数学建模 身高.docx
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数学建模身高
(一)摘要:
【问题、模型、方法、结果】
问题:
有关统计资料表明,我国大学生男性群体的平均身高约为170cm,且该群体中约有99.7%的人身高在150cm至190cm之间。
要求:
如果将[150cm,190cm]等分成20个高度区间,则该群体身高在每一高度区间的分布情况怎样?
特别地,身高中等(165cm至175cm之间)的人占该群体的百分比会超过60%吗?
记从一个群体随机抽出若干个个体,切有99.7%的人身高在150cm~190cm之间,这些样品的总体身高情况服从正态分布。
根据模型假设,应用正态分布函数算出[150,190]以二为步长的20个点,并根据此20个散点,应用Matlab作出拟合的函数图形,再根据对正态分布函数在[165,175]之间的定积分,算出这一区间的概率,看看是否会超过0.6。
结果是F(165,175)=0.5467<0.6,故身高中等(165cm至175cm之间)的人占该群体的百分并没有超过60%。
(二)模型的背景问题描述
现实生活中影响人群身高的因素有很多,但自古以来,人的身高高低不等,但中等身材的站大多数,特高和特矮的知识少数,而且较高和较矮的人数大致相近,群体同类数据就都服从这同一个原则,就是围绕一个标准向周围递减,也就是正态分布。
(三)模型假设
假设所抽样本的年龄均为同时期的20-25岁之间的个体,且不存在特殊病症(身高方面)。
(四)分析与建立模型
群体的身高通常是服从正态分布N(,)的随机变量,正态分布的概率密度函数f(x)为:
,f(x)在区间[a,b]上的定积分:
的值正好代表大学生身高在区间[a,b]的分布情况。
密度函数(x)中的两个参数、分别为正态分布的均值与标准差。
根据题目中我国大学生男性群体的平均身高约为170cm,所以均值=170cm,而由“该群体中约有99.7﹪的人身高在150cm至190cm之间”,根据正态分布特征,可得:
F(x)~0.997=F(190)-F(150);=170
于是可以得到=20/3,故其密度函数f(x)为
将[150cm,190cm]等分成20个高度区间后,得到高度区间为
[150,152],[152,154],…,[188,190]
对应的分布为
--------------------
(1)
身高在165cm至175cm之间的人占该群体的百分比为
----------------------------
(2)
如上式
(1)和
(2)的定积分是不能用定积分基本公式方法求出的,但用计算方法中的数值积分可以算出。
(五)模型求解
根据正态分布函数特征,可得一下20个特征点:
[150cm,152cm]
[152cm,154cm]
[154cm,156cm]
[156cm,158cm]
[158cm,160cm]
[160cm,162cm]
[162cm,164cm]
[164cm,166cm]
[166cm,168cm]
[168cm,170cm]
0.0021
0.0047
0.0097
0.0181
0.0309
0.0483
0.0690
0.0902
0.1078
0.1179
[170cm,172cm]
[172cm,174cm]
[174cm,176cm]
[176cm,178cm]
[178cm,180cm]
[180cm,182cm]
[182cm,184cm]
[184cm,186cm]
[186cm,188cm]
[188cm,190cm]
0.1179
0.1078
0.0902
0.0690
0.0483
0.0309
0.0181
0.0097
0.0047
0.0021
以上20个点,可用Matlab画出,三点突地程序为:
x=152:
2:
190;
y=[0.0021,0.0047,0.0097,0.0181,0.0309,0.0483,0.0690,0.0902,0.1078,0.1179,0.1179,0.1078,0.0902,0.0690,0.0483,0.0309,0.0181,0.0097,0.0047,0.0021];
plot(x,y,'r*')
将以上这些点拟合成二次函数的曲线,程序为:
x=150:
2:
190;
y=[0.0021,0.0047,0.0097,0.0181,0.0309,0.0483,0.0690,0.0902,0.1078,0.1179,0.1179,0.1078,0.0902,0.0690,0.0483,0.0309,0.0181,0.0097,0.0047,0.0021];
plot(x,y)
(六)模型检验
0.5467246173
说明身高中等(165cm至175cm)的大学生约为54.67﹪,不足60﹪。
(七)模型程序
Mathematica编写的通用程序为:
Clear[a,b,x,n,f];
a=Input["a="]
b=Input["b="]
f[x_]=3/20*Exp[-9(x-170)^2/800]/Sqrt[2Pi]
eps=0.0000001;
n=1;
h=b-a;
t1=(f[a]+f[b])*h/2;
h=h/2;
t2=t1/2+h*f[a+h];
er=t2-t1//N;
While[Abs[er]>eps,
Print["n=",2^n,"定积分值为",N[t2,10]];
Print["误差=",er];
h=h/2;
t1=t2;
n=n+1;
t2=t1/2+h*Sum[f[a+k*h],{k,1,2^n,2}];
er=t2-t1//N];
Print["n=",2^n,"定积分值为",N[t2,10]];
Print["误差=",er]
说明本程序从梯形公式T1开始,用复合梯形求积公式求[a,b]上满足精度小于eps要求的定积分近似值。
程序执行后,按要求通过键盘输入积分下限a、积分上限b、被积函数f(x)和精度要求eps后,计算机则给出满足精度要求的定积分近似值及中间计算值和误差。
程序中变量说明
a:
存放积分下限
b:
存放积分上限
f[x]:
存放被积函数f(x)
eps:
存放求积精度
h:
存放节点步长
x:
为函数f[x]:
提供变量
t1:
存放复合梯形值Tn
t2:
存放复合梯形值T2n和定积分近似值
n:
存放复合梯形公式的节点加密次数
er:
存放误差
(八)模型的应用与推广
正态分布是应用最广泛的一种连续性分布。
德莫佛最早发现了二项概率的一个近似共识,这一公式被认为是正态分布的首次露面。
正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广,所以通常称为高斯分布。
在高尔顿钉板试验中自然掉落的小球正式呈了一条正态分布的曲线。
除了我们在这里遇到的身高问题外,在正常条件下各种产品的质量指标,如零件的尺寸;纤维的强度和张力;农作物的产量,小麦的穗长、株高;测量误差,设计目标的水平或垂直偏差;信号噪声等等,都服从或近似服从正态分布。
(9)参考文献
[1]辽宁工程技术大学理学院应用数学系.数学建模简介及其基于MATLAB的实现.2008
[2]高雷阜,柴岩.概率论与数理统计.沈阳.东北大学出版社,2005年8月第一版
[3]吴孟达成礼智等出版社.数学建模的理论与实践.西安.科学出版社,1999年8月第1版
[4]李尚志出版社.数学建模竞赛教程.上海.科学出版社,1996年6月第1版
[5]白其峥.数学建模案例分析.科学出版社出版,2000年1月第1版
[6]蔡锁章.数学建模原理与方法.高等教育出版社,2000年6月第1版
[7]沈继红,施久玉,高振滨,张晓威.数学建模北京,高等教育出版社,1996年5月第1版
辽宁工程技术大学
数学建模课程成绩评定表
学期
08-09学年1学期
姓名
顾国兴(06)
专业
电气工程与自动化
班级
电力06-4班
课程名称
数学建模
论文题目
学生的身高模型
评
定
标
准
评定指标
分值
得分
知识创新性
20
理论正确性
20
内容难易性
15
结合实际性
10
知识掌握程度
15
书写规范性
10
工作量
10
总成绩
100
评语:
任课教师
时间
08年月日
备注
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