初中竞赛数学27不定方程方程组含答案.docx
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初中竞赛数学27不定方程方程组含答案
27.不定方程、方程组
知识纵横
不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.
对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.
二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:
设a、b、c、d为整数,则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题:
(1)若(a,b)=d,且dc,则不定方程ax+by=c没有整数解;
(2)若x0,y0是方程ax+by=c且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则
(t为整数)
是方程的全部整数解(称通解).
解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循,需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形,并灵活运用以下知识与方法:
奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解
【例1】正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为________.
(2000年新加坡数学竞赛题)
思路点拨把m用含n的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m的最大值.
解:
75提示:
m=
=9+
n=9时,m最大值为75.
【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是().
A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米
(2003年河南省竞赛题)
思路点拨设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x、10+9y(x,y为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.
解:
选C提示:
x=
=2y+1+
4│y+3,
为所求的解.
【例3】
(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.
(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.(莫斯科数学奥林匹克试题)
(3)求方程
正整数解.(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨对于
(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于
(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于
(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1 ≥ ≥ 将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果. 解: (1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为 (t为整数). 解法2: x=-4y+ 令 =t1,得y=2t1- 令 =t,得t=8t-6, 化简得 (2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为 (0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2) (3)提示: < + + ≤ 即 < ≤ 由此得x=2或3,当x=2时, < + = - = ≤ + = ,即 < ≤ 由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4, 由此可得当1≤x≤y≤z时, (x,y,z)共有 (2,4),(4,2,12),(4,12,2),(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2), (3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4) 【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题) 思路点拨无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解. 解: 提示: 设盒子里共有x粒棋子,则x被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a为自然数), 又x=11b(b为自然数),得12a+1=11b,b= =a+ 11│a+1 因0 a=10, 所以x=12×10+1=121,即盒子里共有121粒棋子. 【例5】中国百鸡问题: 鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》) 思路点拨设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有 通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解. 解: 消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解, 所以方程的通解为 (t为整数), 于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z≥0且t为整数得 t=0,-1,-2,-3,将t的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78)(8,11,81),(12,4,84) 【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学? (2001年海峡两岸友谊赛试题) 思路点拨设甲组同学a人,乙组学生b人,丙组学生c人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程? 运用放缩法,从求出a+b+c的取值范围入手. 解: 设甲组、乙组、丙组分别有学生a人、b人、c人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c< <13.04 所以a+b+c≤13 因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)> >11.7 所以a+b+c≥12 因此,a+b+c=12或13 当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解. 故a+b+c≠13,a+b+c=12 学力训练 一、基础夯实 1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______. (2002年山东省竞赛题) 2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么 的值为________. 3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法. 4.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下列: 品名 件数 A1 A2 A3 A4 A5 总钱数 第一次购件数 1 3 4 5 6 1992(元) 第二次购件数 1 5 7 9 11 2984(元) 则5种数学用品各买一件共需_______元.(北京市竞赛题) 5.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,那么其中排球有________个.(2003年温州市中考题) 6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有(). A.1组B.2组C.4组D.无数组 7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有(). A.20001999个B.19992000个 C.2001000个D.2001999个(第11届“希望杯”邀请赛试题) 8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=(). abcdef ×4 efabcd A.27B.24C.30D.无法确定(“五羊杯”邀请赛试题) 9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy. 10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题) 11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则: 游戏在两位同学之间进行,用伸出手掌表示“布”,两人同时口念“锤子、剪子、布”,一念到“布”时,同时出手,“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”,“剪子”赢“布”。 现在我们约定: “布”赢“锤子”得9分,“锤子”赢“剪子”得5分,“剪子”赢“布”得2分。 (1)小明和某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次,聪明的同学,请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次? (2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请你探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法填入下表。 赢法一: “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数 赢法二: “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数 赢法三: “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数 (2003年淮安市中考题) 三、能力拓展 12.满足19982+m2=19972+n2(0 13.有理数x、y、z满足 则x2y+z的值为______. 14.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和,那么他的年龄是______岁. 15.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么,至少需要抽水机______台. 16.有甲、乙、丙3种商品,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元;若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元,则此人购甲、乙、丙各1件共需________元. 17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球,红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_______个. 18. (1)求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y); (2)求出所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解.(新加坡奥林匹克试题) 19.兄弟二人养了一群羊,当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时,将这群羊全部卖出,兄弟二人平分卖羊得来的钱: 哥哥先取10元,弟弟再取10元;这样依次反复进行,最后,哥哥先取10元,弟弟再取不足10元,这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟,兄弟二人所得的钱数相等,问这顶草帽值多少钱? (2003年北京市竞赛题) 20.某人家的电话号码是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求此人家的电话号码.(2003年武汉市选拨赛试题) 三、综合创新 21.某布店的一页帐簿上沾了墨水,如下表所示: 月 日 摘要 数量(米) 单位(元/米) 金额(元) 1 13 全毛花呢 ×× 49.36 ×××7.28 所卖呢料米数看不清楚了,但记得是卖了整数米;金额项目只看到后面3个数码7.28,但前面的3个数码看不清楚了,请你帮助查清这笔帐. (上海市“金桥杯”数学知识应用竞赛试题) 22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.他们出发后以每天17km的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回,在出发后的第60天,考察队行进了24km后回到出发点,试问: 科学考察队在生态区考察了多少天? (2003年四川省竞赛题) 答案 1.82.8 3.2提示: 设买4分、8分、1角的邮票分别为x张,y张,z张,则 得2y+3z=14,解得(x,y,z)=(12,4,2),(13,1,4) 4.10005.15 6.C提示: 因(x+1)+(y-2)=1,且x,y均为正整数,只有 或 7.C提示: 当x=0时,y+z=1999,y分别取0,1,2…,1999时,z取1999,1998,…,0,有2000个整数解; 当x=1时,y+z=1998,有1999个整数解, 当x=2时,y+z=1997,有1998个整数解;… 当x=1999时,y+z=0,只有1组整数解, 故非负整数解共有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000(个) 8.A提示: 设 =x, =y,则4(100x+y)=10000y+x,即19x=476y. 设x=476k,y=19k,可求得k=3,4,5,则 =142857,190476,238095. 9. (1) (t为整数) (2) 提示: x= 3x=1+ 10.提示: 设检票开始每分钟新增加的旅客为x人,检票的速度为每个检票口每分钟检y人,5分钟内检票完毕同时开放n个检票口,则 ②×③-①,得: 2a=30y,得y= …④ 把④代入①,得x= …⑤ 把④、⑤代入③,得a+ ≤n· 解得n≥3.5,n取最少的整数n=4,即至少需同时开放4个检票口.11. (1)设小明“布”赢“锤子”为x次,“锤子”赢“剪子”y次, 则 得x=6,y=8 (2)赢法很多,如表: “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 0 0 15 0 6 0 0 2 10 0 4 5 1 1 8 1 3 3 2 2 1 2 0 6 12.3提示: (n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47,(n-m)与(n+m)奇偶性相同 13.9 14.18提示: 设某人出生于 年,则 - =10+x+y,即11x+2y=8,解得 15.6提示: 参见例516.6 17.4提示: 设分别有x、y、z个红球,由 得2x+y=9,x的最大值为4 18. (1)原方程变形为: 2(x2-y)2+(y2-1)2=0,由此得原方程的解为(±1,1). (2)原方程变形为 . 参考例3 (2),得方程的解 (x,y,z): (2,4,20),(2,20,4),(4,2,20);(4,20,2),(20,2,4);(20,4,2);(3,5,10); (3,10,5);(5,3,10);(5,10,3);(10,3,5);(10,5,3). 19.设羊群共10a+b只,则每只羊的价钱为10a+b元(其中b是个位数字), 这群羊共卖了(10a+b)2=100a2+20ab+b2(元). 由于每次取10元,最后一次弟弟取的不够10元, 因此取10的倍数共奇数次, 因此b2必有十位进位,并且进的是个奇数, 易知,在1,2,…9的平均数中,只有42=16,62=36的十位数字是奇数, 所以b等于4或6,由此得这顶草帽值2元. 20.设电话号码是100000x+10000y+z, 其中x,y,z均为自然数,且100≤x≤999,0≤y≤9,1000≤y≤9999, 则 得1111y-x=285, 由100≤x≤999,y≥0,得y=1,x=826,z=6144, 故电话号码是82616144. 21.提示: 设所卖数量为x米,金额前三位数为y,则49.36x=10y+7.28,得 y= =5x-1+ 又令 =t,则x= =4-31t+ 解得t=-3, 于是x=98,y=483,即所卖呢料米数为98米,金额为4837.28元. 22.设考察队到生态区用了x天,返回用了y天,考察用了z天,则 方程②的特解为x=-3,y=-2,方程②的一切整数解为 (t为整数), 则x+y=42t-5,又0
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