推荐高中数学解析几何解题方法.docx

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推荐高中数学解析几何解题方法

解析几何常规题型及方法

核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：

定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

常规题型及解题的技巧方法

A:

常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：

设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题给定双曲线。

过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。

分析：

设，代入方程得，。

两式相减得

。

又设中点P（x,y），将，代入，当时得

。

又，

代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是

说明：

本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P（x,y）为椭圆上任一点，，为焦点，，。

（1）求证离心率；

（2）求的最值。

分析：

（1）设，，由正弦定理得。

得，

（2）。

当时，最小值是；

当时，最大值是。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题

（1）求证：

直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f（t）的表达式。

（1）证明：

抛物线的准线为

由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得

故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：

设点A（x1，y1），点B（x2，y2）

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px（p>0），过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：

这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于

（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：

“求范围，找不等式”。

或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于

（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：

“最值问题，函数思想”。

解：

（1）直线L的方程为：

y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：

设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2），则,又y1=x1-a,y2=x2-a,

解得:

（2）设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：

所以|QM|2=（a+p-a）2+（p-0）2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。

若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

分析：

曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L：

y=kx（k≠0）,C:

y2=2px（p>0）

设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A/（），B（）。

因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：

k2-k-1=0.解得：

k=,p=.

所以直线L的方程为：

y=x,抛物线C的方程为y2=x.

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：

x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：

如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：

P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：

|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：

（2-1）（x2+y2）-42x+（1+42）=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。

这种方法叫做直接法。

（6）存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：

求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

分析：

椭圆上两点，，代入方程，相减得

。

又，，，代入得。

又由解得交点。

交点在椭圆内，则有，得。

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

（1）求的取值范围；

（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

分析：

（1）直线代入抛物线方程得，

由，得。

（2）由上面方程得，

，焦点为。

由，得，或

B:

解题的技巧方面

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明：

（1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

解：

圆过原点，并且，

是圆的直径，圆心的坐标为

又在直线上，

即为所求。

评注：

此题若不充分利用一系列几何条件：

该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

评注：

此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

解：

设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。

由方程组消去后得

由，得

（1）

又P、Q在直线上，

把

（1）代入，得，

即

化简后，得

（4）

由，得

把

（2）代入，得，解得或

代入（4）后，解得或

由，得。

所求椭圆方程为

评注：

此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

三.充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：

上的圆的方程。

解：

设所求圆的方程为：

即，

其圆心为C（）

又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。

评注：

此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

典型例题P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

①充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：

把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例求直线被椭圆所截得的线段AB的长。

②结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值

③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

（注：

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