高中数学第一章立体几何初步111简单多面体学案北师大版必修2.docx
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高中数学第一章立体几何初步111简单多面体学案北师大版必修2
1.1 简单旋转体
学习目标 1.通过实物操作,增强直观感知(重点);2.能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类(重点);3.会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(重、难点).
知识点一 球的结构特征
1.定义:
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体叫作球体,简称球.
2.相关概念(如图).
3.表示法:
球常用表示球心的字母表示,图中的球表示为球O.
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)球可以以圆的直径所在的直线为旋转轴旋转得到.(√)
(2)球体内的点到球心的距离都不大于球的半径.(√)
知识点二 旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.
知识点三 圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台.
【预习评价】
1.圆柱的母线有多少条?
它们之间有什么关系?
提示 圆柱的母线有无数条;相互平行.
2.圆锥过轴的截面叫做轴截面,那么圆锥的轴截面是什么形状?
提示 等腰三角形.
3.正确的打“√”,错误的打“×”
(1)圆台的母线只有一条.(×)
(2)过圆台的轴的截面叫轴截面,它是等腰梯形.(√)
(3)用平行于圆台底面的平面去截圆台,截面是圆面.(√)
题型一 旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确:
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线;
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.
解
(1)错.由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.
(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
(3)正确.
(4)错.应为球面.
规律方法
(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体,必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
(2)只有理解了各旋转体的生成过程,才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念,进而判断与这些概念有关的命题的正误.
【训练1】 下列命题正确的是________(只填序号).
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥;
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内;
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段;
⑦球面上任意三点可能在一条直线上;
⑧用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
解析 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;③它们的底面为圆面;④正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故⑤错误;根据球的半径定义,知⑥正确;球面上任意三点一定不共线,故⑦错误;用一个平面去截球,一定截得一个圆面,故⑧正确.
答案 ④⑥⑧
题型二 简单组合体的结构特征
【例2】 如图
(1)、
(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
解 旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
规律方法
(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时,要过有关顶点向轴作垂线,然后想象所得旋转体的结构和组成.
(2)必要时作模型培养动手能力.
【训练2】 已知
AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰,如图所示.分别以AB,BC,CD,DA所在的直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.
解
(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台,如图①所示.
(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体:
下部为圆柱,上部为圆锥,如图②所示.
(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体:
上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥,如图③所示.
(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体:
一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示.
【探究1】 边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________cm.
解析
圆柱的侧面展开图如图所示,展开后E′F=
×2π×
=
π(cm),
∴E′G=
=
(cm).
答案
【探究2】 圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比.
解 将圆台还原为圆锥,轴截面如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,
则
所以
即h1∶h2=2∶1.
【探究3】 一个圆锥的底面半径为2,高为6,且有一个高为x的内接圆柱.
(1)用x表示出圆柱的轴截面面积S;
(2)当x为何值时,S取得最大值?
解 作出
圆锥和内接圆柱的轴截面,如图.
设圆柱的底面半径为r,则由三角形相似可得
=
,解得r=2-
,x∈(0,6).
(1)圆柱的轴截面面积S=2r·x=2x·
=-
x2+4x,x∈(0,6).
(2)∵S=-
x2+4x=-
(x-3)2+6,∴当x=3时,S取得最大值,最大值为6.
【探究4】 如图
所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O′O的母线长.
解 设圆台的母线长为lcm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.
过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3cm.
∴
=
.∴
=
=
.
解得l=9(cm),
即圆台的母线长为9cm.
【探究5】 圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
解
(1)如图所示,将侧面展开,绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度.
设OB′=L′,则有θ=
×360°,θ=
×360°,
则L′=20cm,∴θ=
×360°=90°,
OA=40cm,OM=30cm.
∴AM=
=50cm.
即绳子最短长度为50cm.
(2)作OQ⊥AM于点Q,交弧BB′于点P,
则PQ为所求的最短距离.
∵OA·OM=AM·OQ,∴OQ=24cm.
故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.
规律方法
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构建相关几何变量的方程组而得解.
(2)求旋转体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题,常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题.求解时,注意图形特征,常构造直角三角形,利用勾股定理等知识求解.这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现.
课堂达标
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
答案 D
2.过球面上任意两点A、B作大圆,可能的个数是( )
A.有且只有一个B.一个或无穷多个
C.无数个D.以上均不正确
解析 当过A,B的直线经过球心时,经过A,B的截面所得的圆都是球的大圆,这时过A,B作球的大圆有无数个;当直线AB不经过球心O时,经过A,B,O的截面就是一个大圆,这时只能作出一个大圆.
答案 B
3.下列说法正确的是( )
A.圆锥的母线长等于底面圆直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系;圆柱的母线与轴平行;圆台的母线与轴不平行.
答案 D
4.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是________.
解析 连接正方形的两条对角线知,对角线互相垂直,故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥.
答案 两个圆锥
5.圆台的轴截面中,上、下底边长分别为2cm,10cm,高为3cm,则圆台母线的长为________cm.
解析 圆台母线的长为l=
=5(cm).
答案 5
课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.处理组合体问题常采用分割思想.
4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用,切实体会空间几何平面化的思想.
基础过关
1.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体可能是( )
A.圆柱B.圆台
C.球体D.圆锥
解析 圆柱、圆台和球体无论怎样截,截面可能是曲面,也可能是矩形(圆柱),不可能截出三角形.只有圆锥可以截出三角形,故选D.
答案 D
2.有下列四种说法:
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体;
②以直角三角形的一边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥;
③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;
④圆锥的底面是圆面,侧面是个曲面.
其中错误的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析 圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体,故①错;以直角三角形的一条直角边所在直线为轴,旋转一周,才能构成圆锥,故②错;圆台是由圆锥截得的,故其任意两条母线延长后一定交于一点,故③错;④是圆锥的性质,故④正确.
答案 C
3.一平面截球O得到半径为
cm的圆面,球心到这个平面的距离是2cm,则球的半径是( )
A.9cmB.3cm
C.1cmD.2cm
解析 设球的半径为R.根据勾股定理,
有R=
=3(cm).
答案 B
4.将等边三角形绕它的一条中线旋转180°,形成的几何体是________.
答案 圆锥
5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
,则这个圆锥的母线长为________.
解析 如图
所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC=
AB2,∴
=
AB2,∴AB=2.
答案 2
6.判断图中所示的几何体是不是圆台,为什么?
解
(1)符合圆台的结构特征,是圆台;
(2)不是圆台,因为它的上、下两个底面不平行;(3)是由两个圆台组合而成的,不符合圆台的结构特征,不是圆台.
7.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
解
(1)如图
圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,点O1、O分别为上、下底面中心,连接OO1.延长BA,CD,OO1,交于点S,过点A作AM⊥BC于点M.由已知可得上底面半径O1A=
=2cm,下底面半径OB=
=5cm,腰长为12cm,所以高AM=
=3
cm.
(2)设截得此圆台的圆锥SO的母线长为lcm,则由△SAO1∽△SBO可得,
=
,所以l=20cm,即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
能力提升
8.向高为H的水瓶中以恒定的速度注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是( )
解析 令h=
,由图像知此时注水体积大于几何体体积的一半,所以B正确.
答案 B
9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( )
A.4B.3
C.2D.0.5
解析 如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π、8π,∴两个截面圆的半径分别为r1=
,r2=2
.
∵球心到两个截面的距离d1=
,d2=
,
∴d1-d2=
-
=1,∴R2=9,∴R=3.
答案 B
10.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为________cm.
解析 如图
所示,在Rt△ABO中,
AB=20cm,A=30°,
所以AO=AB·cos30°=20×
=10
cm.
答案 10
11.在半径为13的球面上有A、B、C三点,其中AC=6,BC=8,AB=10,则球心到经过这三个点的截面的距离为________.
解析 由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形,所以其外接圆的半径r=
=5,所以d=
=12.
答案 12
12.如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下一个扇形环ABCD,作圆台形容器的侧面,并且能在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形,使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).AD应取多长?
解 如图是圆台的轴截面,设圆台下底面圆的半径为R,AD=x,则OD=72-x,
由题意,知圆台下底面的周长等于弧AB的长,即
2πR=
×72.①
又∵∠AOB=60°,
∴∠AOE=30°,∴OE=2R,即72-x=3R.②
联立①②,解得
即AD应取36cm.
13.(选做题)
如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x);
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;
(3)f(x)的最大值.
解
将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA′的长度L就是圆O的周长,
∴L=2πr=2π.
∴∠ASM=
×360°=
×360°=90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为AM=
(0≤x≤4).
f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,
在△SAM中,
∵S△SAM=
SA·SM=
AM·SR,
∴SR=
=
(0≤x≤4),
即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为
(0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,
∴f(x)的最大值为f(4)=32.
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- 高中数学 第一章 立体几何 初步 111 简单 多面体 北师大 必修
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