安徽大学高数期末卷解析17完整篇doc.docx
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安徽大学高数期末考试试卷及答案解析
(1)7
安徽大学2009-2010学年第二学期《高等数学A
(二)、B
(二)》
考试试卷(A卷)参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共五小题,每小题2分,共10分)
1
2、0;
3、;
4、1/20arcsind(,yyfxyπ∫∫)dx3
2;
5、
53
二、选择题(本大题共五小题,每小题2分,共10分)
6、A;
7、D;
8、D;
9、A;10、A.
三、计算题(本大题共五小题,其中第11、12、13题每小题10分,第14、15题每小题12分,共54分)
11.解.设。
则曲面在点处的法向量为
22(,,)Fxyzxyz=+−S(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(,,)(2,2,1)(2,2,1)
xyzFFFxy=−=−由题设可知,平面Π通过法线L,故
12ab0,+−+=(1,,1)(2,2,1)0a−⋅−=
即,由此解得123aba+=⎧⎨+=⎩035,.
22ab=−=12.解:
令222(,),(,)2yx
PxyQxyxyxy
−=
=++,则ddLIPxQy=+∫v,当时,2
2
0xy+≠22222()QxyP
xxyy
∂−==∂+∂∂2。
取一小圆周22:
Cxyεε+=,0ε>充分小,使得Cε完全位于L所围成的区域内,取逆时针方向。
设Dε为由L与Cε所围成的区域,则由Green公式得
dd(
dLCDQP
PxQyxyxy
ε
ε
+∂∂+=−=∂∂∫
∫∫0,所以ddddL
CPxQyPxQy
ε
+=−+∫∫22
(sin)(sin)(cos)(cos)
dπ
εθεθεθεθθε−−=−∫
20
d2π
θπ
==∫13.解:
设cos,sin,xRuyRuz==v=,则Σ对应于:
02,0Duvhπ≤≤≤≤。
sin,cos,0uuxRuyRuzu=−==,0,0,1vvvxyz===1=
故
2,0,ERFG==R=.于是,原式22
ddD
v
RuvRv
=+∫∫
222022
1dd2ln(2h
h
vRuvRRv)|Rv
π
π==⋅⋅+∫∫
+2
2
[ln()2ln]2lnRRhRRR
ππ=+−=。
14.解:
由题设,222
00
1()
(1)()
(1)1nn
nnnnfxxx∞∞
==′==−=−+∑∑x。
所以0
()()d(0)x
fxfttf′=+∫
200
(1)dxn
n
ntt∞
==−∑∫21
0
(1)21nn
nxn+∞
==−+∑,
上述级数的收敛域为[1,又因为,1]−()fx在1x=处连续,故令1x=,可得
1
(1)
(1).214
n
nfnπ
∞
=−==+∑15.解:
(1)
'()'()sin,'()'()cosxxzuzu
fufueyfufuexxyy∂∂∂∂====∂∂∂∂y222
2
()sin'()sin,xxzfueyfueyx
∂′′=+∂2222
()cos'()sin.xx
zfueyfueyy
∂′′=−∂
(2)将
(1)中结果代人方程,得2222x
22''()xzz
ez
fuexy
∂∂=+=∂∂''()()0
fufu−=,即这是一个齐次线性常系数方程,相应的特征方程为210λ−=,特征根为
121,1λλ==−
故12()uufuCeCe−=+,其中为任意常数。
12,CC四、应用题(本大题共两小题,其中第16题10分,第17题6分,共16分)16.解:
设所围成的圆的半径为x,长方形的长、宽分别为,yz。
原问题转化为求函数在条件2Sxyπ=+z22()xyzlπ++=下的最大值。
为此,构造Lagrange函数2(,,,)(222)Lxyzxyzxyzlλπλπ=+−++−。
220,xLxππλ=−=20yLzλ=−=,20zLyλ=−=,222Lxyzlλ0π=++−=。
得,xyz2λλ===,代入得0Lλ=28
l
λπ=+。
即,.284
ll
xyzππ=
==++17.解:
由质量公式得
(,)dL
Mxys
ρ=
∫1
x
=
∫3
21
2011(14)|1).1212
x=+=−五、证明题(本大题共两小题,其中第18题6分,第19题4分,共10分)18.证明:
11lnln(1nnn+=+为的单调递减,且n1
limln
(1)0nn→+∞+=。
故由Leibniz判别法可知,11
(1)ln
nnnn
∞
=+−∑收敛。
但1
ln
1lim
limln11nnnnnnnn
→+∞
→+∞++==,且11nn∞=∑发散,故由比较判别法的可知,1
1lnnnn∞
=+∑发散。
综上所述,原级数条件收敛。
19.证明:
设,则0()()dx
Fxftt=∫'()().
Fxfx=左边110
dd()()()dy
x
x
xyfxfyfz=∫∫∫z
11
d()()()|
dzyzx
x
xfxfyFzy===∫∫11
d()()[()()]dx
xfxfyFyFxy
=−∫∫121
01()[()()]|d2yyxfxFyFxx===−∫1201()[
(1)()]d2
fxFFxx=−∫1313
300
111[()
(1)]|[
(1)](()d)666FxFFftt=−==∫=右边。
安徽大学高数期末考试试卷及答案解析(3)7
安徽大学2010—2011学年第二学期
《高等数学A
(二)、B
(二)》期末考试试卷(A卷)
参考答案与评分标准
一、填空题(每小题2分,共10分)
1.1(1,2,2)3
±−−;2.0;3.
110d(,yfxy∫)dx;
4.2
π;5.8
5−.二、选择题(每小题2分,共10分)
1.D;2.C;3.B;4.B;5.A.
三、计算题(其中第1、2、3小题每小题10分,第4、5小题每小题12分,共54分)
1.解.设(,)arctany
fxyx=,
则22
(1,1)
1(1,1)2xyfxy−=
=−2
2
(1,1)
1
(1,1)2
yxfxy==
++,故所求切平面方程为11
(1)
(1)
(1)(0224xyzπ
−−+−+−−=,
整理得22
xyzπ
−+=.
法线方程为
1141/21/21
zxyπ
−
−−==−−,整理得
114112
zxyπ
−
−−==−−.2.解.空间区域Ω在xoy平面上的投影为22{(,)|4}Dxyxy=+≤.则原式=2
24
(d)ddxyD
zzxy+∫∫∫222
1[16()]dd2D
xyx=−+∫∫y222
18dd()dd2D
Dxyxyxy=−
+∫∫∫∫22400132d2
drrππθr=−⋅∫∫13264
322233
πππ=−⋅⋅=.
3.解.将曲面Σ向zox平面投影得{(,)|11,01}zxDxyxz=−≤≤≤≤.
ddddSzxzx===zx.
由对称性可得原式112121zx
Dz−=+∫∫2
2π=.4.解.
(1)2()lnln[2
(2)]ln2ln12xfxxx−⎛⎞==+−=++⎜⎟⎝
⎠.
当时,(1,1]x∈−11
(1)ln
(1)nn
nxxn−∞
=−+=∑.故当2
(1,1]2x−∈−时,即时,(0,4]x∈11
(1)lnln2
(2)2
nnn
nxxn−∞
=−=+−⋅∑.
(2)在
(1)中,令3x=可得1
1
(1)ln3ln22
nn
nn−∞
=−=+⋅∑,于是1
1
(1)ln3ln22nn
nn−∞
=−=−⋅∑.5.
(1)方程组两边同时对x求偏导数得10cossinuvvuxx
uvuvxx∂∂⎧
=+⎪⎪∂∂⎨
∂∂⎪=−⎪∂∂⎩解方程可得
sincos,cossincossinuvvu
xuuvvxuuv∂∂==
∂+∂+v
.
(2)方程sin两边同时对求偏导得0zxyz−=ycos()0zz
z
xzyyy
∂∂−+=∂∂,(*)由此可知
coszxz
yzxy
∂=
∂−.方程(*)两边再对求偏导得y2
2222sincos()0
zzzzz
zzxyyyyyy⎛⎞∂∂∂∂∂−+−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠=由此解得
2
2
2223
1sin2sin2cos(cos)zzzxzzxzzxyzxyyyzxy⎡⎤⎛⎞∂∂∂+=+=⎢⎥⎜⎟∂−∂∂−⎢⎥⎝⎠⎣⎦23cos2zxyz
−.四、应用题(每小题8分,共16分)
1.解.构造Lagrange函数
22(,,,,)23
(2)
(1)Lxyzxyzxyyzλμλμ=++++−++−.
求偏导得12,22,3xyzLxLyLλλμμ=+=++=+222,1LxyLyzλμ,=+−=+−,联立解得或1,1,0xyz=−==1,1,2xyz==−=.
代入原函数得(1,1,0)1,(1,1,2)5ff−=−=.故所求最大值为5,最小值为1.
2.解.所求金属丝的质量为dL
msρ=∫.
弧微分dst=
dtt=.
故11
00dd
(1)22
ttmtet−−==
=∫
∫e−.五、证明题(每小题5分,共10分)1.证明.
设()2011fxx=
+
,则'()fx=,显然时,
,即2011x≥'()0fx≤()fx单调递减.从而当时,2011n≥()fn单调递减.又因
为
lim02011
nn→∞=+,故由Leibniz判别法可知
1
1
(1)2011
nnn∞
−=−+∑收敛.
另一方面,
因为lim1n→∞=
1
n∞
=发散,故由比较判别法极限形式可知
12011
nn∞
=+∑发散.综上所述可知
1
1
(1)2011
nnn∞
−=−+∑条件收敛.
2.证明:
由Stokes公式可得
左[()cos()cos()cos]dyzzxxyRQPRQPαβΣ
=−+−+−∫∫Sγ
SΣ
≤∫∫
(,,)max
dxyzSΣ
≤∫∫右
=其中(coscoscos)αβγ,,为曲面Σ单位法向量的方向余弦.
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