北京市101中学届高三数学理统练试题5含答案.docx
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北京市101中学届高三数学理统练试题5含答案
北京一零一中2018-2019学年度第一学期高三数学(理)统练五
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数,则实数的值为()
A.1B.0C.D.-1
【答案】D
设
,得到:
+
∴,且
解得:
故选:
D
2.已知为等差数列,为其前n项和,若,则()
A.17B.14C.13D.3
【答案】B
【分析】
根据等差数列的前n项和公式求出公差d,再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d,由等差数列前n项和公式知,
,
解得,,
所以,故答案选B。
【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式,关键是掌握两个公式,准确进行基本量计算,属于基础题。
3.“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据充要条件的定义进行判断即可。
【详解】由得,,所以是充分条件;
由可得,所以是必要条件,
故“”是“”的充要条件。
答案选C。
【点睛】本题考查充分必要条件的定义,不等式的性质,属于基础题。
4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像,则a的值可以为()
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
因为结果得到函数已知,可以逆向思考,反向得到函数的图像,确定相等关系。
【详解】由题意知,,
其图像向左平移a个单位得到函数,
而函数,所以有
,取得。
答案选C。
【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像,在具体问题中,可先平移后伸缩变换,也可以先伸缩后平移变换,但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言,故先伸缩后平移时要把x前面的系数变为1。
当前后两个函数名称不同的,可先运用诱导公式,化为同名函数,再进行图像平移。
5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本,分给三个同学去读,其中《红楼梦》为必读,则不同的分配方法共有()
A.6种B.12种C.18种D.24种
【答案】C
【分析】
可以分两步进行:
(1)先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本,共有种选法;
(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列,对应分给三名学学,有种排法,根据乘法原理,即可得到答案。
【详解】
(1)先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本,共有种选法;
(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列,对应分给三名学学,有种排法,根据乘法原理,不同的分配方法有种。
答案选C。
【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题,求解的关键是正确理解“4本不同的名著中选出3本,分给三个同学去读,其中《红楼梦》为必读”这个条件,本题属于一个中档题。
6.已知△的内角的对边分别为,若,,则△面积的最大值是
A.B.C.D.
【答案】B
由题意知,由余弦定理,,故,有,故.
故选:
B
7.如图,已知直线与曲线相切于两点,函数,则函数()
A.有极小值,没有极大值B.有极大值,没有极小值
C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义,讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系,从而得出的单调区间,结合极值的定义,即可得出结论。
【详解】
如图,由图像可知,当时,单调递增,所以有且。
对于=,
有,所以在时单调递减;
当时,单调递减,所以有且。
有,所以在时单调递增;
所以是的极小值点。
同样的方法可以得到是的极小值点,是的极大值点。
故答案选C。
【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,函数导数与单调性,与函数极值之间的关系,属于基础题。
8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:
①;
②A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,
则有序集合对(A,B)的个数为()
A.10B.12C.14D.16
【答案】A
【分析】
根据条件:
A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,分别讨论集合A、B中元素的个数,列举所有可能,即可得到结果。
【详解】根据条件:
A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素
1、当集合A只有一个元素时,集合B中有5个元素,且,此时仅有一种结果,;
2、当集合A有两个元素时,集合B中有4个元素,且,此时集合A中必有一个元素为4,集合B中必有一个元素为2,故有如下可能结果:
(1),;
(2),;(3),;(4),。
共计4种可能。
3、可以推测集合A中不可能有3个元素;
4、当集合A中的4个元素时,集合B中的2个元素,此情况与2情况相同,只需A、B互换即可。
共计4种可能。
5、当集合A中的5个元素时,集合B中的1个元素,此情况与1情况相同,只需A、B互换即可。
共1种可能。
综上所述,有序集合对(A,B)的个数为10。
答案选A。
【点睛】本题主要考查排列组合的应用,根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键。
二、填空题共6小题。
9.已知集合,则M∩N=____________.
【答案】
【分析】
分别化简集合M与集合N,取二者交集即可。
【详解】化简集合M和N得,,或,
所以=。
【点睛】本题考查集合的化简与集合的交集运算,属于基础题。
10.在等比数列中,,且,则的值为____________.
【答案】5
【分析】
设等比数列的公比为q,结合条件建立关于q的方程,求出和即可。
【详解】设等比数列的公比为q,则有
解得或,
所以或
故=5。
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及基本量的计算,属于基础题,较简单。
11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为____________.
【答案】0
【分析】
不等式恒成立等价于恒成立,因此可构造函数,求其最值,从而找到命题不成立的具体值。
【详解】设函数,则有
,
当时,有,单调递减;
当时,有,单调递增;
故为最小值点,有。
因此,当时,命题不能成立。
故能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为0
【点睛】说明一个命题为假命题,只需举出一个反例即可,怎样找到符合条件的反例是关键。
在处理时常要假设命题为真,进行推理,找出命题必备条件。
12.已知向量a,b的夹角为60°,,则=____________.
【答案】
【分析】
运用公式,将模的运算化为向量数量积计算,再开方即可。
【详解】因为
=
=
=12
=。
【点睛】平方法是计算向量模的常用方法,它是运用公式,将模的运算化为向量数量积计算,再开方。
学生较易在最后求出之后忘记开方,要特别注意。
13.在边长为1的等边三角形ABC中,点D、E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF.设,则____________;=____________.
【答案】
(1).
(2).
【分析】
首先以E为原点,BC为x轴,EA为y轴,建立坐标系,分别表示出相关各点坐标及相关向量的坐标,将问题中的向量运算转化为坐标运算。
【详解】首先以E为原点,BC为x轴,EA为y轴,建立坐标系,则,,,,;,,,。
设,,则,
由得,=2,可得,,
所以。
因为,
所以,
解得,
所以。
==。
【点睛】坐标法是解决平面向量问题的常用方法。
其过程如下:
(1)结合图形,适当建立坐标系;
(2)确定相关点的坐标;(3)计算(表示)相关向量的坐标;(4)结合问题条件建立方程或进行坐标运算。
14.已知
(1)若有两个零点,则a的取值范围是____________,
(2)当时,则满足的x的取值范围是____________.
【答案】
(1).
(2).
【分析】
(1)讨论,,三种情况,结合零点的定义,解方程即可得到所求;
(2)若,讨论,,若,,结合分段函数解+析式,以及函数的单调性和不等式的解法,即可得到所求。
【详解】
(1)若,则
由,解得,符合题意。
若,解得符合题意,但方能使方程有两个零点;
若,解得,符合题意。
可得
综上可得,a的范围是;
(2)若,则,
有,得为增,
,
即有,显然不符合题意。
所以有。
若,
即为,解得。
若,
即有,
整理得;
令,
由于且,可得
即在为增,最小值为
而在时,递增,且值为负,不符合题意。
综上可得a的取值范围是。
【点睛】本题考查分段函数的运用:
求零点和解不等式,考查分类讨论思想方法,以及导数的运用:
判断单调性,考查化简整理运算能力,属于中档题。
三、解答题共4小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.已知函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为.
(1)求的值;
(2)设函数,求在区间上的最大值和最小值.
【答案】
(1);
(2)在区间上的最大值为1,最小值为。
【分析】
(1)根据题意可得函数周期有关系式,即要求的值;
(2)根据二倍角公式和两角和差的正弦公式,可得,再根据正弦函数的图像和性质即可求出最值。
【详解】
(1)根据函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为,可得函数的周期满足关系式,所以
故=2。
(2)
=
=
=
=
因为,所以
所以
所以在区间上的最大值为1,最小值为。
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和求法,正弦函数的单调性,属于中档题。
16.如图所示,在△ABC中,D是BC边上的一点,且AB=14,BD=6,,.
(1)求;
(2)求AD的长和△ABC的面积.
【答案】
(1)=;
(2),=。
【分析】
(1)利用三角形的内角和定理与三角恒等变换,即可求得的正弦值;
(2)由余弦定理和正弦定理求得AD、CD的值,再求的面积。
【详解】
(1)中,因为,,
所以有
==
又因为,
所以
所以=。
(2)在中,由余弦定理可得,
整理得
得或(舍)
在中,由正弦定理得,
所以
=。
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式求解三角形的问题,对于解三角形问题,通常用运用正弦定理进行边角之间转化,用余弦定量借助三边关系求角或建立方程寻找边的关系,注间有时还会运用三角恒等变换及三角函数进行求值,是高考的热点问题。
17.设数列的前n项和为,且,在正项等比数列中,.
(1)求和的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】
(1),;
(2)数列的前n项和=
【分析】
(1)根据数列的通项与前n项和的关系可求数列的通项,根据可求数列公比,进而求正项等比数列的通项公式。
(2)数列的前n项和可用错位相消法求解。
【详解】
(1)当时,,
当时,
=
=,
所以。
所以,
于是,解得或(舍)
所以=。
(2)由以上结论可得,
所以其前n项和
=
=
-得,=
=
所以=。
【点睛】错位相消法是求数列较常用的一种方法,它适用的数列必须是等差数列与等比数列积形成的复合数列,过程如下:
(1)列出前n项和;
(2)在前n项和式子的两端同乘以公比,(3)二式相减,并利用公式计算,整理得到结果。
18.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,求函数在区间上的最大值.
【答案】
(1)函数的单调区间为,单调减区间为.
(2)当时,函数在区间上的最大值为;当时,函数在区间上的最大值为.
【分析】
(1)对函数求导并求其导函数的零点,列表讨论得其单调区间;
(2)分,,三种情况讨论即可。
【详解】
(1)由得,
令,得,
的情况如下表:
+
0
0
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