届吉林省吉林市普通中学高三第一次调研测试数学文试题解析版.docx
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届吉林省吉林市普通中学高三第一次调研测试数学文试题解析版
吉林省吉林市普通中学2019届高三第一次调研测试数学(文)试题
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.设集合,,则
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】解:
.
故选:
C.
进行交集的运算即可.
考查描述法、区间表示集合的定义,以及交集的运算.
2.若,为第二象限角,则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解:
由,得,为第二象限角,.
则.
故选:
A.
由已知求得,进一步得到,再由商的关系求得.
本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
3.在下列给出的四个结论中,正确的结论是
A.已知函数在区间内有零点,则
B.6是3与9的等比中项
C.若,是不共线的向量,且,,则
D.已知角终边经过点,则
【答案】C
【解析】解:
函数在区间内有零点,且在单调,
则,故A错误;
3与9的等比中项为,即,故B错误;
若,是不共线的向量,且,,即有,
则,故C正确;
,角终边经过点,则,故D错误.
故选:
C.
由函数零点存在定理可判断A;由等比中项的定义计算可判断B;由向量共线定理可判断C;
运用任意角的三角函数定义可判断D.
本题考查函数零点存在定理和等比中项的定义、向量共线定理和任意角的三角函数定义,考查运算能力,属于基础题.
4.已知四边形ABCD是平行四边形,点E为边CD的中点,则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解:
如图,,,
,
故选:
A.
作出图形,利用向量加法的平行四边形法则,容易得解.
此题考查了向量的加法法则,属容易题.
5.若公差为2的等差数列的前n项和为,且,,成等比数列,则
A.90B.100C.110D.120
【答案】B
【解析】解:
由,,成等比数列,可得:
,,解得.
则.
故选:
B.
由,,成等比数列,可得:
,即,解得利用求和公式即可得出.
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6.已知,,则的值为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】解:
,,
则.
故选:
C.
直接利用两角和的正切函数化简求解即可.
本题考查两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力.
7.已知是定义在R上的奇函数,当时,,则
A.1B.C.2D.
【答案】B
【解析】解:
是定义在R上的奇函数,且时,;.
故选:
B.
根据时的解析式,即可求出,再根据是奇函数,即可求出.
考查奇函数的定义,以及已知函数求值的方法,对数的运算.
8.在小正方形边长为1的正方形网格中,向量,的大小与方向如图所示,则向量,所成角的余弦值是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解:
由题意知向量,,,,,,,
即向量所成角的余弦值为.
故选:
B.
用坐标不是向量、,计算所成角的余弦值即可.
本题考查了平面向量的数量积与夹角公式应用问题,是基础题.
9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:
“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其意思为:
有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了
A.192 里B.96 里C.48 里D.24 里
【答案】B
【解析】解:
由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,
由题意和等比数列的求和公式可得,
解得,第此人二天走里,第二天走了96里,
故选:
B.
由题意得:
每天行走的路程成等比数列、且公比为,由条件和等比数列的前项和公式求出,由等比数列的通项公式求出答案即可.
本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用,属于基础题.
10.已知等边的边长为2,则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解:
如图,延长BC至D,使,
易知,
故选:
A.
连续两次利用向量加法的三角形法则,容易化简所给向量,从而得解.
此题考查了向量加法的三角形法则,属容易题.
11.函数的图象可能是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】解:
,函数定义域为,,函数为奇函数,图象关于原点对称,
故排除B、C,当时,,,
故排除D.
故选:
A.
先求出函数的定义域,再判断函数为奇函数,即图象关于原点对称,故可以排除BC,再根据函数值域,可排除D.
本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性,属于基础题.
12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得函数的图象向右平移个单位长度,最后得到图象对应的函数为奇函数,则的最小值为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解:
将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,
纵坐标不变,可得的图象;
再把所得函数的图象向右平移个单位长度,可得的图象.
最后得到图象对应的函数为奇函数,则,.
故当时,取得最小值为,
故选:
D.
利用二倍角公式化简函数的解析式,再根据函数的图象变换规律,三角函数的奇偶性,求得的最小值.
本题主要考查二倍角公式的应用,函数的图象变换规律,三角函数的奇偶性,属于中档题.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知向量,,若,则______.
【答案】
【解析】解:
;;;.
故答案为:
.
可先得出,根据可得出,进行数量积的坐标运算即可求出m.
考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算.
14.已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,且,则______.
【答案】3
【解析】解:
,,且,
由余弦定理可得,,
解可得,,
故答案为:
3
由余弦定理可得,,代入即可求解a
本题主要考查了余弦定理在三角形中的简单应用,属于基础试题
15.设函数,若,则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】解:
函数,
当,,即为,
解得;
当,即为,
解得.
综上可得,或.
故答案为:
.
由分段函数的解析式,讨论,,再由对数函数的单调性,解不等式,求并集即可得到.
本题考查分段函数的运用,考查对数函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
16.已知数列是等差数列,前n项和为,满足,给出下列四个结论:
;;;最小,
其中一定正确的结论是______只填序号.
【答案】
【解析】解:
是等差数列,,,
整理可得,,即,故正确;故错误;,,故正确;,无法判断其是否有最小值,故错误.
故答案为:
.
由是等差数列及,求出与d的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.已知数列,点在直线上.求证:
数列是等差数列;设,求数列的前20项和.
【答案】解:
证明:
,
数列是公差为3的等差数列;由知:
,公差,
当时,,当时,,
.
【解析】由得数列是公差为3的等差数列,即定义法;先判断当时,,当时,,而后转化到等差数列根据公式可求.
本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.已知函数.求函数的最小正周期;当时,求函数的最大值和最小值.
【答案】解:
因为
所以函数的最小正周期为.因为
由,得,从而
所以当时,的最大值为,最小值为.
【解析】利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理,进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期.根据中函数的解析式确定的解析式,利用两角和公式进行化简整理,进而利用正弦函数的性质求得的最大值和最小值.
本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,两角和公式和二倍角公式的化简求值,以及三角函数的值域考查了学生综合运用所学知识的能力.
19.设为数列的前n项和,已知,.证明:
为等比数列;求的通项公式,并判断n,,是否成等差数列?
说明理由.
【答案】证明:
,,,即,
由题意知,,是首项为2,公比为2的等比数列;由知,,,,.,即n,,成等差数列.
【解析】由已知数列递推式求得首项,再由等比数列的定义证明为等比数列;由为等比数列求出数列的通项公式,进一步求出数列的前n项和,再由等差数列的性质说明n,,成等差数列.
本题考查数列递推式,考查等比关系的确定,训练了等比数列前n项和的求法,是中档题.
20.在中,内角A,B,C的边长分别为a,b,c,且.若,,求的值;若,且的面积,求a和b的值.
【答案】解:
中,,,;
由余弦定理得,,
解得;分
由正弦定理,
得;分由,
降幂得,
化简得,分
即;
又,
得;分
由解得分
【解析】由余弦定理和正弦定理,即可求得;由题意,利用降幂公式和正弦定理,结合三角形的面积公式,即可求得a、b的值.
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题,也考查了三角形的面积公式应用问题,是综合题.
21.已知函数.当时,求函数在点处的切线方程;当时,若对任意都有,求实数a的取值范围.
【答案】解当时,,,,,
切线方程为:
,
整理得:
..在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增.
当时,函数在上单调递增.函数在上的最大值是,
由题意得,解得:
,,此时a的值不存在;
当时,,此时在上递增,在上递减.函数在上的最大值是,
由题意得,解得:
.
综上,a的取值范围是.
【解析】把代入函数解析式,求出函数的导函数,并求得与,代入直线方程点斜式得答案;求出函数的导函数,可得在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增,然后对a分类求出函数在上的最大值,由最大值小于等于27求解实数a的取值范围.
本题考查利用导数求过某点处的切线方程,考查利用导数求函数的最值,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题.
22.设函数.当时,求函数的单调区间;求函数的极值.
【答案】解:
当时,函数,,
令得:
,,
当x变化时,,的变化情况如下表:
x
1
0
0
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
在单调递增,在单调递减,在单调递增
-------分
当时,,,函数单调递增,,函数单调递减
所以在区间上有极大值,无极小值-----------分
当时,,,单调递增;,,单调递减;,,单调递增
所以,---------分
当时,在区间上有,单调递增,无极值---------------------------------分
当时,,,单调递增;,,单调递减;,,单调递增
所以----------------------------分
综上,当时,极大值为,无极小值;
当时,极大值为,极小值为;
当时,无极值;
当时,极大值为,极小值为----------------------------分
【解析】当时,函数,求出的导数,令,即可得出函数的单调性;求出函数的导数,求出的定义域,讨论当时,当,当时及当时,求出函数的单调区间即可求得极值;
本题考查导数的应用:
求单调区间、极值,考查分类讨论的思想方法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题和易错题.
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