第五章特殊平行四边形难题综合训练含答案.docx
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第五章特殊平行四边形难题综合训练含答案
第五章特殊平行四边形难题综合训练
1、正方形ABCD正方形BEFG和正方形RKPF勺位置如图所示,点G在线段DK上,且G为BC的三等分点,R为EF
中点,正方形BEFG的边长为4,则厶DEK的面积为()
2、如图,在正方形
A.10B.12C.14D.16
ABCD^有一折线段,其中AE!
EFEF丄FC并且AE=6,EF=8,FC=10,则正方形的边长为
的4个顶点ABCD都在这些平行线上,其中点AC分别在直线丨1、丨4上,该正方形的面积是平方单
位.
4、如图,在菱形ABCDF,边长为10,/A=60°.顺次连结菱形ABC賂边中点,可得四边形ABCD;顺次连结四边形ABCD各边中点,可得四边形顺次连结四边形ABGD各边中点,可得四边形ADGD;按此规律
继续下去.则四边形ABzQCb的周长是;四边形A013B2013Q013D013的周长是.
5、如图,四边形ABC毘矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,/AE[=2/CED点G是DF的中点,若BE=1,AG4,贝UAB的长为.
6、如图,四边形ABCDKAB=BC/AB(=/CDA90°,BE!
AD于点E,且四边形ABC啲面积为8,贝UBE=()
&如图,正方形ABC[中,AB=3,点E在边CDh,且CD=3DE将厶ADE沿AE对折至△AFE延长EF交边BC于点G
)
连接AGCF下列结论:
①点G是BC中点;②FG=FC;③&fg=9/10•其中正确的是(
A.①②B.①③C.②③D.①②③
9、如图,在正方形ABC曲,点0为对角线AC的中点,过点0作射线OMON分别交AB
BC于点E、F,且/EOI=90°,BOEF交于点P.则下列结论中:
(1)图形中全等的三
角形只有两对;
(2)正方形ABCD勺面积等于四边形OEBF面积的4倍;(3)BErBF=.20A;
(4)AE+cF=20P?
OB正确的结论有()个.
A.1B.2C
ABCD勺周长为
11、在边长为6的菱形ABC[中,动点M从点A出发,沿AtBtC向终点C运动,连接DM交
AC于点N.
(1)如图11—1,当点M在AB边上时,连接BN求证:
△ABNADN;
(2)如图11—2,若/ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6 x为何值时,△ADh为等腰三角形. 12、如图所示,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE,DG. (1)求证: BEDG. (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形? 若存在,说出旋转过程;若不存在,请说明理由. 13、请阅读,完成证明和填空. 数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下: (1)如图13-1,正三角形ABC中,在ABAC边上分别取点M、N,使BMAN,连接BN、CM,发 现BNCM,且NOC60°•请证明: NOC60°. (2)如图13-2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AMBN,连接AN、DM,那么AN,且DON度. (3)如图13-3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AMBN,连接AN、EM,那么AN,且EON度. (4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论. 请大胆猜测,用一句话概括你的发现: . 14、△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线ABAC于点F、G,连接BE. (1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时. ①求证: △AEB◎△ADC;②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形? 并说明理由; (2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出 (1)中的两个结论是否成立? (3)在 (2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形? 并说明理由. 15、如图,△ABC中,点0是边AC上一个动点,过0作直线MN//BC,设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F• (1)探究: 线段0E与OF的数量关系并加以证明; (2)当点0在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗? 若是,请证明,若不是,则说明理由; (3)当点0运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形? 16、如图,已知直线11: y-x8与直线l2: y2x16相交于点C,h、12分别交x轴于A、B两点•矩形 33 DEFG的顶点D、E分别在直线h、I2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合. (1)求厶ABC的面积; (2)求矩形DEFG的边DE与EF的长; 90°得 17、在△ABC中,ABBC2,ABC120°将厶ABC绕点B顺时针旋转角(0 △ABCi,AB交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点. (1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA,与FC有怎样的数量关系? 并证明你的结论; (2)如图2,当30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由 于点E• (1)求△BDE的周长; 19、如图,在平面直角坐标系中,矩形AOB(在第一象限内,E是边0B上的动点(不包括端点),作/AEF=90 使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(mn). (1)若m=n时,如图,求证: EF=AE (2)若n时,如图,试问边0B上是否还存在点E,使得EF=AE若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 20、如图,将正方形沿图中虚线(其中xvy)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰 能拼成一个矩形(非正方形) (1)画出拼成的矩形的简图; (2)求X的值. y 21、如图所示,在矩形ABCD中,AB12,AC20,两条对角线相交于点0•以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBBjC;对角线相交于点A;再以A1B1、AC为邻边作第2个平行四边形AB1C1C,对角线相交于点01;再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形Q3B2C1……依次类推. (1)求矩形ABCD的面积; (2)求第1个平行四边形OBBjG、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积. 22、如图(22),直线I的解析式为yx4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点•平行于直线I的直线m从 原点0出发,沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,设运 动时间为t秒(0t<4). (1)求AB两点的坐标; (2)用含t的代数式表示△MON的面积S; (3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2, 1当2t<4时,试探究S2与t之间的函数关系式; 5 2在直线m的运动过程中,当t为何值时,S2OAB面积的? 16 P、QMN,试判断四边形PQM为怎样的四边形,并证明你的结论. 24、数学课上,张老师出示了问题: 如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.AEF90°,且EF 交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证: AE=EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路: 取AB的中点M连接ME则AMEC易证△AME◎△ECF, 所以AEEF• 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出: 如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”, 其它条件不变,那么结论“AE=EF仍然成立,你认为小颖的观点正确吗? 如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出: 如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF'仍 然成立•你认为小华的观点正确吗? 如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. 25、如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE丄AG于E,BF//DE,交AG于F.求证: AFBFEF• 参考答案 G 1、D2 4,103、5或94、20 55、3 1005 6、C7、A8、B9 11、 (1)证明: •••四边形ABCD! 菱形•••AB=AD/1=/2又TAN=ANTAABN^△ADN (2)解: •••/AB(=90°,t菱形ABCDI正方形此时,/CAD45°. 下面分三种情形: M恰好与点B重合,得x=6; M恰好与点C重合,得x=12; I)若ND=NA则/ADNZNAD45。 .此时,点 n)若DN=DA则/DNA/DA! =45°.此时,点 川)若AN=AD=6,则/仁/2,由AD//BC得/仁/4,又/2=73, •••/3=74,从而CMCN易求AG672,•CMCNAC—AN=6、迈一6, 故x=12—CM12—(6迈—6)=18—6逅 综上所述: 当x=6或12或18—6...2时,△ADN是等腰三角形 12、 (1)因为ABCD是正方形,所以BC=CD又因为ECGF是正方形,所以ECCG 所以三角形BCE和三角形DCG^等(HL)。 所以BE=DG(全等三角形的对应边相等) (2)存在。 以点C为旋转中心逆时针旋转90度 13、 (1)证明: T△ABC是正三角形,•AABC60°,ABBC, ABBC 在厶ABN和厶BCM中,AABC•△ABNBCM. ANBM •ABNBCM•又TABNOBC60°,•BCMOBC60°,•NOC60 注: 学生可以有其它正确的等价证明. (2)在正方形中,ANDM,DON90°. (3)在正五边形中,ANEM,EON108°. (4)以上所求的角恰好等于正n边形的内角(n2)g180 n 14、 (1)①证明: T△ABC和厶ADE都是等边三角形, •AEAD,ABAC,EADBAC60°. 又tEABEAD BAD, DAC BAC BAD,• EAB DAC, •△AEBADC. ②法一: 由①得△AEBADC ABEC 60°.又 BAC C60°, •ABEBAC,/ •EB//GC .又T EG//BC, •四边形 BCGE是平行四边形. 法二: 证出△AEG◎△ADB,得EGABBC•由①得△AEB◎△ADC. 得BECG••••四边形BCGE是平行四边形. (2)①②都成立. 1 (3)当CDCB(BD2CD或CDBD或CAD30°或BAD90°或ADC30°)时,四边形2 BCGE是菱形. 理由: 法一: 由①得△AEBADC,•BECD分又工CDCB,•BECB• 由②得四边形BCGE是平行四边形,•四边形BCGE是菱形. 法二: 由①得△AEB◎△ADC,•BECD•又•••四边形BCGE是菱形, •BECB•CDCB• 法三: •••四边形BCGE是平行四边形,•BE//CG,EG//BC, •FBEBAC60°,FABC60°•FFBE60°,•△BEF是等边三角形. 又•••ABBC,四边形BCGE是菱形,•ABBEBF,•AE丄FG•EAG30°,vEAD60°, •••CAD30°• 15、 (1)OEOF• 其证明如下: vCE是ACB的平分线,12•vMN//BC,•13• •23••OEOC•同理可证OCOF••OEOF• (2)四边形BCFE不可能是菱形,若BCFE为菱形,则BF丄EC,而由 (1)可知FC丄EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线. (3)当点O运动到AC中点时,OEOF,OAOC,则四边形AECF为Y,要使AECF为正方形,必须使EF丄AC• vEF//BC,•AC丄BC,•△ABC是以ACB为直角的直角三角形, (1)解: 由 2 x 3 16 8 80,得x 3 4.A点坐标为 4,0. •AB8 由 2x 0,得x 8. B点坐标为 8,0.•- 2 8 5, 由 y _x 3 3,解得 x C点的坐标为 5,6. y 6. y 2x 16. SaABC 1 2 AB% 1 2 126 36. (2) 解: •• •占 八、、 D在h上且xD Xb 8, 2yD— 88 3 3 8.•D点坐标为8,8• 16、 412. •当点O为AC中点且△ABC是以ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形. 又: 点E在l2上且yyD8,2xE168.xE4.•E点坐标为4,8• •••OE844,EF& 17、 (1)EAFC. 证明: (证法一)QABBC,AC. 由旋转可知,ABBC,,AG,ABE C,BF,/.△ABE◎△CiBF. FC. •BEBF,又QBA,BC,•BA,BEBCBF.即EA, (证法二)QABBC,AC. 由旋转可知, AC,AB二CB,而EBC FBA,,•△A,BFCBE. FC. •BEBF,•BA,BEBCBF,即EA, (2)四边形BC,DA是菱形. 证明: QA,ABA,30°AC,//AB,同理AC//BC,. •四边形BC,DA是平行四边形 又QABBC,,•四边形BC,DA是菱形. 〔8、 (D因为四边形ABCD为菱形,所以BE //AD,AC//DE,故四边形ABCD为平行四边形, 则有ABADBCCE5,所以BE BCCE ACDE6,又OA丄AC 2 3, AB5, OA垂直于OB, 所以在RtAABC中有AB2 OB2 OA2 ,所以OB 故三角形BDE的周长为BD DE BE 86,0 4-BD,BD8, 2 24 (2)因为四边形 ABCD为菱形, 所以OBOD, BE//AD,贝UDBC= DOQ又 BOPDOQ,所以△BOP全等于△DOQ 故有BPDQ 〔9、(〔)由题意得m=n时,AOB(是正方形. 如图,在OA上取点C,使AG=BE则OG=OE •/EGO=45,从而/AGE=135. 由BF是外角平分线,得/EBF=135,•/AGE=/EBF •//AEF=90,•/FEB+/AEO=90. 在Rt△AEC中,•••/EAC+/AEO=90, •/EAO=/FEB•△AGEEBF,EF=AE ••下载可编辑 (2)假设存在点E,使EF=AE设E(a,0)•作FFUx轴于H,如图. 由 (1)知/EAO=/FEH于是Rt△AOE2Rt△EHF : •FH=OEEH=OA 故E在OB边上. •••当E在OB边上且离原点距离为n处时满足条件,此时t 20、 (1) 解法二: 由拼成的矩形可知: (xy)yy 同理E(4t,t),则PFPE|t(4-t)2t4, 所以S2 Sampn SapefSaomn Sapef It2 2 1 -PE-PF 2 1t 2 2j(2t 4)(2t4) 3t28t 2 8; ②当0 t<2时, S2 Kt2 51/ 4 45, 22 162 2 解得t1 50, t2 52,两个都不合题意, 舍去; 当2t<4时,S. 3t28t 8-,解得t33,t4 7 2 2 3 75 综上得,当t或t3时,S2OAB的面积的• 316 以下同解法一. 21、 (1)在Rt△ABC中, 23、如图,连结ACBD •/PQ%AABC的中位线,•••PQ_1AC. 2 同理Md】AC•M1PQ 2 •四边形PQMI为平行四边形•在△AEC^ADEB中, AE=DEEC=EB/AED=60°=/CEB即 /AEC=/DEB•-△AEC^ADEB: AC=BD AD//BE. •••PQ=1AC=! bD=PN 22 •DPQM为菱形. A D 24、 (1)止确. \ 证明: 在AB上取一点M, 使AM EC,连接ME. M AU BMBE. BME 45° AME135°. B ECG QCF是外角平分线, DCF45° ECF 135°. AMEECF. QAEBBAE 90°, AEB CEF90°BAE CEF. △AME◎△BCF(ASA• AEEF. (2)正确. 证明: 在BA的延长线上取一点N. 使ANCE,连接NE.BNBE. NPCE45°Q四边形ABCD是正方形, DAEBEA. NAECEF•△ANEECF(ASA.AEEF. 25、QABCD是正方形, QDE丄AG QBF//DE ADAB △ABFDAE(AAS) BF AE. QAF AE EF, AF BF EF.
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