高考数学精练6数列.docx
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高考数学精练6数列
高三单元滚动检测卷·数学
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3.本次考试时间120分钟,满分150分。
单元检测六 数 列
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·南昌调研)已知{an}是等差数列,a1+a7=-2,a3=2,则{an}的公差d等于( )
A.-1B.-2
C.-3D.-4
2.(2015·福建)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )
A.6B.7C.8D.9
3.(2015·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+a(n∈N+),则实数a的值是( )
A.-3B.3
C.-1D.1
4.已知数列{an}是等差数列,若a2016+a2017<0,a2016·a2017<0,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,那么Sn取得最小正值时,n等于( )
A.4029B.4030
C.4031D.4032
5.等比数列{an}中,a2=2,a4=8,an>0,则数列{log2an}的前n项和为( )
A.B.
C.D.
6.(2015·重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n-1B.an=()n-1
C.an=n2D.an=n
7.(2015·浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0
8.(2015·西安模拟)△ABC中,tanA是以-4为第3项,-1为第7项的等差数列的公差,tanB是以为第3项,4为第6项的等比数列的公比,则该三角形的形状是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.等腰直角三角形D.以上均错
9.设函数f(x)=2x-cosx,{an}是公差为的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5等于( )
A.0B.π2
C.π2D.π2
10.(2015·黄冈中学月考)若数列{an}满足-=0,n∈N+,p为非零常数,则称数列{an}为“梦想数列”.已知正项数列{}为“梦想数列”,且b1b2b3…b99=299,则b8+b92的最小值是( )
A.2B.4
C.6D.8
11.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q等于( )
A.1B.
C.-1D.-2
12.(2015·重庆模拟)数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2,数列bn=3n-1,数列的前n项和为( )
A.5-B.5-
C.5-D.5-
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.设关于x的不等式x2-x<2nx(n∈N+)的解集中整数的个数为an,数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为________.
14.(2015·江苏)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N+),则数列前10项的和为________.
15.在数列{an}中,a1≠0,an+1=an,Sn为{an}的前n项和.记Rn=,则数列{Rn}的最大项为第________项.
16.(2015·杭州严州中学阶段测试)已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+.若对任意的自然数n≥4,恒有 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2015·福建)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 18.(12分)已知a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{an}是递增的等差数列,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn(n∈N+). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 19.(12分)(2015·北京西城区期末)已知数列{an}满足a2=5,且其前n项和Sn=pn2-n. (1)求p的值和数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}为等比数列,公比为p,且其前n项和Tn满足T5 20.(12分)(2015·淄博一模)在数列{an}中,a1=,其前n项和为Sn,则Sn=an+1-,(n∈N+). (1)求an,Sn; (2)设bn=log2(2Sn+1)-2,数列{cn}满足cn·bn+3·bn+4=1+(n+1)(n+2)·2bn,数列{cn}的前n项和为Tn,求使4Tn>2n+1-成立的最小正整数n的值. 21.(12分)(2015·山东省实验中学模拟)为了综合治理交通拥堵状况,缓解机动车过快增长势头,一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规.某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆,预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%,且报废后机动车的牌照不再使用.同时每年投放10万辆的机动车牌号.只有摇号获得指标的机动车才能上牌,经调研,获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌. (1)问: 到2019年初,该城市的机动车保有量为多少万辆; (2)根据该城市交通建设规划要求,预计机动车的保有量少于500万辆时,该城市交通拥堵状况才真正得到缓解,问: 至少需要多少年可以实现这一目标. (参考数据: 0.954=0.81,0.955=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02) 22.(12分)已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn. 答案解析 1.C 2.D 3.C [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,当n=1时,a1=S1=3+a,因为{an}是等比数列,所以有3+a=2,解得a=-1.故选C.] 4.C [∵数列{an}的前n项和Sn有最大值, ∴数列{an}是递减的等差数列. 又∵a2016+a2017<0,a2016·a2017<0, ∴a2016>0,a2017<0, ∴数列的前2016项为正数, 从第2017项开始为负数, 由求和公式和性质可得 S4031=4031a2016>0,S4032=2016(a2016+a2017)<0, ∴Sn取最小正值时n=4031.] 5.A [设等比数列{an}的公比为q. ∵a2=2,a4=8,an>0,∴a1q=2,a1q3=8, 解得q=2,a1=1.∴an=2n-1. ∴数列{log2an}的前n项和log2a1+log2a2+…+log2an =log2(1×2×22×…×2n-1) =log22 =.故选A.] 6.D [因为an=n(an+1-an), 所以=, 所以an=···…···a1=×××…×××1=n.] 7.B [∵a3,a4,a8成等比数列, ∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d), 整理得a1=-d, ∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-, ∴dS4=-<0,故选B.] 8.B [由题意知,tanA==>0, tan3B==8,tanB=2>0,∴角A、B均为锐角. 又∵tan(A+B)==-<0, ∴角A+B为钝角,∴角C为锐角, ∴△ABC为锐角三角形.] 9.D [∵{an}是公差为的等差数列, ∴a1+a5=a2+a4=2a3, 且a1=a3-,a2=a3-,a4=a3+,a5=a3+. ∵f(x)=2x-cosx, ∴f(a1)+f(a5)=2a1-cosa1+2a5-cosa5 =2(a1+a5)-(cosa1+cosa5) =4a3- =4a3-2cosa3cos=4a3-cosa3, f(a2)+f(a4)=2a2-cosa2+2a4-cosa4 =2(a2+a4)-(cosa2+cosa4) =4a3- =4a3-2cosa3cos. ∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5) =10a3-cosa3-(+2cos)cosa3 =10a3-cosa3=5π, ∴a3=,∴f(a3)=2×-cos=π. ∴a1=-=,a5=+=π. ∴[f(a3)]2-a1a5=π2-π×=π2.] 10.B 11.A 12.B [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n, 又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an=2n. 设Tn=+++…+ =+++…+, 2Tn=2+++…+, 两式相减得 Tn=2+++…+-, Tn=2+-=5-.] 13.10100 14. 15.4 解析 ∵a1≠0,an+1=an. ∴数列{an}是等比数列. ∴Rn= = =×(3+-82)≤(2-82) =. 当且仅当3=⇒3n=81⇒n=4时等号成立. 所以数列{Rn}的最大项为第4项. 16.(0,+∞) 解析 a1=a,a2=1+=,a3=1+=,a4=.由题意对任意的自然数n≥4,恒有 所以<<2, 解得a>0. 17.解 (1)设等差数列{an}的公差为d, 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由 (1)可得bn=2n+n, 所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =+ =(211-2)+55 =211+53=2101. 18.解 (1)由题意得a2=3,a5=9, 公差d==2, 所以an=a2+(n-2)d=2n-1, 由Sn=1-bn得,当n=1时b1=, 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=bn-1-bn, 得bn=bn-1, 所以数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列, 所以bn=. (2)cn=an·bn=, Tn=+++…++, 3Tn=+++…++, 两式相减得: 2Tn=2+++…+- =4-,所以Tn=2-. 19.解 (1)由题意,得S1=p-1,S2=4p-2. 因为a2=5,S2=a1+a2, 所以S2=4p-2=p-1+5,解得p=2. 所以Sn=2n2-n. 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,得 an=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3. 验证知n=1时,a1符合上式,所以an=4n-3,n∈N+. (2)由 (1),得Tn==b1(2n-1). 因为T5 解得b1<.又因为b1≠0, 所以b1的取值范围是(-∞,0)∪(0,). 20.解 (1)由Sn=an+1-,得Sn-1=an-(n≥2), 两式作差得: an=an+1-an,即2an=an+1(n≥2), ∴=2(n≥2), 又a1=S1=a2-,得a2=1, ∴=2, ∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列, 则an=·2n-1=2n-2, Sn=an+1-=2n-1-. (2)bn=log2(2Sn+1)-2=log22n-2=n-2, ∴cn·bn+3·bn+4=1+(n+1)(n+2)·2bn, 即cn(n+1)(n+2)=1+(n+1)(n+2)·2n-2, cn=+2n-2=-+2n-2, Tn=(-)+(-)+…+(-)+(2-1+20+…+2n-2) =-+=--+2n-1 =2n-1-. 由4Tn>2n+1-,得 4(2n-1-)>2n+1-, 即<,n>2014. ∴使4Tn>2n+1-成立的最小正整数n的值为2015. 21.解 (1)设2015年年初机动车保有量为a1万辆,以后各年年初机动车保有量依次为a2万辆,a3万辆,…,每年新增机动车10万辆, 则a1=600,an+1=0.95an+10. 又an+1-200=0.95(an-200),且a1-200=600-200=400, 所以数列{an-200}是以400为首项,0.95为公比的等比数列. 所以an-200=400·0.95n-1, 即an=400·0.95n-1+200. 所以2019年初机动车保有量为a5=400×0.954+200=524万辆. (2)由题意可知,an=400·0.95n-1+200<500, 即0.95n-1<0.75,所以n>+1=7.5, 故至少需要8年的时间才能实现目标. 22.解 (1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得 故an=3+(n-1)·(-1)=4-n. (2)由 (1)得,bn=n·qn-1,于是 Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1. 若q≠1,将上式两边同乘以q有 qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn. 两式相减得到(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1 =nqn-=. 于是,Sn=. 若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=. 所以Sn=
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