数学名词解释.docx
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数学名词解释.docx
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数学名词解释
數學名詞解釋
絕對值(absolute):
數線上任何一個數點到零點的距離。
例如:
-4的絕對值是4;4的絕對值是4。
算則(algorithm):
為了執行一個特定形式的計算或解某類的問題,而進行組織化的程序。
例如:
長除法。
等差數列(arithmeticsequence):
有a1,a2,a3,….元素的數列,連續項的差都是一個常數,也就是:
對每一個i,
;例如:
數列{2,5,8,11,14,….},其公差是3。
漸近線(asymptotes):
當變數從原點增加到無窮大時,函數的曲線會非常靠近某些直線;例如:
x軸是函數sin(x)/x圖形的唯一漸近線。
公理(axiom):
數學系統的基本假設,它可以推導出定理;例如:
這系統可以是平面上的點與直線,則公理可以是「平面上任意二個相異點,存在唯一直線穿過這二點」。
二項式(binomial):
由二個單項式(monomial)的和或差所組成的代數式(關於單項式,請參閱單項式的定義)。
例如:
4a-8b。
二項式的係數(binomialcoefficient):
當n是任一正整數,k是介於0到n的任一整數(可以是0或n),二項式係數B(n,k)是
。
對於B(n,k)的常用記法是nCk或
。
除了0!
之外,符號n!
(n階乘)代表1到n所有整數的乘積(例如:
5!
=5×4×3×2×1=120);0!
是特例定義成1(也就是0!
=1)。
二項分配(binomialdistribution):
機率名詞,兩種結果的n次獨立試驗裡,出現k次結果的機率為A(或出現n-k次結果的機率為B),可能出現的這個結果就記作A和B。
二項式定理(binomialtheorem):
對於每個正整數n,
是一個多項式,二項式係數nCk為單項式(monomial)
的係數。
盒鬚圖(box-and–whiskerplot):
以繪圖的方式展現資料的中位數、四分數及極值。
盒狀圖顯示資料的散佈與集中狀況。
複數(complexnumbers):
複數可以表示成a+bi,a和b是實數,而且i滿足等式
,乘法的定義是:
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;複數加法的定義是:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
全等(congruent):
在平面或在空間中的兩個圖形,若經由剛性運動使得某個圖形與另一個圖形合而為一(請參閱剛性運動的定義)。
推測(conjecture):
一個有根據的猜測。
座標系(coordinatesystem):
一種對應的規則,把兩個或多個量明確標定在某些點上,並且這個對應規則要能夠滿足某特性,這些點能夠明確決定出數量;例如:
在平面上常見的笛卡兒座標系統x,y。
系理(corollary):
由定理直接推論的結果。
餘弦(cosine):
餘弦cos(θ)是單位圓上一點的X座標,使得連接點和原點的射線與正x軸形成θ角。
當θ是直角三角形的一個角時,則cos(θ)就是直角三角形斜邊與鄰邊的比值。
膨脹變換(dilation):
幾何學名詞是一種平面上或空間中的轉換D,若圖形經過轉換後,是P點轉換成本身,其他點和P點角度不變、與P點有r倍的距離,而且所有穿過P點的射線都會轉換成它本身,那麼這種,就是P點的膨脹(或擴張);如果P點是平面上的笛卡兒座標系統的原點,那麼膨脹變換D會將點(x,y)對應到點(rx,ry)。
單位的分析(dimensionalanalysis):
演算單位度量的代數算法,以代數法求量的正確單位;例如:
速度單位是長度除以時間(例如:
每秒多少公尺[公尺/秒]),而加速度的單位是速度除以時間;所以,加速度的單位是(公尺/秒)/秒=公尺/(秒平方)。
展開式(expandedform):
代數式的展開是沒有括號的等價式(equivalentexpression);例如:
等於
。
指數(exponent):
某數或變數的自乘次數。
指數函數(exponentialfunction):
通常用來研究關於成長和衰退(growthanddecay)的一種函數,其形式為
,a是正數。
因數(factors):
兩個數或兩個數以上相乘,其中任一數稱為因數,在3.172×11.315的式子中,因數就是3.712與11.315。
場(field):
指「數字系統」,類似於「有理數系統」,系統中的元素可以加與乘,系統中有一個0與一個乘法單位元素(稱為1),而且算術的組合規則是相似的;例如:
對於任意a、b、c:
ab=ba;1.a=a;0+a=a;a+b=b+a;a(b+c)=a.b+a.c;與等式a.x=b(除非a=0)和a+x=b都有唯一的解。
複數、實數與有理數都形成場,還有其他的場(例如:
所有
類型的實數)。
函數(function):
一種對應方式,由某個變數決定出另一個值。
等比數列(geometricsequence):
數列中幾個連續項之間有公比,數列的每一個連續項的求法是前項乘以公比。
例如:
數列{1,3,9,27,81......}中,其公比是3。
啟發式的論點(heuristicargument):
這種說明方法一般是應用在數學上,這種說明是用來暗示一個數學敘述的真實性,但可能不是完全符合邏輯的正確性或完整性。
長條圖(histogram):
垂直方塊統計圖,方塊之間沒有空隙,通常用來表示統計上的次數資料。
假設(hypothesis):
類似於假定(assumption)。
不等式(inequality):
兩個量之間的關係,可以表達某量小於、或小於等於另一個量。
整數(integers):
包含正的與負的全數以及0的集合;例如:
{…-2,-1,0,1,2…}。
無理數(irrationalnumber):
一個實數,無法表示成兩個整數的比例;例如:
2的平方根或是π。
引理(lemma):
一個比定理略為不正式的真實敘述,通常是一個較長的連續推論過程中分離出來的過渡敘述。
線性方程式(linearequation):
直線式等於零的等式。
線性式(linearexpression):
一個式子寫成ax+b,x為變數,而且a和b是常數;或有更多的變數,表達形式為ax+by+c,ax+by+cz+d,......等。
對數(logarithm):
對數是指數的逆元素。
方程式
可以被寫成
,以a為基底,x是y的對數。
除了1以外的任何正數都可以當作對數函數的基底(基底為10的對數,稱為常用對數;基底為e的對數,稱為自然對數)。
平均數(mean):
統計學名詞,二個量或更多量加起來再除以這些量的次數,就得到平均數。
中位數(median):
統計學名詞,把一組數字集合按照大小依序排列,位於中間的那個數。
如果N(集合的次數)是奇數,中位數就是中間的數,也就是排序第
的值;如果N是偶數,中位數就不在中間,所以中位數是兩這中間值的平均,也就是排序第
和
+1。
眾數(mode):
統計學名詞,已知一系列的數字中最常出現的數。
單項式(monomial):
對於變數x、y、z,單項式是
形式的式子,其中m,n和k為非負整數,而且a是一個常數(例如:
或
)。
非標準單位(nonstandardunit):
用來測量的單位,以物體形式表示(例如:
迴紋針、樹枝、鞋子,…等)。
平行(parallel):
歐幾里得幾何中,假如兩條相異直線沒有交點,則這兩條線就被定義成平行。
在座標平面中,兩條相異直線是平行的,若且唯若它們有相同的斜率。
排列(permutation):
一個集合{1,2,…,n}的排列,就是指對這些數字做重新組合。
極座標(polarcoordinates):
依據在r(到原點的距離)和θ(介於正x軸、此點連到原點所得直線之間的夾角)所建立的平面座標系統。
極座標方程式(polarcoordinates):
以極座標(r,θ)表示平面上點所成的集合關係的式子。
(例如:
r=2cosθ是圓的極座標方程式)。
多項式(polynomial):
代數名詞,單項式的總和;例如:
。
公理(postulate):
類似於公設(axiom)的敘述。
質數(prime):
一個大於1的自然數p是質數,若且為若p的正整數因數只有1和p。
前7個質數為2,3,5,7,11,13,17。
機率空間(probabilityspace):
全體事件的集合,每一個事件都會被分配到一個數量,稱為它的機率。
例如:
丟一對骰子五次,可能出現總和12就稱為一個事件,這個事件的機率為
。
二次函數(quadraticfunction):
假如一個函數f可以被寫成
,其中a,b,c是實數且
。
注意二次函數是二階的多項式。
四分位數(quartiles):
有時是指有序數據的四分之一,但比較常見的是把有序數據分成等數量四群的三個分點或界線。
第二個四分位數定義為中位數。
在正式定義中有較少變量,由於集合的元素數量之故,其比較低或第一,最高或第三,四分位數的切點可產生不同的答案。
也有定義低於或高於中位數的四分位數為中位數者。
本綱要採取的四分位數切點可以表示成相當正式:
實際累積分佈函數在不連續點0.25,0.5和0.75,分別代表比較低或第一個四分位;中位數或第二的四分位數;以及比較高或第三個四分位數。
有個表示這個概念的方法,是以從0到1的一直線,把排序好的元素等分成N等份(N是這個集合中元素的數量)。
每一個小段的長度是
。
比較低四分位數是其小段包括0.25點的元素,而比較高四分位數是其小段包括0.75點的元素。
當數據集合包括四個點的整數倍,鄰近切點的兩點平均值是四分位數切點。
這個定義是配合求偶數個元素集合的中位數。
令N是集合的樣本數,並且令Int()意味以消去法取整數。
當元素的個數不能分為4群,比較低和比較高的四分位數的切點之值就是
Int(
)+1和Int(
)+1
當元素個數可分為4群,比較低的四分位數的切點是以下元素值的平均。
(
)和(
)+1
而且比較高四分位數的切點是以下元素值的平均。
(
)和(
)+1
隨機變數(randomvariable):
一個函數,將機率空間中的每一個事件指派一個數值。
值域(range):
統計學名詞,一個資料集合裡最大值與最小值的差;數學名詞,一個函數的像。
比例(ratio):
兩個數的比較,通常表示成分數。
例如:
教室中假如有兩個女生,就會對應得到三個男生,則男生與女生的比例為3:
2或3/2(讀成三比二)。
有理數(rationalnumbers):
任何數可以表示成兩個整數的商;例如:
7/3,5/11,-5/13,7=7/1。
實數(realnumber):
所有十進數所組成的集合,無論有限或無窮。
反射(reflection):
平面上的一條直線、或空間中的一個平面所得的反射,是一種轉換,把平面上每一個點以那該直線為對應得到鏡像;或者是把空間中的點以該平面為對應得到鏡像,任何幾何的圖形經反射都會產生鏡像。
剛體運動(rigidmotion):
平面上或空間中保持距離以及角度不變的轉換。
開方根(rootextraction):
求已知數的因數,該因數連乘數次之後會得到給定的原數;例如:
32的5次方根為2,因為2×2×2×2×2=32。
旋轉(rotation):
過P點旋轉
角的平面旋轉,就是固定P點進行一個剛性運動T,使得若Q為平面上異於P的點,則直線PQ和直線PT(Q)的夾角為
;空間旋轉
角度的意思,是固定於一條直線L進行的一個剛性運動T,使得垂直於L的平面以固定L與平面交點進行
角的平面旋轉。
純量矩陣(scalarmatrix):
一個矩陣其對角元素都相等,至於非對角的元素則皆為0的。
單位矩陣就是一個例子。
散佈圖(scatterplot):
一個統計圖由點構成,能呈現一群數據。
科學記號(sciencenotation):
對於很大或很小的數目的精簡表示法。
用科學記號表示一個數,是用一個介於1到10的小數,乘以10為底的指數。
(例:
7000=
或0.0000019=1.9×
)
依樂托斯然尼斯質數篩法(sieveofEratosthenes):
可以得到某種範圍內所有質數的一種求法。
假設這個範圍是從2到300,做法是從2開始,在2到300之間把所有2的倍數但不等於2的數都掉;接著就要劃掉下一個,也就是3,在所有2到300之間劃掉是3的倍數但不等於3的數;接著要劃掉下一個數,也就是5,在2到300之間把所有是5的倍數但不等於5的數都劃掉。
以此類推。
在每個階段,下一個數一定是質數。
在這些步驟的最後,當300以下再也沒有數字被刪掉,每一個剩下的數就是質數。
(以300以內的質數為例,一旦17的倍數(非17本身)劃掉之後,這個步驟就停止。
因為任何兩個大於17的質數乘積一定大於300。
)。
相似(similarity):
幾何學名詞,如果有一擴張(參閱定義膨脹變換)使形狀S與形狀R全等,則形狀R和形狀S是相似的。
如果它們與其中任何一個擴張或收縮後的圖形是全等,則R和S是相似。
正弦(sine):
正弦sin(θ)是在單位圓上所有點的y座標,使得連接此點與原點的射線與正x軸形成了角θ。
當θ是直角三角形的一個角時,則sin(θ)是對邊與斜邊的比率。
平方根(squareroot):
n的平方根就是指所有能夠使得
成立的所有m值;例如:
16的平方根是4和-4。
-16的平方根是4i和-4i。
標準差(standarddeviation):
統計名詞,表示數據樣本的分散或變異情形。
可解釋成某樣本分配平均值的平均(也就是代表性,不是字面上的平均)差距(距離)。
比較精確的是,指樣本到分佈平均值的差距的平方和之方根,(以某種公式求平均值均方的方根)標準差也是變異數的平方根。
如同兩個變異數公式一樣(母體變異和樣本變異),有兩個標準差公式。
母體標準差是母體變異數的方根。
樣本標準差是樣本變異的方根。
對稱性(symmetry):
形狀S在平面或空間中的的對稱,是一個剛性運動T,就是將S整個映射至它本身(T(S)=S)。
舉例來說,以對角線和以中心旋轉一個直角的反射,這兩種反射都是正方形的對稱。
線性方程組(systemoflinearequations):
一次方程式的集合(例如:
x+y=7和x-y=1)。
其解是一組數,將這些數取代變量可使方程式為真。
以本題為例,“x=4和y=3”就是一個解。
定理(theorem):
數學上一個有意義的真敘述,它的表達型式是“p蘊含q”,p代表假設,q代表結論。
平移(translation):
一種特別的剛性運動,v是平面或空間的特定向量,將所有的x→x+v。
截線(transversal):
幾何學名詞,在平面上以知兩條或更多條的直線,截線是一條直線,這些線不同於上述的直線,而且和上述已知直線各交於一點。
單位分數(unitfraction):
分數的形式為
,n為正整數。
變數(variable):
變數是數據樣本的分部或變異情形。
可以解釋成樣本到分佈平均值的偏差平方之平均。
對於母體(也就是,當我們有無論何種群體的所有數據樣本)),也就是通常寫成
其中
是樣本集合
是樣本集合中的第i個樣本
是整個集合的平均值
是集合的樣本數
指樣本1到N的總和
這個公式常稱為母體變數,並也常表成
。
當我們正在處理一個樣本(也就是整個母體的子集合),我們無法理所當然地精確求出母體的平均值和變異數,所以我們估計之。
當應用到一個樣本時,處理的公式往往低估了真實的變異數。
無偏誤的估計是計算
這個公式通常稱為樣本變異數,常表成
。
變異(variance):
變化、改變。
向量(vector):
物理學名詞,是指可以測量的量(例如:
力),有方向和大小,有時候是應用的一個點;數學名詞,向量是代數系統中的一份子,向量之間可以互加、和實數(純量,scalar)相乘,整個系統的加法、乘法遵守特定的規則,其中也許物理向量結合在內。
函數值為零的點(zerosofafunction):
在這些點上,函數值等於零。
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