一元二次方程应用题总复习.docx
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一元二次方程应用题总复习
一元二次方程应用题总复习
一、列方程解应用题的一般步骤是
1.审:
审清题意:
已知什么,求什么?
已,未知之间有什么关系?
2.设:
设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:
列代数式,列方程;
4.解:
解所列的方程;
5.验:
是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:
答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
注:
列方程解应用题的关键是:
找出等量关系
二、《一元二次方程》,其应用题的范围也比较广泛,归纳起来可大致有以下几种类型:
一)求互相联系的两数:
连续的整数:
设其中一数为x,另一数为x+1
连续的奇数:
设其中一数为x,另一数为x+2
连续的偶数:
设其中一数为x,另一数为x+2
和一定的两数(和为a):
设其中一数为x,另一数为a-x
差一定的两数(差为a):
设其中一数为x,另一数为x+a
积一定的两数(积为a):
设其中一数为x,另一数为a/x
商一定的两数(商为a):
设其中一数为x,另一数为ax(a/x)
例:
两个相邻偶数的积是168,求这两个偶数。
解:
设其中一数为x,另一数为x+2,
依题意得:
x(x+2)=168
x2+2x-168=0
(x-12)(x+14)=0
x1=12,x2=-14
当x=12时,另一数为14;
当x=-14时,另一数为-12.
答:
这两个偶数分别为12、14或-14、-12.
二)求直角三角形的边:
面积S一定,两直角边和(和为a)一定:
设其中一边为x,另一边为a-x,则1/2x(a-x)=S
面积S一定,两直角边差(差为a)一定:
设其中一边为x,另一边为x+a,则1/2x(x+a)=S
斜边c一定,两直角边和(和为a)一定:
设其中一边为x,另一边为a-x,则x2+(a-x)2=c2
斜边c一定,两直角边差(差为a)一定:
设其中一边为x,另一边为x+a,则x2+(x+a)2=c2
例:
一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积是9cm,求较长的直角边的长。
解:
设较短的直角边的长为x厘米,较长的直角边的长为(x+3)厘米,根据三角形的面积公式,得1/2x(x+3)=9
解得:
X=3或X=-6(不合题意,舍去)
故X=3,X+3=6
所以较长的直角的边长为6厘米。
三)求矩形的边:
例:
①利用一面墙(墙的长度不限),用20m长的篱笆,怎样围成一个面积为50m2的矩形场地?
解:
设靠墙的一边为x
x(20-2x)=20
解得:
x=5
∴设靠墙的两边为5m,另一边为10m
四)赛制循环问题:
单循环:
设参加的球队为x,则全部比赛共1/2[x(x-1)]场;
双循环:
设参加的球队为x,则全部比赛共x(x-1)场;
【单循环比双循环少了一半】
例:
参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人握手10次,有多少人参加聚会?
解:
设一共有x人
x•(x-1)2=10
解得:
x=5或x=-4(不合题意,舍去)
∴一共有5人
五)利滚利问题:
年利息=本金×年利率年利率为a%
存一年的本息和:
本金×(1+年利率),即本金×(1+a%)
存两年的本息和:
本金×(1+年利率)2,即本金×(1+a%)2
存三年的本息和:
本金×(1+年利率)3,即本金×(1+a%)3
存n年的本息和:
本金×(1+年利率)n,即本金×(1+a%)n
例:
我村2006年的人均收入为1200元,2008年的人均收入为1452元,求人均收入的年平均增长率。
解:
设均收入的年平均增长率,则1200×(1+x)2=1452
解得:
x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去)
∴人均收入的年平均增长率为10%。
六)传染问题:
(几何级数)
传染源:
1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1:
(1+x)】
患者:
第一轮后:
共(1+x)个
第二轮后:
共(1+x)(1+x),即(1+x)2个
第三轮后:
共(1+x)3,即(1+x)3个
……
第n轮后:
共(1+x)n个
例:
某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。
请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
解:
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得:
x2=81
解得:
x=9或-9(负值不合题意,舍去)
∵93=729>700,∴若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台。
七)薄利多销问题(价格与销量问题)(略)
八)函数与方程
九)信息题
十)背景题
十一)古诗题
十二)象棋比赛题
十三)几何类题
三、应用举例
一)数字型
1、两个数的和是-7,积是12,则这两个数是多少?
2、5个连续正数,前3个数的平方比后两个数的积小1,这5个连续整数分别是多少?
3、一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,求这个两位数是多少?
二)百分数应用题(含增长率方面的)题型
1、某企业2004年初投资100万元生产适销对路的产品,2004年底将获得的利润与年初的投资和作2005年的投资,到2005年底,两年共获利润为56万元,已知2005年的年获利比2004的年获利率多10个百分点(即2005的年获利率是2004年的年获利率与10%的和),求2004年和2005年获利率各是多少?
2、某工厂一月份生产某种机器100台,计划二、三月份共生产280台。
设二、三月份每月的平均增长率为X,求增长率为多少?
3、某市土地沙漠化严重,2005年沙漠化土地面积为100Km2,经过综合治理,希望到2007年沙漠化土地面积降到81Km2,如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同,求每年的沙漠化土地的降低百分率。
三)传染病毒应用题
1、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
2、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病,在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡?
四)银行利率应用题
1、某人将2000元按一年定期存银行。
到期后取出1000元,并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行,到期后取得本息共计1091.8元。
求银行一年定期储蓄的利率是多少?
五)销售利润方案类题
(1)经济类一
1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?
解:
设每件售价x元,则每件利润为x-8,
销售量则为200-(x-10)/0.5*10=200-20(x-10)
所以每天利润为640元时,则有
(x-8)[200-20(x-10)]=640
则有x2-28x+192=0
即(x-12)(x-16)=0
所以x=12或x=16。
即当每件售价为12元或16元时,每天利润为640元
2、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元,如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元,某单位组织员工去大纵湖风景区旅游,共支付给神州旅行社旅游费用2700元,请问该单位这次共有多少员工去旅游了。
3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣,以每件50元售出,平均每月能售出300件,经过试销发现,每件内衣涨价10元,其销量就将减少10件,为了实现每月8700元销售利润,假如你是商场营销部负责人,你将如何安排进货?
解:
设涨价10x元,销量将减少10x件:
(300-10X)(50+10X-30)=87006000+3000X-200X-100X²=8700
X²-28X+27=0(X-1)(X-27)=0
X1=1,以每件50+10*1=60元售出,平均每月能售出300-10*1=290件,进货290件,以每件60元售出.
X2=27,以每件50+10*27=320元售出,平均每月能售出300-10*27=30件,进货30件,以每件320元售出.因为售出价320元太高,此解舍去.
4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元,那么门票可以全部售完,门票价格每增加1元,售出的门票数就减少30张,如果想获得36750元的门票收入,票价应定为多少元?
5、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多销售出2件,
1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
答案:
1)设每件衬衫应降价X元。
得
(20+X*2)*(40-X)=1200
解X=10答:
应降价10元
2)设每件衬衫应降价X元,商场平均每天盈利最多y元。
得
(20+X·2)(40-X)=y
解X=15答:
应降价15元
(2)经济类二(经济类试题一元二次方程的实际应用)
近年来方程的应用与相关经济类试题呈逐渐增多的趋势.现举例说明:
例1:
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
分析:
设每件衬衫降价x元,则每件衬衫盈利(40―x)元,降价后每天可卖出(20+2x)件,由关系式:
总利润=每个商品的利润×售出商品的总量,可列出方程.
解:
设每件衬衫降价x元,
依题意,得(40―x)(20+2x)=1200,
整理得:
x2―30x+200=0,解得:
x1=10,x2=20,
因为要尽快减少库存,所以x=10舍去.答:
每件衬衫应降价20元.
例2:
某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,以后加强改进管理,经减员增效,大大激发了全体员工的积极性,月销售额大幅度上升,到四月份销售额猛增到96万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?
(精确到0.1%)
分析:
设三、四月份平均每月增长的百分率为x,二月份销售额为60(1―10%)万元,三月份的销售额是二月份的(1+x)倍,即三月份销售额为60(1―10%)(1+x)万元,四月份的销售额是三月份的(1+x)倍,则四月份的销售额为60(1―10%)(1+x)2万元,其等量关系为:
四月份销售额=96.
解:
设三、四月份平均每月的增长率为x,
依题意,得60(1―10%)(1+x)2=96
解得:
x1=,x2=(舍去)答:
平均每月的增长率为33.3%.
例3:
某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350―10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需卖出多少件商品,每件售价应为多少元?
分析:
本题中涉及到的数量关系列表如下:
进价
售价
单件利润
售出数量
利润
21
a
a―21
350―10a
400
解:
依题意得(a―21)(350―10a)=400,
整理得a2―56a+775=0,即(a―25)(a―31)=0,
解得a1=25,a2=31.
又因为21×(1+20%)=25.2,
例4.(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?
每天的最大利润是多少?
解:
(1)设甲商品的进货单价是x元,乙商品的进货单价是y元.
根据题意,得
解得
答:
甲商品的进货单价是2元,乙商品的进货单价是3元.
(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元,则
s=(1-m)(500+100×
)+(5-3-m)(300+100×
)
即s=-2000m2+2200m+1100=-2000(m-0.55)2+1705.
∴当m=0.55时,s有最大值,最大值为1705.
答:
当m定为0.55时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大,每天的最大利润是1705元.
六)函数与方程
1.某工厂生产的某种产品质量分为10个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件,每件利润10元.媒体搞一个档次,每件利润增加2元,但每天产量减少4件.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1
x
10),求出y关于x的函数关系式;
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元,求该产品的质量档次.
解:
1)生产数量为:
76-4(X-1)
利润为:
10+2(X-1)
则函数为:
Y=[76-4(X-1)][10+2(X-1)]
整理为:
Y=-8X2+128X+640
把Y=1080代入解得X=5或X=11(不合题舍)固为第五档.
七)信息题
1、某开发区为改善居民住房条件,每年都要建一批住房,这样人均住房面积逐年增加,该开发区2005年至2006年,每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示,请根据下列两图提供信息解答问题:
(1)该区2005年和2006年这两年,哪一年比上年增加的住房面积多?
多增加多少平方米?
(2)预计到2008年年底,该区人口是总数将比2006年年底增加2万人,为使到2007年年底该区人均住房面积达到22m2/人,试求2006年,2008年两年该区住房总面积的年平均增长率。
2、某开发区为改善居民住房条件,每年都新建一批住房,人均住房面积逐年增加[人均住房面积=(该区住房总面积/该区人口总数)(单位:
m2/人)],该开发区2004年至2006年每年年底人口总数和人均住房面积的统计如图1,图2.
请根据图1,图2提供的信息解答下面问题:
(1)该区2005年和2006年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多多增加多少平方米?
(2)由于经济发展需要,预计到2008年底该区人口总数比2006年底增加2万人,为使到2008年底该区人均住房面积达到11m2/人,试求2007年和2008年这两年该区住房总面积的年平均增长率为多少?
考点:
一元二次方程的应用.
专题:
增长率问题;图表型.
分析:
本题根据图象提供的信息进行分析、筛选,整理有关数据,根据题目的要求,正确识图,进而找出2005年和2006年人均住房面积及多增加多少万平方米.第二个问题的实质是2007年和2008年的平均增长率是以2006年底人口为基础,再结合人均住房面积,求出总面积.
解答:
解:
(1)2006年比2005年增加住房面积:
20×10-18×9.6=27.2,
2005年比2004年增加住房面积:
18×9.6-17×9=19.8,
所以2006年比2005年的增加的面积多,且多增加27.2-19.8=7.4(万m2).
(2)设住房面积的平均增长率为x,则20×10(1+x)2=11×(20+2).解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去).
所以2006年与2007年这两年该区住房面积的年平均增长率为10%.
点评:
列一元二次方程解应用题将实际问题转化为数学问题,增长率或降低率问题它符合a(1+x)n=b类型,x是增长率,a是基础数,b是增长后的量.
本题第二问考查数量平均变化率问题,解题的关键是正确列出一元二次方程.原来的数量为a,平均每次增长或降低的百分率为x的话,经过第一次调整,就调整到a×(1±x),再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”,下降用“-”.
八)、背景题
1、某电厂规定:
该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过AkW·h,那么这个月这户只需要交10元电费;如果超过AkW·h,则这个月除了仍要交10元用电费外,超过部分还要按每度
元交费。
(1)该厂某户居民2月份用电90kW·h,超过了规定的AkW·h,则超过部分应交电费多少元(用A的代数式表示)。
(2)下表是这户居民3月、4月份用电情况和交费情况:
月份
用电量/kW·h
交电费总数/元
3
60
25
4
45
10
根据上表的数据,计算电厂规定的AkW·h是多少?
【实际背景】
预警方案确定:
设
.如果当月W<6,则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”.
【数据收集】
今年2月~5月玉米、猪肉价格统计表
月份
2
3
4
5
玉米价格(元/500克)
0.7
0.8
0.9
1
猪肉价格(元/500克)
7.5
m
6.25
6
【问题解决】
(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等,求3月的猪肉价格m;
(2)若今年6月及以后月份,玉米价格增长的规律不变,而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降,请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”;
(3)若今年6月及以后月份,每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍,而每月的猪肉价格增长率都为a,则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米.请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”.
解:
(1)由题意,
,
解得:
m=7.2.
(2)从2月~5月玉米的价格变化知,后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元.(2分)
(或:
设y=kx+b,将(2,0.7),(3,0.8)代入,得到y=0.1x+0.5,把(4,0.9),
(5,1)代入都符合,可评2分,再得到(6,1.1)时不再给分)
∴6月玉米的价格是:
1.1元/500克;(3分)
∵5月增长率:
,∴6月猪肉的价格:
6(1-
)=5.76元/500克.
∴W=
=5.24<6,要采取措施.
说明:
若答:
∵5月的W=6,而6月时W的分子(猪肉价格下降)减小,且分母(六月的玉米价格增长)增大,∴6月的W<6,未叙述减小和增大理由时可扣1分.
(3)7月猪肉价格是:
元/500克;
7月玉米价格是:
元/500克;
由题意,
+
=5.5,(6分)
解得,
.(7分)
不合题意,舍去.(8分)
∴
,(9分),
,∴不(或:
不一定)需要采取措施.
九)、古诗问题
例:
读诗词解题:
(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
解:
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.
则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.
当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;
当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.
说明:
本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题。
十)、象棋比赛
例:
象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).
答:
参加比赛的选手共有45人.
说明:
类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解。
十一)、几何类题
(1)等积变形
例1将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)
(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.
解 都能.
(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=
×18×15,即x2-34x+180=0,
解这个方程,得x=
,即x≈6.6.
(2)设扇形半径为r,则3.14r2=
×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.
说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.
(2)动态几何问题
例:
如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
解:
因为∠C=90°,所以AB=
=
=10(cm).
(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.
则根据题意,得
·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.
所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意,得
(6-x)·2x=
×
×6×8.整理,得x2-6x+12=0.
由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.
(3)梯子问题
例:
一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.
(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?
(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?
(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?
解:
依题意,梯子的顶端距墙角
=8(m).
(1)若梯子顶端下滑
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