角的相关计算和证明 Microsoft Word 文档.docx
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角的相关计算和证明MicrosoftWord文档
几何证明(每日一题)
1.(12月8日)请根据过程示范,完成下列各题.
例:
已知:
如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,
∠2=50°,求∠1的度数.
过程示范如下:
解:
如图
∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵∠2=50°(已知)
∴∠1=50°(等量代换)
(1)已知:
如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,
∠1=70°,求∠2的度数.
解:
如图
∵_________(已知)
∴_________(____________________)
∵∠1=70°(已知)
∴_________(____________________)
(2)已知:
如图,直线AB,CD被直线EF,GH所截,AB∥CD,
∠1=70°,∠3=110°.求∠2+∠4的度数.
解:
如图
∵_________(已知)
∴_________(____________________)
∵∠1=70°(已知)
∴_________(____________________)
∵_________(已知)
∴_________(____________________)
∵∠3=110°(已知)
∴∠4=180°-∠3
=180°-110°
=70°(____________________)
∴∠2+∠4=______+______
=____(等式性质)
2.(12月9日)请根据第1题中的过程示范,完成下列各题.
(1)已知:
如图,AB,CD被射线l所截,AB∥CD,∠1=110°,
求∠2的度数.
(2)如图,AD∥BC,∠1=40°,∠2=78°,求∠ADC的度数.
3.(12月10日)如图,AD∥BC,AB∥CD,点E在CB的延
长线上,∠C=50°,求∠A的度数.
解:
如图
∵AB∥CD(已知)
∴∠C=_____(两直线平行,同位角相等)
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=_____(____________________)
∴____=____(等量代换)
∵∠C=50°(已知)
∴∠A=_____(等量代换)
4.(12月11日)已知:
如图,点E在四边形ABCD的边AD
的延长线上,∠1=∠2,∠A=50°,求∠3的度数.
5.(12月12日)请根据过程示范,完成下列题目.
例:
已知:
如图,D是△ABC的边AC上的一点,∠A=60°,
∠ABD=20°,求∠BDC的度数.
过程示范如下:
解:
如图
∵∠BDC是△ABD的一个外角
(外角的定义)
∴∠BDC=∠A+∠ABD
(三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和)
∵∠A=60°,∠ABD=20°(已知)
∴∠BDC=∠A+∠ABD
=60°+20°
=80°(等量代换)
已知:
如图,D是△ABC的边AB上的一点,∠B=53°,
∠BCD=32°,求∠ADC的度数.
【参考答案】
1.
(1)AB∥CD
∠1=∠2;两直线平行,内错角相等
∠2=70°,等量代换
(2)AB∥CD
∠1=∠2;两直线平行,内错角相等
∠2=70°,等量代换
AB∥CD
∠3+∠4=180°;两直线平行,同旁内角互补
等式性质
70°,70°,140°
2.
(1)解:
如图
∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)
∵∠1=110°(已知)
∴∠3=110°(等量代换)
∴∠2=70°(平角的定义)
(2)解:
如图
∵AD∥BC(已知)
∴∠1=∠ADB(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=40°(已知)
∴∠ADB=40°(等量代换)
∵∠2=78°(已知)
∴∠ADC=∠ADB+∠2
=40°+78°
=118°(等式性质)
3.∠ABE
∠ABE;两直线平行,内错角相等
∠A,∠C
50°
4.解:
如图
∵∠1=∠2(已知)
∴CD∥AB(内错角相等,两直线平行)
∴∠3=∠A(两直线平行,同位角相等)
∵∠A=50°(已知)
∴∠3=50°(等量代换)
5.解:
如图
∵∠ADC是△BCD的一个外角(外角的定义)
∴∠ADC=∠B+∠BCD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵∠B=53°,∠BCD=32°(已知)
∴∠ADC=53°+32°
=85°(等量代换)
角的相关计算和证明(讲义)
一、知识点睛
在证明的过程中,
由平行想到____________、____________、____________;
由垂直想到__________________、_____________________;
由外角想到________________________________________.
二、精讲精练
1.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF=155°,则
∠BCE=_________.
第1题图第2题图
2.如图,在正方形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°,G是BC边上一点,连接DG,AE⊥DG于E,CF⊥DG于F.若∠DAE=25°,则∠GCF=_________.
3.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=∠C=45°,在Rt△AFG中,∠G=90°,∠F=∠FAG=45°,∠CAG=20°,则∠AEB=_________,∠ADC=_________.
第3题图第4题图
4.如图,ED⊥AB于D,EF∥AC,∠A=35°,则∠DEF=______.
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,P为BC上一点,且∠1=∠2,则∠APD=________.
6.已知:
如图,直线BD交CF于点D,交AE于点B,连接AD,BC,∠1+∠2=180°,∠A=∠C.求证:
DA∥CB.
证明:
如图,
∵∠1+∠2=180°(__________________________)
∠2+∠CDB=180°(__________________________)
∴_______=_______(__________________________)
∴______∥________(__________________________)∴∠A+∠CDA=180°(__________________________)∵∠A=∠C(__________________________)∴______+______=180°(__________________________)∴DA∥CB(__________________________)
7.已知:
如图,E,F分别在AB,CD上,EC⊥AF,垂足为O,∠1+∠C=90°,∠2=∠D.求证:
AB∥CD.
8.如图,在△ABC中,∠B=35°,∠C=75°,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,求∠EAD的度数.
9.已知:
如图,BP平分∠ABC,CP平分△ABC的外角∠ACE.
求证:
∠A=2∠P.
证明:
如图,设∠PBC=α,∠PCE=β
∵BP平分∠ABC(_______________________)
∴∠ABC=2∠PBC=2α(_______________________)
∵CP平分∠ACE(_______________________)∴∠ACE=______=_______(_______________________)∵∠ACE是△ABC的一个外角(_____________________)
∴2β=2α+∠A(_______________________)∴∠A=2(β-α)(_______________________)∵∠PCE是△BCP的一个外角(_____________________)
∴β=______+_______(_______________________)
∴∠P=β-α(_______________________)
∴∠A=2∠P(_______________________)
10.已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠ACB,CD⊥AB,垂足为D.
求证:
∠A=2∠BCD.
【参考答案】
一、知识点睛
1.同位角、内错角、同旁内角
2.直角三角形两锐角互余,同角或等角的余角相等
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
二、精讲精练
1.20°
2.25°
3.65°,70°
4.125°
5.60°
6.已知
平角的定义
∠1,∠CDB;同角的补角相等
AB,CD;同位角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
已知
∠C,∠CDA;等量代换
同旁内角互补,两直线平行
7.证明:
如图,
∵EC⊥AF(已知)
∴∠COF=90°(垂直的定义)
∴∠C+∠2=90°(直角三角形两锐角互余)
∵∠1+∠C=90(已知)
∴∠1=∠2(同角的余角相等)
∵∠2=∠D(已知)
∴∠1=∠D(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
8.解:
如图,
∵∠B=35°,∠C=75°(已知)
∴∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-35°-75°
=70°(三角形的内角和是180°)
∵AE平分∠BAC(已知)
∴∠BAE=
∠BAC
=
×70°
=35°(角平分线的定义)
∵∠AED是△ABE的一个外角(外角的定义)
∴∠AED=∠B+∠BAE
=35°+35°
=70°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵AD⊥BC(已知)
∴∠ADE=90°(垂直的定义)
∴∠EAD=90°-∠AED
=90°-70°
=20°(直角三角形两锐角互余)
9.已知
角平分线的定义
已知
2∠PCE,2β;角平分线的定义
外角的定义
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
等式性质
外角的定义
α,∠P;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
等式性质
等量代换
10.证明:
如图,
在△ABC中,
∠A=180°-∠B-∠ACB(三角形的内角和是180°)
∵∠B=∠ACB(已知)
∴∠A=180°-2∠B
=2(90°-∠B)(等式性质)
∵CD⊥AB(已知)
∴∠BDC=90°(垂直的定义)
∴∠BCD=90°-∠B(直角三角形两锐角互余)
∴∠A=2∠BCD(等量代换)
角的相关计算和证明(随堂测试)
1.已知:
如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠F=130°.
求证:
EF∥AB.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB交CD于点E,交BC于点F.
求证:
∠1=∠2.
证明:
如图,
∵∠ACB=90°(__________________________)
∴∠CAF+∠2=90°(__________________________)
∵______________(__________________________)
∴∠ADE=90°(__________________________)
∴∠EAD+∠AED=90°(__________________________)
∵AF平分∠CAB(__________________________)
∴∠CAF=∠EAD(__________________________)
∴______________(__________________________)
∵∠1=∠AED(__________________________)
∴∠1=∠2(__________________________)
【参考答案】
1.证明:
如图,
∵CD∥AB(已知)
∴∠DCB=∠ABC(两直线平行,内错角相等)
∵∠DCB=70°(已知)
∴∠ABC=70°(等量代换)
∵∠CBF=20°(已知)
∴∠ABF=∠ABC-∠CBF
=70°-20°
=50°(等式性质)
∵∠F=130°(已知)
∴∠ABF+∠F=130°+50°=180°(等式性质)
∴EF∥AB(同旁内角互补,两直线平行)
2.已知
直角三角形两锐角互余
CD⊥AB,已知
垂直的定义
直角三角形两锐角互余
已知
角平分线的定义
∠2=∠AED,等角的余角相等
对顶角相等
等量代换
角的相关计算和证明(作业)
例1:
已知:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC于点E.若∠ADE=80°,∠EAC=20°,则∠B=_______.
【思路分析】
①读题标注:
②梳理思路:
从条件出发,看到AE⊥BC想到直角三角形两锐角互余,再结合已知的角度可求出∠DAE=10°,∠C=70°;
由AD平分∠BAC可知∠BAC=60°;
把∠B当作△ABC的一个内角,
则∠B=180°-60°-70°=50°.
(思路不唯一,也可将∠B作为△ABD的一个内角,则∠ADE是△ABD的一个外角,利用三角形的外角定理进行求解)
1.已知:
如图,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,C是线段BD上一点.若AC⊥CE,∠A=30°,则∠E=______.
第1题图第2题图
2.已知:
如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2=____________.
3.已知:
如图,∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE=()
A.120°B.115°C.110°D.105°
第3题图第4题图
4.已知:
如图,在△ABC中,∠A:
∠B=1:
2,DE⊥AB于E,且∠FCD=60°,则∠D=()
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.已知:
如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
求证:
.
证明:
如图,
设∠DBC=α,∠DCB=β
∵BD平分∠ABC(___________________________)
∴∠ABC=2∠DBC=2α(___________________________)
∵CD平分∠ACB(___________________________)
∴∠ACB=______=_____(___________________________)
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°(________________________)
∴2α+2β+∠A=180°(等量代换)
∴α+β=_______________(等式性质)
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°(________________________)
∴____________________(___________________________)
∴α+β=______________(___________________________)
∴
(等量代换)
∴
(等式性质)
6.已知:
如图,AB∥DE,∠1=∠ACB,AC平分∠BAD.
求证:
AD∥BC.
7.已知:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF⊥AD于点P,交BC延长线于点M.已知∠ACB=70°,∠B=40°,求∠M的度数.
【参考答案】
1.60°
2.270°
3.B
4.A
5.已知
角平分线的定义
已知
2∠DCB,2β;角平分线的定义
三角形的内角和是180°
三角形的内角和是180°
α+β+∠D=180°,等量代换
180°-∠D,等式性质
6.证明:
如图,
∵AB∥DE(已知)
∴∠1=∠BAC(两直线平行,同位角相等)
∵AC平分∠BAD(已知)
∴∠DAC=∠BAC(角平分线的定义)
∴∠1=∠DAC(等量代换)
∵∠1=∠ACB(已知)
∴∠DAC=∠ACB(等量代换)
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
7.解:
如图,
在△ABC中,∠ACB=70°,∠B=40°(已知)
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B
=180°-70°-40°
=70°(三角形的内角和是180°)
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=
∠BAC=
×70°=35°(角平分线的定义)
∵EF⊥AD(已知)
∴∠APF=90°(垂直的定义)
∴∠AFP=90°-∠DAC
=90°-35°
=55°(直角三角形两锐角互余)
∵∠CFM=∠AFP(对顶角相等)
∴∠CFM=55°(等量代换)
∵∠ACB是△CFM的一个外角(外角的定义)
∴∠M=∠ACB-∠CFM
=70°-55°
=15°(三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和)
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