高等数学同济第七版提纲.docx
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高等数学同济第七版提纲
函数、极限、连续
一、函数:
五大类基本初等函数
幂函数,指数函数,对数函数
反函数,有界性,奇偶性
三角函数:
正割函数,余割
反三角函数
二、极限
1、数列的极限
夹逼准则
2、函数的极限
(1)两个重要极限
(2)无穷小:
高阶,低阶,
同阶,等价;性质:
有界函数
与无穷小的乘积仍然是无穷小。
等价无穷小代换;
三、连续
间断点:
第一类,第二类
左右极限都存在;
可去间断点,跳跃间断点
无穷间断点,振荡间断点
一切初等函数在定义区间
内都连续。
闭区间上连续函数的性质:
零点定理:
方程根的存在性
第二章导数与微分
一、相关概念
1、导数的两大定义式;
2、左右导数;
3、几何意义;
4、可导与连续的关系。
5、16个基本导数公式,4个求导法则
二、六大类函数求导
1、复合函数求导;
2、隐函数求导;
3、参数方程所确定的函数求导;
4、幂指函数求导;
对数求导法
5、分段函数求导;
6、抽象函数求导。
三、微分
1、概念;可微
2、计算
第三章微分中值定理
与导数的应用
一、中值定理
罗尔定理:
驻点
拉格朗日中值定理
二、洛必达法则
三、单调性和凹凸性
单调性:
求单调区间;
求极值;
证明不等式;
证明方程根的唯一性。
极值的第一充分条件
有且仅有;
凹凸性:
凹凸区间;拐点
四、渐近线
1、水平渐近线
2、垂直渐近线
3、斜渐近线
第四章不定积分
一、不定积分的概念;
(13+2)
原函数;被积函数;积分变量
二、计算
1、凑微分法(第一类换元法)
2、第二类换元法
3、分部积分法
(一)4小题
(二)2小题
(三)1小题
简单根式的积分
第五章定积分
一、相关概念和性质
积分下限,积分上限
几何意义:
面积的代数和
[a,b]积分区间
比较性质
定积分的中值定理
二、关于计算方面的内容
1、定积分的计算;
2、广义积分(反常积分);
(1)无穷限的广义积分;
收敛;发散
(2)无界函数的广义积分(瑕积分)
无界间断点,瑕点
3、积分上限的函数;
(1)变上限定积分;
(2)求导运算;
4、用定积分求平面图形的
面积和旋转体的体积。
两个简便公式
第六章微分方程
一、相关概念
定义:
未知函数,未知函数的导数,自变量;
阶,解,通解,特解
初始条件
二、四类方程
1、可分离变量的微分方程;
2、一阶线性微分方程;
一阶齐次线性。
。
。
。
3、二阶常系数齐次线性。
。
。
。
特征方程
4、二阶常系数非齐次线性。
。
。
非根,k=0;单根,k=1;
二重根k=2.
第八章多元函数微分学
一、二元函数,三元函数
二元函数的定义域:
平面区域(平面点集),图形
空间曲面
三、求偏导数;求全微分;
变量的对称性
四、二元隐函数求偏导数;
五、二元函数的极值。
第九章二重积分
一、相关概念
面积元素,
积分区域:
平面闭区域
曲顶柱体的体积
二次积分,累次积分
交换积分次序
二、计算(直角坐标系中的计算)
极坐标系
第七章向量代数与
空间解析几何
一、向量
1、相关概念:
大小,模,方向
单位向量,零向量
空间直角坐标系(三维)
正交,方向角,方向余弦
平行、垂直
2、向量的运算
加法(减法),数乘,
数量积(点乘积)
向量积(叉乘积)
右手法则
二、空间曲面和曲线
三、平面及其方程
法向量
点法式方程
一般式方程,截距式方程
四、(空间)直线及其方程
方向向量
点向式方程
第十章无穷级数
一、无穷级数的定义,分类,
常数项无穷级数
函数项无穷级数:
幂级数
收敛,发散;
收敛级数三大性质(1,2,5);
三大级数:
调和级数,
等比级数(几何级数),
p-级数
二、正项级数审敛法
1、比较审敛法;
2、比较审敛法的极限形式;
3、比值审敛法;阶乘
4、根值审敛法
三、交错级数(莱布尼茨定理)
四、绝对收敛,条件收敛
五、幂级数
1、相关概念;
收敛点,发散点
收敛域,发散域
收敛区间,收敛半径R
和函数
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