安徽省马鞍山市高二第一学期学业水平测试数学试题解析版 7.docx
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安徽省马鞍山市高二第一学期学业水平测试数学试题解析版 7.docx
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安徽省马鞍山市高二第一学期学业水平测试数学试题解析版7
高二第一学期学业水平测试数学试题(解析版)
一、单选题
1.已知直线经过点,,则该直线的斜率是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据斜率公式,,选D.
2.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中,两点关于平面对称,竖坐标互为相反数,点的坐标是点关于平面对称的点的坐标是,选A.
3.直线的斜率为,在y轴上的截距为b,则有
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】把直线方程化为斜截式:
,可知斜率,截距,选A.
4.已知直线与平面,则下列结论成立的是
A.若直线垂直于内的两条直线,则
B.若直线垂直于内的无数条直线,则
C.若直线平行于内的一条直线,则
D.若直线与平面无公共点,则
【答案】D
【解析】根据直线与平面垂直的判定定理,当一条直线与平面内的两条相交直线垂直时,直线与平面垂直,所以A、B错误;根据直线与平面平行的判定定理,平面外的一条直线与平面内的一条直线平行时,直线与平面平行,因此C错误,直线与平面无公共点,符合直线与平面平行的定义,直线与平面平行,选D.
5.已知直线和互相平行,则间的距离是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】直线和互相平行,有,则间的距离是,选C.
6.如图,三棱柱中,底面三角形是正三角形,是的中点,则下列叙述正确的是
A.与是异面直线B.与是共面直线
C.与是异面直线D.与是共面直线
【答案】C
【解析】由于与均在平面内,不是异面直线;平面,平面,点不在直线上,所以和是异面直线,平面,平面,点不在直线上,则与是异面直线,选C.
【点睛】判断两条直线是否为异面直线,第一两条直线平行或相交,则两条直线共面,第二若一条直线与一个平面相交于一点,那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线,这是判断两条直线是异面直线的方法,要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.
7.已知直线和圆,则直线和圆的位置关系是
A.相交B.相切C.相离D.都有可能
【答案】A
【解析】把圆的方程化为,直线方程化为恒过定点,而在圆C的内部,则直线和圆相交,选A.
8.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为,则高为,母线长则,,,选C.
9.设、是两个不同的平面,、是两条不同直线,则下列结论中错误的是
A.若,,则
B.若,则、与所成的角相等
C.若,,则
D.若,,,则
【答案】D
【解析】若,,则是正确的,若,则、与所成的角相等是正确的,若,,则是正确的,若,,,则平面与平面可能相交,也可能平行,命题错误的选D.
10.在矩形中,,,将沿折起后,三棱锥的外接球表面积为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】矩形中,,,将沿折起后,得到三棱锥,由于三棱锥的外接球的直径为,所以外接球的半径为,三棱锥的外接球表面积为.选B.
【点睛】求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题,属于高频考点,有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径?
基本方法有种,第一种:
当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时,可还原为长方体,长方体的体对角线就是外接圆的直径;第二种:
“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时,在球内画出棱锥或棱柱,利用底面的外接圆为球小圆,借助底面三角形或四边形求出小圆的半径,再利用勾股定理求出球的半径,第三种:
过两个多面体的外心作两个面的垂线,交点即为外接球的球心,再通过关系求半径.
11.已知圆()截直线所得弦长是,则的值为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】圆M:
,圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,半弦长为,根据圆的弦长公式可知,,选B.
12.如图,在正方体中,点在线段上运动,则下列判断中,正确命题的个数是
①三棱锥的体积不变;②;③;④与所成角的范围是.
A.4个B.3个C.2个D.个
【答案】B
【解析】在正方体中,三角形的面积为定值,又,可以推出平面,因此点到平面的距离为定值,①三棱锥的体积不变是正确的;,可以推出平面平面,平面,则平面,②是正确的;由于平面,则③是正确的;当为的中点时,,与所成角的范围是,④错误,选B.
【点睛】涉及到三棱锥的体积为定值问题,要考虑到动点(棱锥的顶点)在直线上,而直线与平面(棱锥的底面)平行,这样不论动点怎样移动,棱锥的高都不变,底面积为定值,高为定值,体积就是定值;两条异面直线所成的角的范围,首先平移一条直线,找出两条异面直线所成的角,移动动点观察特殊点时,异面直线所成的角,就会很容易得出你的角的范围,很适合做选填题.
二、填空题
13.两两相交的三条直线可确定______个平面.
【答案】1或3
【解析】当三条直线交于一点时,可以确定3个平面;当三条直线两两相交,有三个交点时,可确定1个平面.两两相交的三条直线可确定1个或3个平面.
14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_____.
【答案】
【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥,底面为直角三角形,两条直角边长分别为2和1,一条侧棱垂直于底面,高为1,则该几何体的体积为.
15.已知圆,则过点且与圆相切的直线方程为_____.
【答案】
【解析】由于点在圆上,所以圆的切线只有1条,设切线方程为,即:
,利用圆心到切线的距离等于圆的半径得:
得:
,,所求切线方程为:
.
16.如果实数满足等式,那么的最小值为__________.
【答案】
【解析】表示圆上一点到原点距离的平方,由于圆心到原点的距离为,圆上一点到原点的距离的最小值为,那么的最小值为.
17.已知过点的直线交轴正半轴于点,交直线于点,且,则直线在轴上的截距是______________.
【答案】7
【解析】若直线的斜率不存在,直线,不符合题意要求,可见直线直线的斜率存在,不妨设斜率为,则直线的方程为,即:
,求出,再解出与直线的交点,分别过A、C作轴的垂线,由于,可知,,解得或(舍),当时,直线在轴上的截距是.
【点睛】求直线方程首先要考虑直线的斜率不存在的情形,然后再设点斜式或斜截式,涉及两条直线交点问题要解方程组求出交点坐标,本题最重要的一点是涉及到线段长度关系时,有时转化为向量关系借助坐标关系解题,有时直接利用比例转化为横坐标或纵坐标的关系解题,这是很重要的一种方法.
三、解答题
18.直线经过直线和直线的交点,且与直线垂直,求直线的方程.
【答案】
【解析】试题分析:
直线经过两条直线的交点,所以先联立方程组,解出两条直线的焦点坐标,直线与已知直线垂直,根据垂直斜率存在两条直线垂直的条件,只需斜率互为负倒数,求出所求直线的斜率,最后利用直线方程的点斜式写出所求直线的方程,化为一般式给出答案.
试题解析:
由得交点坐标为,又直线与直线垂直直线的斜率为3,直线的方程为,即
19.如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,,.
(1)求证:
平面;
(2)求直线和平面所成的角的正切值.
【答案】
(1)见解析;
(2)
【解析】试题分析:
证明线面垂直,可利用线面垂直的判定定理,证明直线与平面内的两条相交直线垂直,进而说明线面垂直.求线面角首先要寻求平面的垂线,作垂线找垂足,连垂足和斜足得到射影,斜线与射影所成的角为线面角,传统方法是“先作、再证、后求”,本题也可采用空间向量法去做.
试题解析:
(1)平面,,又,,平面;
(2)平面,为斜线在平面内的射影,为求直线和平面所成的角,在直角三角形中,,,,直线和平面所成的角的正切值为
【点睛】证明线面垂直,第一可利用线面垂直的判定定理,证明直线与平面内的两条相交直线垂直,进而说明线面垂直.第二可建立空间直角坐标系,写出向量的坐标,借助空间向量解题,利用两个向量数量积为零,说明线线垂直,也是很简单的做法.求线面角首先要寻求平面的垂线,作垂线找垂足,连垂足和斜足得到射影,斜线与射影所成的角为线面角,传统方法是“先作、再证、后求”,本题也可建立空间直角坐标系采用空间向量法借助法向量去做.
20.已知圆心在轴上且通过点的圆与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)已知直线经过点,并且被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
【答案】
(1);
(2)或
【解析】试题分析:
求圆的方程采用待定系数法,巧用圆心和半径,由于圆的切线垂直于过切点的半径,因此圆心到切线的距离就是半径,尽可能的减元,所设的参数越少解方程越简单,有关圆的弦长问题,基本都用弦心距,半弦,半径满足勾股定理去解决,求直线方程要注意斜率不存在的情况.
试题解析:
(1)设圆心的坐标为,则,解得a=1,∴,半径,∴圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线被圆截得的弦长为,满足条件;②当直线的斜率存在时,设直线l的方程为,由题意得,解得,∴直线的方程为,综上所述,直线l的方程为或.
【点睛】求圆的方程有两种设法,一是圆的标准方程,一是圆的一般方程,都是采用待定系数法,巧用圆心和半径,由于圆的切线垂直于过切点的半径,因此圆心到切线的距离就是半径,尽可能的减元,所设的参数越少解方程越简单,有关圆的弦长问题,基本都用弦心距,半弦,半径满足勾股定理去解决.
21.如图,在四棱锥中,底面,,,,与底面成,是的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】
(1)见解析;
(2)
【解析】试题分析:
证明线面平行有两种思路:
第一寻求线线平行,利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行,本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行,证明面面平行,进而得出线面平行;求体积问题最主要利用转化思想,包括平行转化、对称转化、比例转化,三棱锥求体积还要注意灵活使用棱锥的顶点.
试题解析:
(1)证明:
取的中点,连接
∵∥,面,面,∴∥平面,同理∥平面,又∵,∴平面∥平面,又∵平面,∴∥平面.
(2)∵与底面成,∴,又∵底面,∥,,∴底面,,
∴
【点睛】证明线面平行有两种思路:
第一寻求线线平行,利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行,求体积问题大多出现在文科考题,一般不是直接求出底面和高,大多需要利用转化思想,包括平行转化、对称转化、比例转化,三棱锥求体积还要注意灵活使用棱锥的顶点.
22.过点作圆的切线,为坐标原点,切点为,且.
(1)求的值;
(2)设是圆上位于第一象限内的任意一点,过点作圆的切线,且交轴于点,交y轴于点,设,求的最小值.
【答案】
(1)4;
(2)8
【解析】试题分析:
首先利用圆的弦长公式,求出圆的半径;涉及到直线与两坐标轴的交点问题大多采用线方程的截距式,但务必要检验,设直线方程的截距式,由于直线与圆相切于第一象限,满足相切条件,且截距均为正,利用均值不等式进行“等转不等”,得出向量OQ的模的最小值.
试题解析:
(1)圆的圆心为,于是,由题设知,是以为直角顶点的直角三角形,故有.
(2)设直线的方程为,即,则,,∴,∴.∵直线与圆相切,∴,∴∴,当且仅当时取到“=”,∴取得最小值为8.
【点睛】有关圆的弦长问题,一般利用圆的弦长公式,利用勾股定理列方程,求出圆的半径;涉及到直线与两坐标轴的交点问题,特别是直线与两坐标轴围成的三角形的周长和面积问题,大多采用线方程的截距式,但是直线方程的截距式不包括过原点的直线,不包括平行于轴的直线,不包括平行于轴的直线,所以解题时必需检验结果,要多退少补.
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