创新设计全国通用届高考数学二轮复习教师用书大题规范天天练文.docx
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创新设计全国通用届高考数学二轮复习教师用书大题规范天天练文
星期一 (三角与数列)
2017年____月____日
1.三角知识(命题意图:
在三角形中,考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)
(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知sin=.
(1)求cosC的值;
(2)若△ABC的面积为,且sin2A+sin2B=sin2C,求a,b及c的值.
解
(1)因为sin=,
所以cosC=1-2sin2=-.
(2)因为sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得
a2+b2=c2,①
由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC,将cosC=-代入,得
ab=c2,②
由S△ABC=及sinC==,得ab=6,③
由①②③得或经检验,满足题意.
所以a=2,b=3,c=4或a=3,b=2,c=4.
2.数列(命题意图:
考查数列基本量的运算、求数列的通项公式及错位相减求和等)
(本小题满分12分)已知等比数列{an}满足:
a1=,a1,a2,a3-成等差数列,公比q∈(0,1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
解
(1)设等比数列{an}公比为q,a1=,
∵a1,a2,a3-成等差数列,∴2a2=a1+a3-,
即得4q2-8q+3=0,解得q=或q=,
又∵q∈(0,1),∴q=,∴an=·=.
(2)根据题意得bn=nan=,
Sn=+++…+,①
Sn=+++…+,②
作差得Sn=+++…+-
=1-(n+2),
Sn=2-(n+2).
星期二 (概率、统计与立体几何) 2017年____月____日
1.概率、统计(命题意图:
考查线性回归方程的求解及古典概型的应用)
(本小题满分12分)某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究,记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,如下表:
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
(1)请根据上表中4月2日至4月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程=x+,若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠?
(2)从4月1日至4月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率.
(参考公式:
回归直线的方程是=x+,其中=
,=
-b
)
解
(1)
=(11+13+12)=12,
=(25+30+26)=27,3
=972.
=11×25+13×30+12×26=977,
=112+132+122=434,3
=432.
所以y关于x的线性回归方程为=x-3.
当x=10时,=×10-3=22,|22-23|<2;
当x=8时,=×8-3=17,|17-16|<2.
所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.
(2)m,n的所有取值情况有:
(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),即基本事件总数为10.
设“m,n均不小于25”为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26).
所以P(A)=,故事件A的概率为.
2.立体几何(命题意图:
考查线面、面面垂直的转化证明及三棱锥体积的求解)
(本小题满分12分)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
(1)求证:
平面ABC⊥平面APC;
(2)若BC=1,AB=4,求三棱锥D-PCM的体积.
(1)证明 △PMB为正三角形,D为PB的中点,∴MD⊥PB,∴AP⊥PB,
又∵AP⊥PC,PB∩PC=P,
∴AP⊥平面PBC,
∵BC⊂平面PBC,
∴AP⊥BC,
又∵BC⊥AC,AC∩AP=A,
∴BC⊥平面APC,
∵BC⊂平面ABC,
∴平面ABC⊥平面APC.
(2)解 由
(1)题意可知,AP⊥平面PBC,PA=2,
∴MD=,
S△PCD=×=,
∴VD-PCM=VM-PCD=××=.
星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何(命题意图:
考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)
(本小题满分12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.
(1)求直线FM的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
解
(1)由已知,有=,
又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),
则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知,有+=,解得k=.
(2)由
(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.
因为点M在第一象限,
可得M的坐标为.
由|FM|==.
解得c=1,
所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,
得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立.
消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,
又由已知,得t=>,
解得-<x<-1,或-1<x<0.
设直线OP的斜率为m,得m=,
即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,
整理得m2=-.
①当x∈时,有y=t(x+1)<0,
因此m>0,于是m=,得m∈.
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0.
因此m<0,于是m=-,
得m∈.
综上,直线OP的斜率的取值范围是
∪.
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日
函数与导数(命题意图:
考查函数的极值、单调性、最值及不等式恒成立等)
(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若k∈Z,且k<对任意x>1恒成立,求k的最大值.
解
(1)因为f(x)=ax+xlnx,
所以f′(x)=a+lnx+1.
因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,所以f′(e)=3,即a+lne+1=3,所以a=1.
(2)由
(1)知,f(x)=x+xlnx,
又k<=对任意x>1恒成立,
令g(x)=,则g′(x)=,
令h(x)=x-lnx-2(x>1),
则h′(x)=1-=>0,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0;
当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,
所以函数g(x)=在(1,x0)上单调递减,
在(x0,+∞)上单调递增,所以[g(x)]min=g(x0)===x0,
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4),故整数k的最大值是3.
星期五 (选考系列) 2017年____月____日
一、(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-,θ=+φ与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.
(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;
(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
解
(1)C1:
(x-1)2+(y-1)2=2,C2:
y=a,
因为曲线C1关于曲线C2对称,a=1,C2:
y=1.
(2)|OA|=2sin,
|OB|=2sin=2cosφ,
|OC|=2sinφ,
|OD|=2sin=2cos
|OA|·|OC|+|OB|·|OD|=4.
二、(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若f(x)≤m的解集为[-1,5],求实数a,m的值;
(2)当a=2,且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).
解
(1)因为|x-a|≤m,
所以a-m≤x≤a+m,
∴a=2,m=3.
(2)a=2时等价于|x-2|+t≥|x|,
当x≥2,x-2+t≥x,∵0≤t<2,所以舍去,
当0≤x<2,2-x+t≥x,∴0≤x≤,成立.
当x<0,2-x+t≥-x成立,
所以原不等式解集是.
星期六 (综合限时练) 2017年____月____日
解答题综合练(设计意图:
训练考生在规定时间内得高分,限时:
80分钟)
1.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b2-a2=c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
解
(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C.
所以-cos2B=sin2C.
又由A=,即B+C=π,得
-cos2B=-cos=sin2C=2sinCcosC,
解得tanC=2.
(2)由tanC=2,C∈(0,π)得
sinC=,cosC=,
又因为sinB=sin(A+C)=sin,
所以sinB=,
由正弦定理得c=b,
又因为A=,bcsinA=3,
所以bc=6,故b=3.
2.(本小题满分12分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分,用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;
(2)从前5位同学中,随机地选2位,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.
解
(1)∵
=
=75,
∴x6=6
-
=6×75-70-76-72-70-72=90,
s2=(xn-
)2=(52+12+32+52+32+152)=49,
∴s=7.
(2)从5位同学中随机选取2位同学,共有如下10种不同的取法:
{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},选出的2位同学中,恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种取法:
{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},
故所求概率为.
3.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:
AC1∥平面CDB1;
(2)求三棱锥C1-B1CD的体积.
(1)证明 设CB1与C1B的交点为E,连接DE,
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1,
∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1;
(2)解 ∵AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,∵CC1⊥平面ABC,∴AC⊥平面BCC1B1,
∴A到平面BCC1B1的距离为AC=3,
∵D是AB的中点,
∴D到平面BCC1B1的距离为.
而△CB1C1的面积为×4×4=8,
∴VC1-B1CD=VD-C1B1C=×8×=4.
4.(本小题满分12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)经过点,一个焦点为(,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q.求的取值范围.
解
(1)由题意得解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2-2)=.
所以线段AB的中点坐标为,
所以线段AB的垂直平分线方程为
y-=-.
于是,线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q,
又点P(1,0),
所以|PQ|==.
又|AB|=
=.
于是,=
=4=4.
因为k≠0,所以1<3-<3.
所以的取值范围为(4,4).
5.(本小题满分12分)设函数f(x)=e2x-alnx.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;
(2)证明:
当a>0时,f(x)≥2a+aln
(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-(x>0).
当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点.
当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.又f′(a)>0,当b满足00时,f′(x)存在唯一零点.
(2)证明 由
(1),可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).
由于2e2x0-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f(x)≥2a+aln.
6.请考生在以下两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
A.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)若P(x,y)是直线l与圆Cρ≤4sin的公共点,求x+y的取值范围.
解
(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin,
所以ρ2=4ρsin=4ρ,
又ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以x2+y2=2y-2x,
所以圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0.
(2)设z=x+y,
由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0⇒(x+1)2+(y-)2=4,所以圆C的圆心是(-1,),半径是2,
将代入z=x+y得z=-t,
又直线l过C(-1,),圆C的半径是2,
所以-2≤t≤2,
所以-2≤-t≤2.即x+y的取值范围是[-2,2].
B.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},求实数a的值;
(2)在
(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.
解
(1)由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a,
∴a-6≤2x-a≤6-a,即a-3≤x≤3.
∴a-3=-2,∴a=1.
(2)由
(1)知f(x)=|2x-1|+1,令φ(n)=f(n)+f(-n),
则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=
∴φ(n)的最小值为4,故实数m的取值范围是[4,+∞).
星期一 (三角与数列) 2017年____月____日
1.三角(命题意图:
考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换)
(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且满足=.
(1)若b=4,求a;
(2)若c=3,△ABC的面积为3,求证:
3sinC+4cosC=5.
(1)解 由=得=.
∴2sinA=sinAcosC+sinCcosA=sinB,即2a=b,
∵b=4,∴a=2.
(2)证明 ∵△ABC的面积为3,∴absinC=a2sinC=3,①
∵c=3,∴a2+4a2-4a2cosC=9,②
由①②消去a2得3sinC=5-4cosC,
即3sinC+4cosC=5.
2.数列(命题意图:
考查等差、等比数列的基本运算及求和)
(本小题满分12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.
解
(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2),
所以q=2.
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1,
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,
即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
故an=2n.
(2)由
(1)得=,
所以Tn=++…+==1-.
由|Tn-1|<,得<,
即2n>1000,
因为29=512<1000<1024=210,
所以n≥10,
于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.
星期二 (概率、统计与立体几何) 2017年____月____日
1.概率、统计(命题意图:
考查频率分布直方图的应用及古典概型)
(本小题满分12分)某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设,推进网络提速降费的指导意见》,对宽带网络进行了全面的光纤改造,为了调试改造后的网速,对新改造的1000户用户进行了测试,随机抽取了若干户的网速,网速全部介于13M与18M之间,将网速按如下方式分成五组:
第一组[13,14);第二组[14,15);……;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.
(1)请利用上述测试估计这批新改造的1000户用户中网速在[16,17)内的户数;
(2)求测试中随机抽取了多少个用户;
(3)若从第一、五组中随机取出两户网速,求这两户网速的差的绝对值大于1M的概率.
解
(1)网速在[16,17)内的频率为0.32×1=0.32,0.32×1000=320,
∴估计这批新改造的1000户中网速在[16,17)内的户数为320户.
(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x,
依题意,得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1,∴x=0.02,
设调查中随机抽取了n个用户,则8×0.02=,∴n=50,
∴测试中随机抽取了50个用户.
(3)网速在第一组的用户数有3×0.02×1×50=3,记为a,b,c,
网速在第五组的用户数有0.08×1×50=4,记为m,n,p,q
则从第一、五组中随机取出两户的基本事件有
{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共21个.
其中满足两户网速的差的绝对值大于1M的所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共12个.所以P==.
2.立体几何(命题意图:
考查以三棱柱为载体的线面垂直关系的证明及体积求解)
(本小题满分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2a.
(1)求证:
B1F⊥平面ADF;
(2)若四面体AB1DF的体积为,求a的值和三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
(1)证明 因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.
又平面CC1B1B⊥平面ABC,所以AD⊥平面CC1B1B
又B1F⊂平面CC1B1B,所以AD⊥B1F,
在Rt△B1C1F中,tan∠C1B1F=,在Rt△DCF中,
tan∠CFD=,
所以∠C1B1F=∠CFD,∠C1FB1+∠CFD=-∠C1B1F+∠CFD=,
∠B1FD=π-(∠C1FB1+∠CFD)=,即FD⊥B1F,又AD∩FD=D,所以B1F⊥平面ADF.
(2)解 ∵AB=AC=AA1=3a,BC=2a,∴AD=2a,B1F=DF=a,
∴V四面体AB1DF=S△B1DF·AD=a·a·2a=
a3=,∴a=1,故三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为S=(3a+3a+2a)·3a+2··2a·2a=24+4.
星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何(命题意图:
考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)
(本小题满分12分)
已知椭圆M:
+=1(b>0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
解
(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4+2,所以2a+2c=4+2,
又a=2b,所以c=b,
所以b=1,则a=2,c=.
所以椭圆M的方程为+y2=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
且x1+x2=,x1x2=,
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,
所以·==k2,
又m≠0,所以k2=,即k=±,
由于直线OP,OQ的斜率存在,且Δ>0,得0<m2<2且m2≠1.
则S△OPQ=|y1-y2|·|2m|=|x1-x2|·|m|=·|m|=,
所以S△OPQ的取值范围为(0,1).
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日
函数与导数(命题意图:
考查函数的单调性及不等式恒成立问题,考查等价转化思想)
(本小题满分12分)已知函数f(x)=(3-a)x-2+a-2lnx(a∈R).
(1)若函数y=f(x)在区间(1,3)上单调,求a的取值范围;
(2)若函数g(x)=f(x)-x在上无零点,求a的最小值.
解
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=3-a-=.
当a≥3时,有f′(x)<0,即函数f(x)在区间(1,3)上单调递减;
当a<3时,令f′(x)=0,得x=,若函数y=f(x)在区间(1,3)上单调,则
≤1或≥3,解得
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