高三上理数第一次月考模拟测试一.docx

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高三上理数第一次月考模拟测试一

高三上理数模拟测试

（一）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y

＝x＋i，则复数z的共轭复数

在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

1－i

2．已知向量a与b的夹角是π，且|a|＝1，|b|＝4，若（3a＋λb）⊥a，则实数λ的值为（）

3

A．3

2

B．－3

2

C．2

3

D．－2

3

3．下列说法中正确的是（）A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，

38，49，则该班学生人数可能为60

C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N（4，0．25）（单位：

cm），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5．6cm，则这批零件不合格

D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病

4．已知数是（）

2x2－1n

x

（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含

1项的系

x

A．－84B．84C．－24D．24

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是（）A．f（b）＞0，且f（a）＋f（c）＞0

B．f（b）＞0，且f（a）＋f（c）＜0

C．f（b）＜0，且f（a）＋f（c）＞0

D．f（b）＜0，且f（a）＋f（c）＜0

1，3

6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间2

内的概率为（）

5

3

A．B．C．1D．3

8

2

8

4

7．已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：

（）

π，5π

①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）在区间88上是减函数；③函数f（x）的图象关

π个单位得到．其

π对称；④函数f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移

于直线x＝

4

中正确结论的个数是

A．1B．2C．3D．4

8．已知命题p：

若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：

?

x>0，使（x－1）·2x＝1，则下列命题中为真命题的是（）

A．p∧qB．（綈p）∧q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为（）A．5B．4

C．3D．2

8

10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD．将

该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A―BD―C，则四面体ABCD的外

接球的体积为（）

A．2πB．3πC．2πD．3π

32

12

11．设双曲线x2－y2＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，O为坐标原点，若双曲线上

a2b2

存在点M满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．6D．3

12．对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，A?

Xn，且A≠?

．记I（A）为集合A

中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I（A）的和记为S（n），则S（2018）

＝（）

A．2018×22018＋1B．2018×22017＋1

C．2017×22017＋1D．2017×22018＋1

二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．

α－π12α－π

13．已知cos

3

＝，则sin

3

6＝．

14．如图，在△ABC中，→＝1→，P是线段BD上一点，若→＝m→＋1→，则实数m

的值为．

ADDC

3

APABAC

6

15．已知函数f（x）＝|2x－1|－a，若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）＝f（x2）＝－1，则a的取值范围是．

16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且Sn＝4－项公式是an＝．

1＋2

nan（n∈N*），则数列{an}的通

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

60分．17．（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．

（1）若BC＝22，求∠CBD的大小；

（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点．

（1）求证：

AD⊥PB；

（2）若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积．

19．（本小题满分12分）

有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：

甲公司底薪80元，送餐员每单抽成

4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送

餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：

送餐单数

38

39

40

41

42

甲公司天数

10

10

15

10

5

乙公司天数

10

15

10

10

5

（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的

概率；

（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：

（ⅰ）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；（ⅱ）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？

说明你的理由．

20．（本小题满分12分）

x

已知椭圆C：

x2＋y2＝1（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，且直线y＝b与

a2b2a

圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？

若是，求出此定值；若不是，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ex－a（x－1），a∈R，e为自然对数的底数．

23．（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．

（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；

（2）若当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．

曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．

4

（α为参数），点P在曲线C1上，其极角为π，点Q为

y＝sinα

x＝2cosα，

（2）若曲线C2的参数方程为

（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（t为参数）．

5

y＝1＋5t

5

曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为

（二）选考题：

共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分．

22．（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知

x＝1－25t，

（2）若f（x）有两个不同零点x1，x2，证明：

x1＋x2＞x1x2．

（1）若存在x0∈（1，＋∞），使f（x0）＜0，求实数a的取值范围；

高三上理数模拟测试答案

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y

＝x＋i，则复数z的共轭复数

在复平面内对应的点位于（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

1－i

【解析】由已知，y＝（1－i）（x＋i）＝x＋1＋（1－x）i，则y＝x＋1，且1－x＝0，即x＝1，y＝2．所

－

以z＝x－yi＝1－2i，所对应的点（1，－2）位于第四象限，选D．

2．已知向量a与b的夹角是π，且|a|＝1，|b|＝4，若（3a＋λb）⊥a，则实数λ的值为（B）

3

A．3

2

B．－3

2

C．2

3

D．－2

3

【解析】由已知，（3a＋λb）·a＝0，即3a2＋λb·a＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－3，选B．

2

3．下列说法中正确的是（C）

A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60

C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N（4，0．25）（单位：

cm），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5．6cm，则这批零件不合格D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病

【解析】对于A，若x1，x2，…，xn的平均数为5，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；

对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．

对于C，因为μ＝4，σ＝0．5，则（u－3σ，u＋3σ）＝（2．5，5．5），因为5．6?

（2．5，5．5），则这批零件不合格，所以说法正确．

对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：

“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C．

4．已知数是（A）

2x2－1n

x

（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含

1项的系

x

A．－84B．84

C．－24D．24

r

－1

x

－－

r7rr143r

＝（－1）·2Cx．

【解析】由已知，2n＝128，得n＝7，所以Tr1

－

r27r

＝C（2x）

7

7

＋

－

5755

1

令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含项的系数为（－1）2C＝－84，选A．

7

x

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，

且b＞0，则下列结论正确的是（A）

A．f（b）＞0，且f（a）＋f（c）＞0

B．f（b）＞0，且f（a）＋f（c）＜0

C．f（b）＜0，且f（a）＋f（c）＞0

D．f（b）＜0，且f（a）＋f（c）＜0

【解析】由已知，f（b）＞f（0）＝0．因为a＋c＝2b＞0，则a＞－c，从而f（a）＞f（－c）＝－f（c），即f（a）＋f（c）＞0，选A．

1，3

2

6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间

内的概率为（C）

5

3

A．B．C．1D．3

8

2

8

4

1，1

4

【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈

当x∈（0，2]时，y＝2x＋1∈（1，5]．

；

1，3

21

所以当y∈2时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C．

42

7．已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：

（B）

π，5π

移

①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）在区间88上是减函数；③函数f（x）的图象关

于直线x

π对称；④函数f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平

＝

8

π个单位得到．其4

中正确结论的个数是

A．1B．2C．3D．4

2x＋π

【解析】f（x）＝sin2x＋cos2x＝2sin4．

①因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论错误．

π，5π

π，3π

π，5π

π

②当x∈88时，2x＋∈22，则f（x）在区间88上是减函数，结论正确．

4

π

π

8

＝2为f（x）的最大值，则f（x）的图象关于直线x＝对称，结论正确．

③因为f

8

2x＋π

x＋π

x＋π

④设g（x）＝2sin2x，则g4＝2sin24＝2sin2＝2cos2x≠f（x），结论错误，

选B．

8．已知命题p：

若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：

?

x>0，使（x－1）·2x＝1，则下列命

题中为真命题的是（A）A．p∧qB．（綈p）∧q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

1，从而a＋b＜ab，所以命题p

a＋b

即<

1且1

【解析】若a＞2且b＞2，则1<<1，得1＋1<1，

ab

a2b2ab

1x

1x

为真．因为直线y＝x－1与函数y＝2的图象在（0，＋∞）内有唯一交点，则方程x－1＝2

有正数解，即方程（x－1）·2x＝1有正数解，所以命题q为真，选A．

9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为（D）

A．5B．4C．3D．2

a＋b≤1，

且z＝2a－b．作可行域，平移直线l：

b＝2a－z，由

【解析】令|x|＝a，|y|＝b，则

a≥0，

b≥0，

图知，当直线l过点（1，0）时，直线l的纵截距最小，从而z为最大，且zmax＝2×1－0＝2，选D．

10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD．将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A―BD―C，则四面体ABCD的外接球的体积为（B）

A．2πB．3π

32

C．2πD．3π

【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB．因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径．

在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝3，则球半径R＝3．

2

所以外接球的体积V＝4π

3

33

2

＝3

2

π，选B．

12

11．设双曲线x2－y2＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，O为坐标原点，若双曲线上

a2b2

存在点M满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则双曲线的离心率为（C）A．6B．3C．6D．3

【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|＝|MF2|，则A为OF2的中点，所以|AF2|

＝c，|AF1|＝3c．设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m．在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－9c2．

224

在Rt△MAF中，|MA|2＝m2－c2则4m2－92＝m2－c2即3m2＝2c2．

2，c，

444

因为|MF1|－|MF2|＝2a，则m＝2a，所以3×（2a）2＝2c2，即c2＝6a2，所以e＝c＝6，选C．

a

12．对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，A?

Xn，且A≠?

．记I（A）为集合A

中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I（A）的和记为S（n），则S（2018）

＝（D）

A．2018×22018＋1B．2018×22017＋1

C．2017×22017＋1D．2017×22018＋1

【解析】对于集合Xn，满足I（A）＝1的集合A只有1个，即{1}；满足I（A）＝2的集合A有2个，即{2}，{1，2}；满足I（A）＝3的集合A有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I（A）＝n的集合A有2n－1个，所以S（n）＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1．

由错位相减法，得S（n）＝（n－1）2n＋1，所以S（2018）＝2017×22018＋1，选D．

二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．

α－π12α－π7

13．已知cos

3＝，则sin

3

3

πα－π

6＝－．

9

πππ

【解析】sin2α－6＝sin2

3＋2＝cos2α－3＝2cos2α－－1＝－7．

9

→1→→→1→

14．如图，在△ABC中，AD＝

3

DC，P是线段BD上一点，若AP＝mAB＋

AC，则实数m

6

_

的值为__1_．

3

→1→→→

→→2→

【解析】因为AD＝

DC，则AC＝4AD，所以AP＝mAB＋

3

AD．

3

因为B，P，D三点共线，则m

2＝1，所以m1

＋

．

＝

33

15．已知函数f（x）＝|2x－1|－a，若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）＝f（x2）＝－1，则a的取值范围是（1，2）．

【解析】令f（x）＝－1，则|2x－1|＝a－1．据题意，直线y＝a－1与函数y＝|2x－1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2．

16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且Sn＝4－

1＋2

nan（n∈N*），则数列{an}的通

n

项公式是an＝．

2n－1

【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

1＋2

n－1an－1－

1＋2

nan，则

2＋2

nan＝

1＋2

n－1an－1，

aan1a

1an－1

1

2

即n＝－，所以数列{n}是首项为1，公比为的等比数列，则n＝

，即an＝

n2（n－1）n2n

n．

2n－1

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

60分．

17．（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．

（1）若BC＝22，求∠CBD的大小；

（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．

【解析】

（1）在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，则

BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2

1＝12，所以BD＝23．（3分）

×

2

在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝22，BD＝23，由BC

sin∠CDB

＝BD，得

sin∠BCD

sin∠CDB

BCsin∠BCD＝22sin120°＝2，则∠CDB＝45°．（5分）

＝

BD232

所以∠CBD＝60°－∠CDB＝15°．（6分）

（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°－θ．

在△BCD中，因为BC＝BD

＝4，则BC＝4sin（60°－θ）．（8分）

s

sin（60°－θ）sin120°

1

3cosθ－1inθ

所以S＝

BD·BC·sin∠CBD＝43sin（60°－θ）sinθ＝432

2

2sinθ

＝3sin2θ－23sin2θ＝3sin2θ－3（1－cos2θ）＝3sin2θ＋3cos2θ－3

＝23sin（2θ＋30°）－3．（11分）

因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，1

2

故S的取值范围是（0，3]．（12分）

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点．

（1）求证：

AD⊥PB；

（2）若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积．

【解析】

（1）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC＝27．因为D为BC的中点，则BD＝CD＝7．（2分）

因为→＝1→＋→），则→2＝1（→＋→）2＝1（→2＋→2＋2→·→）

AD（ABAC

2

ADABAC

4

ABAC

4

ABAC

＝1（4＋16＋2×2×4×cos120°）＝3，所以AD＝3．（4分）4

因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD．（5分）

因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB．（6分）

（2）解法一：

因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE．则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．（8分）

在Rt△DAE中，由已知，∠AED＝45°，则AE＝AD＝3．（9分）在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝AB2＋PA2＝4＋a