连接 OP,CP。
(1)求△OPC 的最大面积;
(2)求∠OCP 的最大度数;
(3)如图 2,延长 PO 交⊙O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB 时,求证:
CP 是⊙O
的切线.
思路分析:
(1)在△OPC 中,底边 OC 的长度固定,因此只要 OC 边上的高
最大,则△OPC 的面积最大;观察图形,当 OP⊥OC 时满足要求;
(2)PC 与⊙O
相切时,∠OCP 的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接 AP,BP,通
过△ODB≌△BPC 可求得 DP⊥PC,从而求得 PC 是⊙O 的切线。
答案:
(1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4.
在△OPC 中,设 OC 边上的高为 h,
∵S
OPC
1 OC•h=2h,∴当 h 最大时,S
2
△OPC
取得最大值.
观察图形,当 OP⊥OC 时,h 最大,如答图 1 所示:
此时 h=半径=2,S=2×2=4.∴△OPC 的最大面积为 4。
△OPC
(2)当 PC 与⊙O 相切时,∠OCP 最大。
如答图 2 所示:
∵sin∠OCP= OP = 1 ,∴∠OCP=30°∴∠OCP 的最大度数为 30°。
OC2
⋂⋂
⋂⋂
⎧BC = OB = 2
=∠ABD=∠C,在△ODB 与△BPC 中 ⎪CP = BD,∴ODB≌△BPC(SAS),∴∠D
⎩
- 5 -
=∠BPC,∵PD 是直径,∴∠DBP=90°,∴∠D+∠BPD=90°,∴∠BPC+∠BPD
=90°,∴DP⊥PC,∵DP 经过圆心,∴PC 是⊙O 的切线。
技巧点拨:
本题考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作
出辅助线构建直角三角形是解题的关键。
提分宝典
【综合拓展】
顶点与切点间的线段长和三角形三边的关系
如图,⊙I 切△ABC 三边于点 D、E、F,则 AD=AF= 1 (AB+AC-BC),BD
2
=BE= 1 (AB+BC-AC),CE=CF= 1 (AC+BC-AB)。
特别地,当∠C 是直角时,
22
如图所示,四边形 CEIF 是正方形,内切圆半径 r=CF= 1 (CA+CB-AB),S
2
△ABC
= 1 rl(其中 r、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长)。
掌握这些结论对解填
2
空题、选择题很有帮助。
A
A
B
D
I
E
F
C B
D
I
E
F
C
【针对训练】
如图,△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,⊙O 内切于△ABC,则阴影部分的
面积为()
A. 12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π
思路分析:
显然图中阴影部分的面积是△ABC 和其内切圆的面积差,解决本
题的关键是求出三角形内切圆的半径;在 Rt△ABC 中,已知 BC、AC 的长,可由
勾股定理求得斜边 AB 的长;进而可根据直角三角形内切圆半径公式求得△ABC
的内切圆半径,进而可求出其面积,由此得解。
答案:
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3;
根据勾股定理 AB= AC 2 + BC 2 =5;
若设 Rt△ABC 的内切圆的半径为 R,则有:
R= AC + BC - AB =1,
2
∴S
阴影
=S
ABC
= 1 AC•BC-πR2= 1 ×3×4-π×1=6-π。
圆
故选 D。
技巧点拨:
本题考查了直角三角形内切圆的性质、三角形的面积公式、圆
的面积公式。
- 6 -
中考数学人教版专题复习:
直线与圆的位置关系练习题
1. 已知⊙O 的半径 r=3,设圆心 O 到一条直线的距离为 d,圆上到这条直线的
距离为 2 的点的个数为 m,给出下列命题:
①若 d>5,则 m=0;②若 d=5,则 m=1;③若 1<d<5,则 m=3;④若 d=1,
则 m=2;⑤若 d<1,则 m=4.其中正确命题的个数是()
A. 1B. 2C. 3D. 5
2. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为(-3,
0),将⊙P 沿 x 轴正方向平移,使⊙P与 y 轴相切,则平移的距离为()
A. 1B. 1 或 5C. 3D. 5
3. 在三角形 ABC 中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和 BC、AC、AB
切于点 D、E、F,那么 AF 、BD、CE 的长分别为()
A. AF=4,BD=9,CE=5B. AF=4,BD=5,CE=9
C. AF=5,BD=4,CE=9D. AF=9,BD=4,CE=5
**4. 如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 均在函数 y= k (k>0,x>0)的
x
图象上,⊙A 与 x 轴相切,⊙B 与 y 轴相切.若点 B 的坐标为(1,6),⊙A 的
半径是⊙B 的半径的 2 倍,则点 A 的坐标为()
A. (2,2)B. (2,3)C. (3,2)D. (4, 3 )
2
D
**5. 一般地,如果在一次实验中,结果落在区域 D 中的每一个点都是等可能
的,用 A 表示“实验结果落在 D 中的某个小区域 M 中”这个事件,那么事件 A
发生的概率 P = M .如图,现往等边△ABC 内射入一个点,则该点落在△ABC 内
A
切圆中的概率是。
- 7 -
**6. 如图,AB 是⊙O 的直径,点 D、T 是圆上的两点,且 AT 平分∠BAD,过
点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ,垂足为 C.若⊙O 的半径为 2,TC=3 ,则图中阴影
部分的面积是.
7. 如图,AB,AC 分别是半⊙O 的直径和弦,OD⊥AC 于点 D,过点 A 作半⊙O
的切线 AP,AP 与 OD 的延长线交于点 P.连接 PC 并延长,与 AB 的延长线交于点
F.
(1)求证:
PC 是半⊙O 的切线;
(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段 BF 的长.
**8. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,弦 ED⊥AB 于点 F,交 BC
于点 G,过点 C 的直线与 ED 的延长线交于点 P,PC=PG.
(1)求证:
PC 是⊙O 的切线;
(2)当点 C 在劣弧 AD 上运动时,其他条件不变,若 BG2=BF•BO.求证:
点
G 是 BC 的中点;
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