山东省新高考真题演练数学试题及答案.docx
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山东省新高考真题演练数学试题及答案
山东省2021年新高考真题演练数学试题及答案
(试卷满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1•设集合A={x|1 A. 2.2 1 {x|2 i 2i B. {x|2wx<3}C •{x|1 wx<4} D. {x|1 A. 1 B. -1C.i D .-i 3.6名冋学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名冋学只去 1个场馆, 甲场馆安排1名,乙场馆安排2 名, 丙场馆安排 3名,则不冋的安排方法共有 A. 120种 B. 90种C .60种 D. 30种 4•日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间•把地 球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 A.20°B.40°C•50°D.90° 5•某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%勺学生喜欢足球或游泳,60%勺学生喜欢足球,82%勺学 生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A.62%B.56%C•46%D.42% 6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数•基本再生数指一个感染者传染的平均人 数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间•在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型: I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位: 天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足 R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例 数增加1倍需要的时间约为(In2疋0.69) A.1.2天 B.1.8天C.2.5天D.3.5天 7.已知P是边长为 2的正六边形ABCDE内的一点,贝UaPAb的取值范围是 A.(2,6) B.(6,2)C.(2,4)D.(4,6) 8•若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减,且f (2)=0,则满足xf(x1)0的x的取值范围是 A[1,叫[3,)B•[3,1町[0,1]C•[1,0]小1,)D•[1,0]小1,3] 二、选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。 9•已知曲线C: mx2ny21. A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B. 若m=n>0,则C是圆,其半径为.n D.若叶0,n>0,则C是两条直线 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,川,n,且 nn P(Xi)Pi0(i1,2,川,n),r1,定义X的信息熵H(X)plog2p.i1i1 A.若n=1,则H: X)=O B.若n=2,则H: X)随着p! 的增大而增大 1 C若pi一(i1,2,川,n),则HX)随着n的增大而增大 P2m1j(j1,2,卅,m),则H(X) D.若n=2m随机变量Y所有可能的取值为1,2,川,m,且P(Yj)Pj 三、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.斜率为J3的直线过抛物线C: y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB= 14.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为. 15•某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.0为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的 圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFC为矩形,BCLDG垂足为C,tan/ODC3,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm, 5 圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2. 16•已知直四棱柱ABCDABCD的棱长均为2,ZBA! =60°.以D1为球心,爲为半径的球面与侧面 BCCB的交线长为. 四、解答题: 本题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 在①ac3,②csinA3,③c3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三 角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题: 是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAJ3sinB,C-,? 6 注: 如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(12分) 已知公比大于1的等比数列{%}满足a28420,a38. (1)求{an}的通项公式; (2)记bm为{an}在区间(0,m](mN*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和Soo. 19.(12分) 为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气 中的PM2.5和SO? 浓度(单位: ⑷/m3),得下表: SO2 PM2.5、 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22列联表: 、SQ PM2.5、、 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据 (2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO? 浓度有 关? 附: K2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 3.8416.63510.828 20.(12分) 如图,四棱锥P-ABC的底面为正方形,PDL底面ABCD设平面PA与平面PBC勺交线为l. (1)证明: I丄平面PDC (2)已知PD=AD=1,Q为I上的点,求PBW平面QC所成角的正弦值的最大值. (12分) 已知函数f(x)aex1InxIna. (1)当ae时,求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)>1,求a的取值范围. 22. (12分) 爲1(ab0)的离心率为2,且过点A(2,1).b2 2已知椭圆C: 笃 a (1)求C的方程: (2)点MN在C上,且AMLANADLMND为垂足•证明: 存在定点Q,使得|DQ为定值. 参考答案 、选择题 1.C2.D 3.C4.B 5.C6.B 7.A8.D 二、选择题 9.ACD 10.BC 11.ABD12. AC 三、填空题 “16 13. 14.3n22n 5 15.4 16. 2 3 2 2 四、解答题 17•解: 方案一: 选条件①. 222 由C-和余弦定理得a一bc3. 62ab2 由sinA丿3sinB及正弦定理得a,3b• 由①ac3,解得a.3,bc1. 因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c1. 方案二: 选条件②. 由sinA■.3sinB及正弦定理得a.3b• 由②csinA3,所以cb23,a6. 因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c23• 方案三: 选条件③. 由sinA3sinB及正弦定理得a3b. 由③c.3b,与bc矛盾. 因此,选条件③时问题中的三角形不存在. 18解: (1)设{a.}的公比为q•由题设得a1q叩20,a1q8. 1 解得q-(舍去),q2.由题设得耳2. 所以{an}的通项公式为an2n. (2)由题设及 (1)知d0,且当2nm2n1时,bmn. 所以Soob (b2 b3)(b4b5 b6 b7)川(b32b33 ||b63)(b64 b65川Boo) 2 3 4 5 0122 2 32 42 5 26(10063) 480. 19.解: (1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为 32186864,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO? 浓度不超过150的概率的估 64 计值为而°64. (2)根据抽查数据,可得22列联表: SO2 PM2.5、、 [0,150] (150,475] [0,75] 64 16 (75,115] 10 10 又底面ABCD为正方形,所以ADDC,因此AD底面PDC. 因为AD//BC,AD平面PBC,所以ADII平面PBC. 由已知得I//AD.因此I平面PDC. (2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1), 由 (1)可设Q(a,0,1),则DQ(a,0,1) (x,y,z)是平面QCD的法向量,则 国0,即 DC0, ax z0, 0. 可取 n(1,0,a). 所以 cosn,PB 1a |n||PB|;3.厂孑 设PB与平面QCD所成角为,则sin _3|a1| 1a2 3 3 1三 因为罟&值为空. 3 解: 2a 2 a f,当且仅当a 1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大 f(x)的定义域为 (0, ),f(x)aex1 (1) ae时, f(x)exlnx1, f (1)e1, 曲线 f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y(e1)(e1)(x1),即y(e1)x2. 2 直线 (e1)x2在x轴,y轴上的截距分别为,2. e1 2 因此所求三角形的面积为— e1 (2)当0a1时,f (1)alna1. 1 当a1时,f(x)ex1Inx,f(x)ex1-. x 当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0. 所以当x1时,f(x)取得最小值,最小值为f (1)1,从而f(x)1. 当a1时,f(x)aex1InxInaex1Inx1. 综上,a的取值范围是[1,). 22.解: 22 (〔)由题设得—7-21,—_』-,解得a6,b3. aba2 22 所以C的方程为—1. 63 (2)设M(人,yj,N(X2,y2). MN的方程为ykxm, 2 代入— 6 2y_ 3 22 1得(12k)x 4kmx 2m60. 十曰 4km 2m26 于疋X1 X2 2,X1X? 2 .① 12k 12k 由AM AN知AMAN0, 故(x 2)(X22)(% 若直线MN与x轴不垂直,设直线 1)(y21)0, (m1)2 可得(k2 1)x^2(kmk 2)(X1X2) 竺(m1)2 2k2 故2k3m 是MN的方程为yk(x-)i(k 33 1). 所以直线MN过点P(2】). 3’3 22 (舍去),人 又xL1,可得3x18x140.解得x 63 此时直线MN过点P(21). 3’3 令Q为AP的中点,即Q(」). 33 2,2 3 若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|—|AP|若D与P重合,则|DQ|-|AP|. 41 综上,存在点Q(_,),使得|DQ|为定值. 33
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