高考终极训练试题专题3 第2讲 立体几何大题.docx
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高考终极训练试题专题3第2讲立体几何大题
第2讲 立体几何(大题)
热点一 平行、垂直关系的证明
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
例1 如图,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,点M为AB的中点,点O为DF的中点.运用向量方法证明:
(1)OM∥平面BCF;
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
跟踪演练1 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,BC=2,AD=CD=1,M是PB的中点.
(1)求证:
AM∥平面PCD;
(2)求证:
平面ACM⊥平面PAB.
热点二 利用空间向量求空间角
设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α,β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).
(1)线线夹角
设l,m的夹角为θ
,
则cosθ=
=
.
(2)线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θ
,
则sinθ=
=|cos〈a,μ〉|.
(3)二面角
设α-a-β的平面角为θ(0≤θ≤π),
则|cosθ|=
=|cos〈μ,v〉|.
例2 (2019·南昌模拟)如图,四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,CC1⊥底面ABCD,且∠BAD=60°,CD=CC1=2C1D1=4,E是棱BB1的中点.
跟踪演练2 (2019·河南名校联盟联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠PAB=90°,AB∥CD,且PB=BC=BD=
,CD=2AB=2
,∠PAD=120°.E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证:
CD⊥BF;
(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.
热点三 利用空间向量解决探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类:
一类是探究线面的位置关系;另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是:
先建立空间直角坐标系,引入参数(有些是题中已给出),设出关键点的坐标,然后探究这样的点是否存在,或参数是否满足要求,从而作出判断.
例3 (2019·临沂模拟)如图,平面ABCD⊥平面ABE,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=1,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:
AE⊥平面BCE;
(2)线段AD上是否存在一点M,使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为
?
若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
跟踪演练3 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2,点P为棱B1C1的中点,点Q为线段A1B上一动点.
(1)求证:
当点Q为线段A1B的中点时,PQ⊥平面A1BC;
(2)设
=λ
,试问:
是否存在实数λ,使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为
?
若存在,求出这个实数λ;若不存在,请说明理由.
真题体验
(2019·全国Ⅰ,理,18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:
MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
押题预测
如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,过A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别E,F,AB=AE=2,CD=5,已知DE=1,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,得空间几何体ADE-BCF,如图2.
(1)若AF⊥BD,证明:
DE⊥平面ABFE;
(2)若DE∥CF,CD=
,线段AB上存在一点P,满足CP与平面ACD所成角的正弦值为
,求AP的长.
A组 专题通关
1.(2019·全国Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:
BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.
2.(2019·全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
(1)证明:
图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的二面角B—CG—A的大小.
3.(2019·马鞍山模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,A1B⊥AC1,AC=AA1=4,BC=2.
(1)求证:
平面A1ACC1⊥平面ABC;
(2)若∠A1AC=60°,在线段AC上是否存在一点P,使二面角B-A1P-C的平面角的余弦值为
?
若存在,确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
B组 能力提高
4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA=PD=AD=2CD=2BC=2,且∠ADC=∠BCD=90°.
(1)当PB=2时,证明:
平面PAD⊥平面ABCD;
(2)当四棱锥P-ABCD的体积为
,且二面角P-AD-B为钝角时,求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
5.如图,已知圆锥OO1和圆柱O1O2的组合体(它们的底面重合),圆锥的底面圆O1的半径为r=5,OA为圆锥的母线,AB为圆柱O1O2的母线,D,E为下底面圆O2上的两点,且DE=6,AB=6.4,AO=5
,AO⊥AD.
(1)求证:
平面ABD⊥平面ODE;
(2)求二面角B-AD-O的正弦值.
数学核心素养练习
一、数学抽象、直观想象
素养1 数学抽象
通过由具体的实例概括一般性结论,看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题,并在得到数学结论的基础上形成新的命题,以此考查数学抽象素养.
例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-
,则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.
其中,正确信息的序号是________.
素养2 直观想象
通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析,通过想象对复杂的数学问题进行直观表达,看我们能否运用图形和空间想象思考问题,感悟事物的本质,形成解决问题的思路,以此考查直观想象素养.
例2 (2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、逻辑推理、数学运算
素养3 逻辑推理
通过提出问题和论证命题的过程,看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明,并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程,以此考查逻辑推理素养.
例3 (2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:
我的成绩比乙高.
乙:
丙的成绩比我和甲的都高.
丙:
我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C:
-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|等于( )
A.
B.3C.2
D.4
素养4 数学运算
通过各类数学问题特别是综合性问题的处理,看我们能否做到明确运算对象,分析运算条件,选择运算法则,把握运算方向,设计运算程序,获取运算结果,以此考查数学运算素养.
例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
4.(2018·全国Ⅲ)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )
A.a+b C.a+b<0 三、数学建模、数据分析 素养5 数学建模 通过实际应用问题的处理,看我们是否能够运用数学语言清晰、准确地表达数学建模的过程和结果,以此考查数学建模素养. 例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( ) A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm 5.(2019·北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销: 一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. (1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元; (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 素养6 数据分析 通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工,看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律,进而分析随机现象的本质特征,发现随机现象的统计规律,以此考查数据分析素养. 例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验: 将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图: 记C为事件: “乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 6.某市一水电站的年发电量y(单位: 亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位: 毫米)有如下统计数据: 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 降雨量x(毫米) 1500 1400 1900 1600 2100 发电量y(亿千瓦时) 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若从统计的5年中任取2年,求这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率; (2)由表中数据求得线性回归方程为 =0.004x+ ,该水电站计划2019年的发电量不低于8.6亿千瓦时,现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1800毫米,请你预测2019年能否完成发电任务? 回扣2 复数、程序框图与平面向量 1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的分类 ①z是实数⇔b=0; ②z是虚数⇔b≠0; ③z是纯虚数⇔a=0且b≠0. (2)共轭复数 复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数 =a-bi. (3)复数的模 复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= . (4)复数相等的充要条件 a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 特别地,a+bi=0⇔a=0且b=0(a,b∈R). (5)复数的运算法则 加减法: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i; 乘法: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; 除法: (a+bi)÷(c+di)= + i(c+di≠0). 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2=±2i. (2) =i, =-i. (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z). 3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构. (2)条件结构. (3)循环结构. 4.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5.向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b.作 =a, =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 6.平面向量的数量积 (1)若a,b为非零向量,夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)a·b的几何意义: 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 7.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 8.利用数量积求长度 (1)若a=(x,y),则|a|= = . (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 | |= . 9.利用数量积求夹角 设a,b为非零向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角, 则cosθ= = . 10.三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O为△ABC的外心⇔| |=| |=| |= . (2)O为△ABC的重心⇔ + + =0. (3)O为△ABC的垂心⇔ · = · = · . (4)O为△ABC的内心⇔a +b +c =0. 1.复数z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0(z=a+bi,a,b∈R).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧. 2.复数的运算与多项式运算类似,要注意利用i2=-1化简合并同类项. 3.在解决含有循环结构的框图时,要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别. 4.解决程序框图问题时,要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应. 5.在循环结构中,易错误判定循环体结束的条件,导致错求输出的结果. 6.a·b>0是〈a,b〉为锐角的必要不充分条件; a·b<0是〈a,b〉为钝角的必要不充分条件. 数学的核心素养引领复习 一、数学抽象、直观想象 素养1 数学抽象 通过由具体的实例概括一般性结论,看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题,并在得到数学结论的基础上形成新的命题,以此考查数学抽象素养. 例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥- ,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 当-1 f(x+1)= (x+1)x;当1 f(x)= 由此作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知当2 ,整理,得(3x-7)(3x-8)=0,解得x= 或x= ,将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(-∞,m]都有f(x)≥- ,必有m≤ ,即实数m的取值范围是 ,故选B. 1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者; ④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样. 其中,正确信息的序号是________. 答案 ①②③ 解析 看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误. 素养2 直观想象 通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析,通过想象对复杂的数学问题进行直观表达,看我们能否运用图形和空间想象思考问题,感悟事物的本质,形成解决问题的思路,以此考查直观想象素养. 例2 (2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 答案 B 解析 取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO= ,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP= ,CP= ,所以BM2=MP2+BP2= 2+ 2+22=7,得BM= ,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线. 2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 由三视图得到空间几何体,如图所示, 则PA⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1, 所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC. 又BC⊥AB,AB∩PA=A, AB,PA⊂平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. 又PB⊂平面PAB, 所以BC⊥PB. 在△PCD中,PD=2 ,PC=3,CD= , 所以△PCD为锐角三角形. 所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.故选C. 二、逻辑推理、数学运算 素养3 逻辑推理 通过提出问题和论证命题的过程,看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明,并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程,以此考查逻辑推理素养. 例3 (2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲: 我的成绩比乙高. 乙: 丙的成绩比我和甲的都高. 丙: 我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙 答案 A 解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙. 3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|等于( ) A. B.3C.2 D.4 答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=± x. 设两渐近线的夹角为2α,则有tanα= = , 所以α=30°.所以∠MON=2α=60°. 又△OMN为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON,如图所示. 在Rt△ONF中,|OF|=2, 则|ON|= . 则在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan2α= ·tan60°=3. 素养4 数学运算 通过各类数学问题特别是综合性问题的处理,看我们能否做到明确运算对象,分析运算条件,选择运算法则,把握运算方向,设计运算程序,获取运算结果,以此考查数学运算素养. 例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 设a与b的夹角为α,∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,∴a·b=b2,∴|a|·|b|cosα=|b|2,又|a|=2|b|,∴cosα= ,∵α∈[0,π],∴α= ,故选B. 4.(2018·全国Ⅲ)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+b C.a+b<0 答案 B 解析 ∵a=log0.20.3>log0.21=0, b=log20.3 ∵ = + =log0.30.2+log0.32=log0.30.4, ∴1=log0.30.3>log0.30.4>log0.31=0, ∴0<
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