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最短线段解中考题
中考“最短线段”问题的重要应用
高尚军
甘肃省定西市安定区内官营中学743011
【摘要】数学的内容博大精深,“最短线段”问题相关中考试题可谓是千变万化,这一问题解题的思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折”为“直”,利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”来解决。
具备这一数学思想,中考涉及直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛物线等为载体的试题通过分类,可收到举一反三,事倍功半的效果。
【关键词】中考试题;最短问题;应用举例
一、问题探究在人教版八年级上册P42,有这样一个问题:
在这个问题中,利用轴对称将折线转化为直线,再根据“两点之间线段最短”,“垂线段最短”等知识得到最短线段,这一类问题是当今中考的热点题型。
二、数学模型
1.两点之间线段最短
(1)如图1,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。
(2)如图2,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。
(3)如图3,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。
使△PAB的周长最小。
4.如图,点P,Q为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B,使四边形PAQB的周长最小。
2.垂线段最短
1.如图5,点A是∠MON外的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。
图5图6图7
2.如图6和7,点A是∠MON内的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。
三、中考试题举例
(一)两点之间线段最短题型:
直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、函数等。
直线类
1.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少
解:
作点B关于直线CD的对称点B',连接AB',交CD于点M
则AM+BM=AM+B'M=AB',水厂建在M点时,费用最小。
如右图,在直角△AB'E中,AE=AC+CE=10+30=40,EB'=30,所以:
AB'=50,总费用为:
50×3=150万。
变式.如图C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC。
已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小
(3)根据
(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值。
解:
(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小,连接AE/,交BD于点C,则AE/就是AC+CE的最小值,最小值是10.
(3)如右图AE的长就是代数式(0≤x≤8)的最小值,在直角△AEF中,AF=5,EF=12根据勾股定理:
AE/=13.
角类
2.两条公路OA、OB相交,在两条公路的中间有一个油库,设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站,,请你设计一个方案,把两个加油站设在何处,可使运油车从油库出发,经过一个加油站,再到另一个加油站,最后回到油库所走的路程最短.
分析:
这是一个实际问题,我们需要把它转化为数学问题,经过分析,我们知道此题是求运油车所走路程最短,OA与OB相交,点P在∠AOB内部,通常我们会想到轴对称,分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D,C、D两点就是使运油车所走路程最短,而建加油站的地点,那么是不是最短的呢我们可以用三角形的三边关系进行说明.
解:
分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D,则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点,则由三角形的三边关系,可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.
点评:
在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短,请同学们思考弄明白。
3.如图∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、P分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,
交OA、OB于点Q,R,连接OP1,OP2,
则OP=OP1=OP2=10,且∠P1OP2=90°
由勾股定理得P1P2=10
三角形类
4.如图,等腰Rt△ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为
即在AC上作一点P,使PB+PE最小
作点B关于AC的对称点B',连接B'E,交AC于点P,则B'E=PB'+PE=PB+PE,B'E的长就是PB+PE的最小值
在直角△B'EF中,EF=1,B'F=3,根据勾股定理得B'E
7.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。
即是在直线AB上作一点E,使EC+ED最小
作点C关于直线AB的对称点C',连接DC'交AB于点E,则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'中
DB=1,BC=2,根据勾股定理可得,DC'=
8.等腰△ABC中,∠A=20°,AB=AC=20,M、N分别是AB、AC上的点,求BN+MN+MC的最小值
分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’,连接C’B’交AB、AC于点M、N,则BN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值
∵∠BAC’=∠BAC,∠CAB’=∠CAB
∴∠B’AC’=60°
∵AC’=AC,AB’=AB,AC=AB
∴AC’=AB’
∴△AB’C’是等边三角形
∴B’C’=20
9.如图,在等边△ABC中,AB=6,AD⊥BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,且AE=2,求EM+EC的最小值
因为点C关于直线AD的对称点是点B,所以连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小,
过点B作BH⊥AC于点H,
则EH=AH–AE=3–2=1,BH===3
在直角△BHE中,BE===2
(四)正方形类
10.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小
故作点D关于AC的对称点B,连接BM,
交AC于点N。
则DN+MN=BN+MN=BM
线段BM的长就是DN+MN的最小值
在直角△BCM中,CM=6,BC=8,
则BM=10
故DN+MN的最小值是10
11.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.2B.2C.3D.
即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小
点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE交AC于点P,则BE=PB+PE=PD+PE,BE的长就是PD+PE的最小值
BE=AB=2
12.在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
即在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小
因为点B关于AC的对称点是D点,所以连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点
DQ=PD+PQ=PB+PQ
故DQ的长就是PB+PQ的最小值
在直角△CDQ中,CQ=1,CD=2
根据勾股定理,得,DQ=
13.如图,四边形ABCD是正方形,AB=10cm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;
连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值
在直角△ABE中,求得AE的长为5
(五)矩形类
14.如图,若四边形ABCD是矩形,AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PD的最小值;
作点C关于BD的对称点C',过点C',作C'B⊥BC,交BD于点P,则C'E就是PE+PC的最小值
直角△BCD中,CH=205错误!
未定义书签。
直角△BCH中,BH=8
△BCC'的面积为:
BH×CH=160
所以C'E×BC=2×160则CE'=16
(六)菱形类
15.如图,若四边形ABCD是菱形,AB=10cm,∠ABC=45°,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;
点C关于BD的对称点是点A,过点A作AE⊥BC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值
在等腰△EAB中,求得AE的长为5
(七)直角梯形类
16.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为()
A、B、C、D、3
作点A关于BC的对称点A',连接A'D,交BC于点P
则A'D=PA'+PD=PA+PD
A'D的长就是PA+PD的最小值
S△APD=4
在直角△ABP中,AB=4,BP=1
根据勾股定理,得AP=
所以AP上的高为:
2×417=1717
(八)圆类
17.已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是︵的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
即是在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小
作点A关于CD的对称点A',连接A'B,交CD于点P,则A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA',OB,则∠A'OB=90°,
OA'=OB=4
根据勾股定理,A'B=4
18.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()
A2BC1D2
即在MN上求一点P,使PA+PB的值最小
作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,
则点P就是所要作的点
A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'、OB,则△OA'B是等腰直角三角形
所以A'B=
(九)一次函数类
19.在平面直角坐标系中,有A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n=______时,AC+BC的值最小.
点C(1,n),说明点C在直线x=1上,所以作点A关于直线x=1的对称点A',连接A'B,交直线x=1于点C,则AC+BC的值最小
设直线A'B的解析式为y=kx+b,则
-2=-k+b
2=4k+b
解得:
k=(4/5)b=-(6/5)
所以:
y=(4/5)x-(6/5)
当x=1时,y=-(2/5)
故当n=-(2/5)时,AC+BC的值最小
20.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
(1)由题意得:
0=2x+b
4=b
解得k=-2,b=4,所以y=-2x+4
(2)
作点C关于y轴的对称点C',连接C'D,交y轴于点P
则C'D=C'P+PD=PC+PD
C'D就是PC+PD的最小值
连接CD,则CD=2,CC'=2
在直角△C'CD中,根据勾股定理C'D=2
求直线C'D的解析式,由C'(-1,0),D(1,2)
所以,有
0=-k+b
2=k+b
解得k=1,b=1,所以y=x+1
当x=0时,y=1,则P(0,1)
21.如图,一次函数y=12与反比例函数y=kx交于点A,AM⊥x轴于点M,S△OAM=1
(1)求k的值,
(2)点B为双曲线y=kx上不与A重合的一点,且B(1,n),在x轴上求一点P,使PA+PB最小
(1)由S△OAM=1知,k=2
(2)作点A关于x轴的对称点A’,连接A’B,交x轴于点P,连接PA,则PA+PB最小。
用待定系数法求直线A’B的解析式为y=-3x+5,
因为点P在x轴上,所以设y=0,即0=-3x+5,
解得x=53
所以P(53,0)
22.如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:
B′、C′;
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
(1)点B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B'(3,5)、C'(5,-2)
(2)坐标平面内任一点P(a,b)关于直线l的对称点P'的坐标为(b,a)
(3)作点E关于直线l的对称点E',连接DE',交直线l于点Q
则QE+QD的值最小
设直线DE'的解析式为:
y=kx+b,因为D(1,-3)、E'(-4,-1),则
-3=k+b
-1=-4k+b
解得:
k=-25,b=-135
所以y=-25x-135
当x=y时,有x=y=-137
则Q点的坐标为(-137,-137)
(十)二次函数类
23.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。
,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:
本题中的结果均保留根号)
(1)B(1,)
(2)3
(3)因为点O关于对称轴的对称点是点A,则连接AB,
交对称轴于点C,则△BOC的周长最小
3,当x=-1时,y=33
所以C(-1,33)
24.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为(1,-33),交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,-).
(1)求抛物线的表达式.
(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.
判断四边形ADBC的形状,并说明理由.
(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,
若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)
作点B关于AC的对称点G,连接DG,交AC于点F,则△FBD的周长最小
因为CF∥BD,CG=12,所以F(3)
25.如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
(1)y=32
(3)作点C关于x轴的对称点C’,连接C’D,交x轴于点M,则MC+MD的值最小,求出直线C’D的解析式,即可得到M点的坐标
2441
方法点拨:
此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景,但都有一个“轴对称性”的图形共同点,解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型,再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和,利用“两点之间线段最短”,实现“折”转“直”即可解决。
有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值,一般此时会含有定长的线段,依然可以转化为“建泵站问题”。
26.如图,在直角坐标系中,A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为直线l上的一个动点,
(1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;
(3)以点A为圆心,以AD为半径作圆A;
①证明:
当AD+CD最小时,直线BD与圆A相切;
②写出直线BD与圆A相切时,点D的另一个坐标。
(2)
连接BC,交直线l于点D,则DA+DC=DB+DC=BC,
BC的长就是AD+DC的最小值
BC:
y=-x+3
则直线BC与直线x=1的交点D(1,2),
27.如图,已知二次函数的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.
(1)y=x2–4x-5
(2)BC:
y=x-5
P(2,-3)
28.已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标;
(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围.
(1)以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,
在直角△ACO中OA=1,AC=2
根据勾股定理,得OC=
故C(,0)
设直线BC的解析式为y=kx+b,则
3=b
0=+b
解得k=-,b=3
(2)因为抛物线关于y轴对称,所以设抛物线的解析式为y=ax2+c,则
1=c
-2=9a+c
解得a=-13,c=1
在直角△ACO中AC=2,OA=1,则∠ACO=30°
在直角△BCO中OC=,OB=3,则∠BCO=60°
所以CA是∠BCO的角平分线
即直线BC和x轴关于直线AC对称
因为点P关于直线AC的对称点在x轴上
故点P应在直线BC和抛物线上,则有方程组
y=-+3
y=-13+1
解得x1=y1=0x2=2y2=-3
所以P(,0),或(2,-3)
(3)当点M在y轴上运动时,PM+CM没有最大值,只有最小值,所以
求PM+CM的取值范围,就是要求PM+CM的最小值
当点P与点C重合时,即P(,0)
点M在原点,PM+CM的值最小,PM+CM=2
所以PM+CM≥2
当点P(2,-3)时
作点C关于y轴的对称点E,过点P作x轴的垂线,垂足为F
在直角△EFP中,EF=3,PF=3
根据勾股定理,得EP=6
所以PM+CM的最小值是6,则PM+CM≥6
29.如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).
(1)试证明:
无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;
(3)设点E是
(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小求出此时点P的坐标和△PDE的周长;
(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN=90°若存在,请直接写出点的坐标.
(1)△OCP≌△ODP
(2)过点B作∠AOC的平分线的垂线于点P,点P即为所求过点P作PM⊥BC于点M,则PM=12=1
所以点P的纵坐标为3,又因为点P在∠AOC的平分线上,
则P(3,3)
因为抛物线过原点,故设y=ax2+bx
又抛物线经过点P(3,3),D(2,0)
所以9a+3b=34a+2b=0解得a=1,b=-2
则抛物线的解析式为y=x2–2x
(3)点D关于∠AOC的平分线的对称点是点C,连接CE交OF于点P,则△PDE的周长最小
抛物线的解析式为y=x2–2x的顶点E(1,-1),C(0,2)
设直线CE的解析式为y=kx+b,则
-1=k+b2=b解得k=-3,b=2
直线CE的解析式为y=-3x+2
点P的坐标满足y=-3x+2x=y解得x=12,y=12
所以P(12,12)
△PDE的周长即是CE+DE=+
(4)存在这样的点P,使∠CPN=90°,坐标是(12,12)或(2,2)
30.已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2)
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.
试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
(1)由题意得9a-3b+c=0c=-2解得a=23,b=43,c=-2
∴抛物线的解析式为y=43
(2)点B关于对称轴的对称点是点A,连接AC交对称轴于点P,则△PBC的周长最小
设直线AC的解析式为y=kx+b,因为A(-3,0),C(0,-2),则
0=-3k+b-2=b解得k=23,b=-2
所以直线AC的解析式为y=23x–2
把x=-1代入得y=43,所以P(-1,43)
(3)S存在最大值
∵DE∥PC,∴ODOC,即2-m2
OE=3-32,AE=OA–OE=32
方法一,连接OP
S=S四边形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED
=43+12-m-32-m
=32=34
所以,当m=1时,S最大=34
方法二,
S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD
=32=34
(十一)建桥选址类
31.如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近
作法:
设a、b的距离为r。
①把点B竖直
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