高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1.docx
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高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1.docx
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高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1
二次函数与幂函数
一、教学目标
(一)通过对幂函数的图象与性质的回顾,延伸到二次函数图像与性质的应用;
(二)渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法,提高归纳与概括的能力;
(三)培养积极思考,通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度;体会从特殊到一般的思维过程.
二、学情分析
作为一节复习课,本课例的实施对象具有如下特点:
1.知识储备方面
学习幂函数之后,结合初中已经掌握的二次函数知识,进一步深入探究二次函数的图像与性质的特点.
2.思维水平方面
所授课班级是普通班学生,学生有一般的数学素养和数学思维能力,对数学充满探索精神,同时对课堂教学有较高需求.
三、重点难点
重点:
依托幂函数的图像与性质来研究二次函数的图象与性质.
难点:
二次函数的图像与性质的三类区间与轴的问题
四、教学过程
(一)小题热身
1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是( )
A.f(x)=x2-1 B.f(x)=5x2C.f(x)=-x2D.f(x)=x2
答案:
D
2.已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2(a<0)在区间[0,1]上有最大值-12,则实数a等于( )
A.-6B.-5C.-4D.-3
解析:
选A f(x)=-4x2+4ax-4a-a2=-4
2-4a,对称轴为x=
,∵a<0,∴f(x)在区间[0,1]上是减函数,∴函数f(x)在区间[0,1]上最大值为f(0)=-a2-4a=-12,∴a=-6或a=2(舍).
3.(必修1·P82A组第10题变式)函数f(x)=(m2-m-1)·xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为( )
A.2B.-1C.0D.2或-1
解析:
选A 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3符合题意;
当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0不合题意.综上知m=2.
4.如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________.
解析:
由题意知
得
则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.
答案:
5
5.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.
解析:
设f(x)=x2+mx+4,当x∈(1,2)时,
f(x)<0恒成立⇔
⇒
⇒m≤-5.
答案:
(-∞,-5]
(二)知识回顾
一、必记3个知识点
1.五种常见幂函数的图象与性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(-∞,0]减,(0,+∞)增
增
增
(-∞,0)和(0,+∞)减
公共点
(1,1)
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
3.二次函数的图象和性质
a>0
a<0
图象
定义域
x∈R
值域
单调性
在
上递减,在
上递增
在
上递增,在
上递减
奇偶性
b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
图象特点
①对称轴:
x=-
②顶点:
(三)典例分析
考点一、函数的图象与性质
1.(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是( )
解析:
选D 当a>1时,函数f(x)=xa(x>0)单调递增,函数g(x)=logax单调递增,且过点(1,0),由幂函数的图象性质可知C错;当00)单调递增,函数g(x)=logax单调递减,且过点(1,0),排除A;又由幂函数的图象性质可知B错,因此选D.
2.图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象.已知α取±2,±
四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为____________.
答案:
2,
,-
,-2
3.设a=
,b=
,c=
,则a,b,c的大小关系是________.
解析:
∵y=x
(x>0)为增函数,∴a>c.∵y=
x(x∈R)为减函数,∴c>b,∴a>c>b.
答案:
a>c>b
小结:
类题通法
1.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般可从以下两个方面考查:
(1)α的正负:
α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:
α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.
2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点二、求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
[解] 法一(利用一般式):
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得
解得
∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n.
∵f
(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=
=
.∴m=
.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.∴y=f(x)=a
2+8.∵f
(2)=-1,∴a
2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-4
2+8=-4x2+4x+7.
法三(利用零点式):
由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即
=8.
解得a=-4或a=0(舍).
∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
小结:
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:
[针对训练]
(2014·北京高考)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:
分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟B.3.75分钟
C.4.00分钟D.4.25分钟
解析:
选B 由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得
解得
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.8125,
所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.故选B.
考点三、二次函数的图象与性质
角度一 轴定区间定求最值
1.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.
解:
(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∵x∈[-4,6],
∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,
∴f(x)的最小值是f
(2)=-1.
又f(-4)=35,f(6)=15,
故f(x)的最大值是35.
(2)当a=1时,f(x)=x2+2x+3,
∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],
且f(x)=
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].
角度二 轴动区间定求最值
2.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,求a的值.
解:
函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.
①当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,
∴1-a=2,∴a=-1.
②当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,
∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,
∴a=
(舍).
③当a>1时,f(x)max=f
(1)=a,∴a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
角度三 轴定区间动求最值
3.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(a),求g(a).
解:
∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴对称轴为直线x=1.
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