第十一届华杯赛初赛试题及解答.docx
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第十一届华杯赛初赛试题及解答
第十一届华杯赛初赛试题及解答
1.如图所示,将一张正方形纸片先由下向上对折压平,再由右翻起向左对折压平,得到小正方形ABCD,取AB的中点M和BC的中点N,剪掉△MBN,得五边形AMNCD。
则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是( )。
2.2008006共有( )个质因数。
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
3、奶奶告诉小明:
“2006年共有53个星期日”。
聪敏的小明立到告诉奶奶:
2007年的元旦一定是()。
(A)星期一 (B)星期二 (C)星期六 (D)星期日
4、如图,长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。
位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向,位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发,分别沿着长方形的边爬行。
如果两只蚂蚁第一次在B点相遇,则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上。
(A)AB (B)BC (C)CD
5、图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°),以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。
连接BE交AD于P,再连接PC。
则图中阴影部分的面积是()平方厘米。
(A)6.36 (B)3.18 (C)2.12 (D)1.59
6、五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目。
如果贝贝和妮妮不相邻,共有( )种不同的排法。
(A)48 (B)72 (C)96 (D)120
二、A组填空题
7、在算式
中,汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中的7个数字,不同的汉字代表不同的数字,恰使得加法算式成立。
则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于____。
8、全班50个学生,每人恰有三角板或直尺中的一种,28人有直尺,有三角板的人中,男生是14人,若已知全班共有女生31人,那么有直尺的女生有____人。
9、下图是一个直圆柱形状的玻璃杯,一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。
当吸管一端接触圆柱下底面时,另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米,最多能露出4厘米。
则这个玻璃杯的容积为____立方厘米。
(取π=314)(提示:
直角三角形中“勾6、股8、弦10”)
10、有5个黑色和白色棋子围成一圈,规定:
将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子,在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子,然后将原来的5个棋子拿掉。
如果从图
(1)的初始状态开始依照上述规定操作下去,对于圆圈上呈现5个棋子的情况,圆圈上黑子最多能有___个。
三、B组填空题
11、李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥。
若每亩施6千克,则缺少化肥300千克;若每亩施5千克,则余下化肥200千克。
那么李大爷共承包了麦田___亩,这批化肥有___千克。
12、将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数:
A=135********171921……9799101103。
则数a共有_____位,数a除以9的余数是___。
13、自制的一幅玩具牌共计52张(含4种牌:
红桃、红方、黑桃、黑梅。
每种牌都有1点、2点、……、13点牌各一张)。
洗好后背面朝上放好。
一次至少抽取____张牌,才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。
如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)。
那么至少要取___张牌。
14、图中有____个正方形,有___个三角形。
答案:
1、D
解:
考察空间想像力。
如图,实际是逆向想像操作过程。
2、选C
解:
因为20082006=2006×1000+2006=2006×1001=(2×17×59)×(7×11×13)。
3、选A
解:
2006年有365天,而365=7×52+1,又已知2006年有53个星期天,只能元旦是星期天,且12月31日也是星期日,所以,2007年月的元旦是星期一。
4、选D
解:
如图,长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。
将AB,CD边各5等分,BC,DA边各4等分。
设每份长度为a。
由于两只蚂蚁第一次在B点相遇,所以第一只蚂蚁走5a,第二只蚂蚁走4a,接下来,第一只蚂蚁由B走到E点时,第二只蚂蚁由B走到F点,再接下来,当第一只蚂蚁由走到G点时,第二只蚂蚁由F也走到G,这时,两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。
5、选B
解:
如图,连接AE,BD。
因为AD∥BC,则:
又AB∥ED,则:
所以,
=3.18(平方厘米)
说明:
答案和直角梯形形状无关,可以让BC边趋近AD边,直到和AD边重合,此时,P与A重合,PE是ADEF的对角线,所以,阴影部分的面积是ADEF面积的一半,等于3.18平方厘米。
6、B
解:
贝贝在左、妮妮在右相邻的排法有4×3×2×1=24(种),贝贝在右、妮妮在左相邻的排法也有4×3×2×1=24(种),总的排法5×4×3×2×1=120(种)。
所以贝贝和妮妮不相邻的排法是120-2×24=72(种)。
二、A组填空题
7、35
解:
根据加法规则,“第”=1。
“届+赛”=6或“届+赛”=16。
若“届+赛”=6,只能是“届”、
“赛”分别等于2或4,此时“一十杯”=10只能“一”、“杯”分别为3或7。
此时“十+华”=9,“十”、“华”分别只能取(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),但1,2,3,4均已被取,不能再取。
所以,“届+赛”=6填不出来,只能是“届+赛”=16,“十+华”+1=10,也就是“一+杯”=9同时“十+华”=9。
所以它们可以分别在(3,6),(4,5)两组中取值。
因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35。
8、23
解:
有三角板的学生共50-28=22(人),其中女生22-14=8(人),那么有直尺的女生有31-8=23(人)。
9、226.08.
解:
如图,一个长为12厘米的直棒状细吸管放在玻璃杯内,另一端沿吸管最多能露出4厘米,表明直圆柱的高CB=12-4=8(厘米);另一端沿吸管最少可露出2厘米,表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为AC=12-2=10(厘米)。
由直角三角形中“勾6、股8、弦10”的常识,可知圆柱底面圆的直径是6厘米,半径为3厘米。
因此,这个玻璃杯的容积为(立方厘米)。
10、4
解:
因为在异色棋子之间放黑子,圆周上只有5个棋子,必有相邻两个棋子是同色的,所以,不同能出现5个黑子。
而第二次操作时圆周上就出现了4个黑子。
所以,在各次操作过错成后,圆圈上呈现的5个围棋子中最多能有4个黑子。
三、B组填空题
11、500;2700
解:
设麦田x亩,如每亩施6千克,则缺少300千克化肥,可知现有化肥为6x-300(千克);如每亩施5千克,则余下200千克化肥,可知现有化肥应为5x+200(千克)。
由于现有化肥量是个定值,所以6x-300=5x+200,解得x=500(亩)。
现有化肥量是5×500+200=2700(千克)。
12、101;4
解:
一位的奇数有5个,两位的奇数有45个,再加两个三位奇数,所以a是一个5+2×45+3×2=101(位)数。
从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1,3,5,7,0,2,4,6,8,1,3,5,7,0,2,4,6,8,…,从1开始,每周期为9个数1,3,5,7,0,2,4,6,8的循环。
因为(1+3+5+7+0+2+4+6+8)被9除余数为0,从1-89恰为5个周期,所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数,等于4。
解法2:
一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同,利用这条性质,a=135********171921……9799101103中13579的数字和被9除的余数是7,而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0,101103的数字和被9除的余数是6。
所以,a被9除的余数是(7+6)被9除的余数,是4。
13、27;37
解:
对前一种情况,可取红、黑色的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13点各1张,共13×2=26(张),那么再取一张牌,必定和其中某一张牌点数相同,于是就有2张牌点数和颜色都相同。
这是最杯的情况,因此,至少要取27张牌,必能保证有2张牌点数、颜色都相同。
对后一种情况,有以下的搭配:
(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)、(10,11,12),13。
因而对涂阴影的9个数,四种花色的牌都取,这样可以取到(4×2+1)×4=36(张)牌,其中没有3张牌的点数是相邻的。
现在考虑取37张牌,极端情况下,这37张牌,有4张是13,则至少要有33张牌取自(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)、(10,11,12)四个抽屉,根据抽屉原则,必有9个数来自其中一个抽屉,这个抽屉中就一定有3张牌的点数相邻的。
因此,至少要取37张牌。
14、95;155。
解:
第1问,以面积大小数正方形,记最小的正方形面积为1;面积为1的正方形的个数:
36;面积为2的正方形的个数:
4;面积为4的正方形的个数:
25;面积为9的正方形的个数:
16;面积为16的正方形的个数:
9;面积为25的正方形的个数4;面积为36的正方形的个数:
1。
所以,共有36+4+25+16+9+4+1=95(个)正方形。
第2问。
方法1:
以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形:
只有1个基本图形单位的三角形共72个;
由2个基本图形单位组成的三角形共37个;
由4个基本图形单位组成的三角形共30个;
由8个基本图形单位组成的三角形共4个;
由9个基本图形单位组成的三角形共10个;
由16个基本图形单位组成的三角形共2个;
所以图中共有三角形72+37+30+4+10+2=155(个)。
方法2:
依三角形的斜边的长度数三角形。
(1)斜边和水平线成45度角的三角形,记这类三角形最小的斜边的长度为1:
长度为3的斜边共有:
5条;长度为4的斜边共有:
1条。
因为图中这类斜边每条带有2个三角形,所以共有2×(36+15+5+1)=114(个)。
(2)斜边水平的三角形,从上向下:
斜边在第一条线有2个;斜边在第二条线有4个;斜边在第三条线有4个;斜边在第四条线有5个;斜边在第五条线有2个;斜边在第六条线有2个;斜边在第七条线有2个;
所以这种类型的三角形共有21个。
(3)斜边为垂直线的三角形,从左向右:
斜边在第一条线有2个;斜边在第二条线有2个;斜边在第三条线有5个;斜边在第四条线有3个;斜边在第五条线有3个;斜边在第六条线有4个;斜边在第七条线有1个,所以这种类型的三角形共有20个。
共有114+21+20=155(个)三角形。
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