概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答.docx
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概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
习题3-1
1、设(X,Y)的分布律为
X
Y1
2
3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/3
a
1/9
求a。
解:
由分布律的性质,得
pij
1,a0,即1
1
1
1
a
1
1,a
0,
ij
6
9
18
3
9
解得,a
2
。
9
注:
考察分布律的完备性和非负性。
2、设(X,Y)的分布函数为
F(x,y),试用F(x,y)表示:
(1)P{a
X
b,Y
c};
(2)P{0
Y
b};(3)P{X
a,Y
b}。
解:
根据分布函数的定义
F(x,y)
P{X
x,Y
y},得
(1)P{a
X
b,Y
c}
P{X
b,Y
c}
P{X
a,Y
c}
F(b,c)
F(a,c);
(2)P{0
Y
b}
P{X
Y
b}
P{X
Y0}
F(
b)
F(
0);
(3)P{X
a,Y
b}
P{X
Y
b}
P{X
a,Y
b}
F(
b)
F(a,b
)。
3、设二维随机变量
(X,Y)的分布函数为
F(x,y),分布律如下:
Y
1
2
3
4
X
1
1/4
0
0
1/16
2
1/16
1/4
0
1/4
3
0
1/16
1/16
0
试求:
(1)P{1
X
3,0
Y
4};
(2)P{1
X
2,3
Y
4};(3)F(2,3)。
2
2
解:
由(X,Y)的分布律,得
1
X
3
0
Y
4}
P{X
1,Y
1}
P{X1,Y
2}
P{X
1,Y
3}
1
0
1
(1)P{
2
0
;
2
4
4
(2)P{1
X
2,3
Y4}
P{X1,Y
3}
P{X
1,Y
4}
P{X
2,Y
3}
P{X
2,Y
4}
0
1
0
1
5
16
4
;
16
(3)F(2,3)P{X2,Y3}P{X1,Y1}P{X1,Y2}P{X1,Y3}
P{X
2,Y
1}
P{X
2,Y
2}
P{X
2,Y3}
1
00
1
1
0
9
4
16
4
。
16
4、设X,Y为随机变量,且
P{X
0,Y
0}
3/7,P{X
0}
P{Y
0}
4/7
,求
P{max(X,Y)0}。
解:
P{max(X,Y)
0}
P{(X
0)U(Y
0)}
P{X
0}
P{Y
0}
P{X
0,Y
0}
5/7。
注:
此题关键在于理解
{max(X,Y)
0}表示{(X
0)U(Y
0)},然后再根据概率的加法公式。
5、(X,Y)只取下列数值中的值:
(0,0),(
1,1),(1,1/3),(2,0)
,且相应概率依次为
1,1,1
,5。
6
3
12
12
请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于
Y的边缘分布。
解:
(1)根据(X,Y)的全部可能取值以及相应概率,得
(X,Y)的概率分布表为
X
Y
0
1/3
1
0
1
0
0
6
1
1
1
0
5
12
3
2
0
0
(2)根据Y的边缘分布与联合分布的关系,得
12
X
Y
0
1/3
1
0
1
0
0
6
1
1
1
0
12
3
2
5
0
0
12
pj
7
1
1
12
12
3
所以,Y的边缘分布为
Y
0
1/3
1
pk
7
1
1
12
3
12
6、设随机向量(X,Y)服从二维正态分布
N(0,0,102,102,0),其概率密度函数为
1
x2
y2
f(x,y)
e200
,
200
求P{XY}。
解:
由图形对称性,得
P{X
Y}
P{X
Y},故P{XY}
1
。
2
3进行求解会相对复
注:
本题的求解借助与图形的特点变得很简单,否则若根据概率密度函数的性质
杂些。
7、设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
k(6
xy),0
x
2,2
y
4
0,
其它
,
(1)确定常数k;
(2)求P{X
1,Y
3};(3)求P{X
1.5};(4)求P{XY
4}。
分析:
利用P{(X,Y)
G}
f(x,y)dxdy
f(x,y)dxdy,再化为累次积分,其中
G
G
Do
Do
(x,y)0
x2,2
y
4
1
f(x,y)dxdy
2
1
xy)dydx
8k,解得
解:
(1)由概率密度函数的完备性,得
0
k(6
2
k
1。
8
(2)
(3)
(4)
P(X
1,Y
1
3
1
31
xy)dy
3
;
3)
f(x,y)dxdy
dx
(6
8
0
28
P(X
1.5)
P(X
1.5,Y
1.5
f(x,y)dxdy
1.5
41
(6xy)dy
27
;
)
dx
28
32
0
P(X
Y
4)
2
dx
4x1
y)dy
2
。
f(x,y)dxdy
0
(6x
xy4
0
8
3
8、已知X和Y的联合密度为
f(x,y)
cxy,
0
x
1,0
y
1
0,
其它
,
试求:
(1)常数c;
(2)X和Y的联合分布函数
F(x,y)。
解:
(1)由概率密度函数的完备性,得
1
1
1
c
1
1,解得c
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- 概率论 数理统计 第三 多维 随机变量 及其 分布 习题 解答