导数练习题及答案.docx
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导数练习题及答案.docx
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导数练习题及答案
章末检测
一、选择题
1.已知曲线y=x2+2x-2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标是( )
A.(-1,3) B.(-1,-3)
C.(-2,-3)D.(-2,3)
答案 B
解析 ∵f′(x)=2x+2=0,∴x=-1.
f(-1)=(-1)2+2×(-1)-2=-3.∴M(-1,-3).
2.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为( )
A.(-∞,-1)及(0,1)
B.(-1,0)及(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)及(1,+∞)
答案 A
解析 y′=4x3-4x=4x(x2-1),令y′<0得x的范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选A.
3.函数f(x)=x3+2+3x-9,在x=-3时取得极值,则a等于( )
A.2B.3
C.4D.5
答案 D
解析 f′(x)=3x2+2+3.由f(x)在x=-3时取得极值,
即f′(-3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5.
4.函数y=的大致图象为( )
答案 D
解析 函数的图象关于x=-1对称,排除A、C,当x>-1时,y=-(x+1)为减函数,故选D.
5.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点所在象限是( )
A.第一B.第二
C.第三D.第四
答案 C
解析 ∵y=f′(x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数y=f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限.
6.已知函数f(x)=-x3+2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-)B.[-,]
C.(,+∞)D.(-,)
答案 B
解析 f′(x)=-3x2+2-1≤0在(-∞,+∞)恒成立,Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤.
7.设f(x)=x,若f′(x0)=2,则x0等于( )
A.e2B.2
D.e
答案 D
解析 f′(x)=x·(x)′+(x)′·x=1+x.
∴f′(x0)=1+x0=2,
∴x0=1,
∴x0=e.
8.设函数f(x)=x-x(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间(,1)(1,e)内均有零点
B.在区间(,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
答案 C
解析 由题意得f′(x)=,令f′(x)>0得x>3;令f′(x)<0得0<x<3;f′(x)=0得x=3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数,在点x=3处有极小值1-3<0;又f
(1)=>0,f(e)=-1<0,f()=+1>0.
9.设函数f(x)=x3+x2+θ,其中θ∈[0,],则导数f′
(1)的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[,]
C.[,2]D.[,2]
答案 D
解析 ∵f′(x)=x2θ+x·θ,
∴f′
(1)=θ+θ=2(θ+θ)
=2(θ+).
∵0≤θ≤,∴≤θ+≤,
∴≤(θ+)≤1.∴≤2(θ+)≤2.
10.方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内根的个数有( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 B
解析 令f(x)=2x3-6x2+7,
∴f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
由f′(x)>0得x>2或x<0;由f′(x)<0得0<x<2;又f(0)=7>0,
f
(2)=-1<0,∴方程在(0,2)内只有一实根.
二、填空题
11.若曲线y=+x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.
答案 -1
解析 求导得y′=k+,依题意k+1=0,
所以k=-1.
12.已知函数f(x)=-x3+在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是.
答案 a≥3
解析 由题意应有f′(x)=-3x2+a≥0,在区间(-1,1)上恒成立,则a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立,故a≥3.
13.在平面直角坐标系中,点P在曲线C:
y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.
答案 (2,15)
解析 y′=3x2-10=2⇒x=±2,又点P在第二象限内,∴x=-2,得点P的坐标为(-2,15)
14.函数f(x)=x3+2++a2,在x=1时有极值10,那么a,b的值分别为.
答案 4,-11
解析 f′(x)=3x2+2+b,f′
(1)=2a+b+3=0,
f
(1)=a2+a+b+1=10,
,,或,当a=-3时,x=1不是极值点,a,b的值分别为4,-11.
三、解答题
15.设 解 令f′(x)=3x2-3=0, 得x1=0,x2=a. f(0)=b,f(a)=-+b,f(-1)=-1-a+b, f (1)=1-a+b
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