内蒙古科技大学线性代数答案第三章习题册矩阵的初等变换与线性方程组.docx
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内蒙古科技大学线性代数答案第三章习题册矩阵的初等变换与线性方程组
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
一.计算题
1.解:
23
4
3.
0105.
0
1
1
j
0
0
0_
0
0
0_
0
1
0
5
(行最简)~
0
1
0
0
.0
0
1
_3.
0
0
1
0.
(标准型)
2.解:
2
1
1
0
1
0
1
1
1
1
-1
2
2-1
31
11
12
2-1
05
2
2-1
05
1一3
0
5
一3
'3
-2
1
f
'1
-2
-3
3*
'1
-2
—3
3'
'1
-2
-3
3'
'1
-2
一3
3'
0
2
2
1
〜
0
2
2
1
〜
0
2
2
1
〜
0
2
2
1
〜
0
2
2
1
1
-2
一3
3.
.3
-2
1
1.
0
4
10
_8.
0
2
5
-4.
_0
0
3
_5.
0
10
——
■■
10-14
10-14
011-
〜
011-
〜
2
2
001--
001--
L3J
L3」
00
-14
21
3-5
010
7
3
13
石
(行最简)
(标准型)
3・解:
j
2
-1
1
0
o'
'1
2
-11
0
o'
_1
2
-1
1
0
0"
A
=
3
4
-2
0
1
0
〜
0
-2
1-3
1
0
〜
0
-2
1
-3
1
0
5
-4
1
0
0
1_
0
-14
6-5
0
1_
0
0
-1
16
-7
1_
'1
0
0
-2
1
0■
'1
0
0
-2
1
o'
〜
0
-2
0
13
-6
1
〜
0
1
0
13
3
1
~2
0
0
-1
16
-7
1
0
0
1
-16
7
-1
4•解:
(1)
3
-1
—
•-5
3
1
1o'
—
10
—531
10
1
7
2
01
0
-1
217
25
5
5
5J
1
1
-151「1
-50-20-5
2172
「13"
"io4r
p=
25
PA=
017[
-52
⑵Ar=3-1
11
_-5
2
1
0
o"
"-5
0
-5
-10
0_
'1
0
1
2
o'
0
1
3
5
0
0
1
3
5
0
0
1
3
5
0
0
0
-20
-35
5.
.0
0
—20
—35
5.
0
0
4
7
-1
"1
1
o'
0
1
0
4=
0
0
L
5.解:
'1
1
o'
%
1
1
o'
坷2+你
"J
0
1
0
—
a2\
“22
“23
0
1
0
=
«22+Ct2\
a23
0
0
1.
6
“33_
0
0
L
a32+a31
。
33_
'120'
"1o-
Q=
350
QA1=
01
47-1
00
«l2+°22
《2
0
0'
'k
0
o'
'^11
肋】2
0
1
0
A=
0
1
0
如
。
23
=
勺2
。
23
.0
0
1
0
0
1
4
佝2
“33_
_«31
“32
6.解:
'k
0
o'
如
如如
'k
0
o'
kgan
A
0
1
0
=
«21
“22'“23
0
1
0
=
ka2ia22
“23
0
0
1_
4
°32偽3・
0
0
1
如2
7.解:
'0
0
r
®2
'0
0
r
ai3ai2aU
A
0
1
0
=
^21
“23
0
1
0
=
«23如Ct2\
1
0
0
/Z3I
©2
1
0
0
°33Ci32
8.解:
9.解:
l
2
-l
l
0
0
1
2
-1
1
0
0
1
2
一1
1
0
0
3
4
-2
0
l
0
〜
0
-2
1
-3
1
0
0
-2
1
-3
1
0
5
-4
l
0
0
l
0
-14
6
-5
0
1
0
0
一1
16
-7
1
100-210
100-210
0-2013-61
〜
0l0—3——
22
00-116-71
00l-167-l
-21
12-1
.•.逆矩阵是一空3
2
-167
「4
1
-2'
-i
j
-3'
~10
X=
2
2
1
2
2
=
-15
.3
1
-1
.3
_1.
一12
11.解:
12.解:
2
-3
4
(A-3E)X
:
.X=(A-3E)_1A=(A-3E)_,|A|=|/l|(A(A-3E))-,=|A|[(A2-3A)r,
26
_3_
26
2_
26
=26
3
26
9
26
1
26
9
26
1
26
3
一3-1-9
-9-3-1
-1-9-3
13・解:
3-20
-1-32
41-2
1-7
04
1-11
H
_6
H
0
2_29
TT17
丄_丄
H"TT
oo
3
-1
是最高阶非零子式
乜
0
0_
_1
0
0'
1
0
0'
14•解:
A-2E=
1
4
0
-2
0
1
0
=
1
2
0
0
0
3_
0
0
1
0
0
1
j
0
0
1
0
0~
'1
0
0
1
0
0_
(A-2E,E)=
1
2
0
0
1
0
0
2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
1
.0
0
1
0
0
1
01
0-1
2
10
0
£
2
0
=(Z(A—2E)“)
故(A—2E尸
1
£
_2
0
0
£
2
0
'1
1
1
1
0
o'
j
1
1
1
0
o'
1
2
1
0
1
0
0
1
0
-1
1
0
1
1
3
0
0
1
0
0
2
-1
0
1_
15•解:
(A"\E)=
1
0
1
2
-1
0
1
0
0
5
2
-1
r
2
0
1
0
一1
1
0
0
1
0
-1
1
0
0
0
I
1
"2
0
1
2_
0
0
1
1
"2
0
1
2.
=(EA)
5
2
-1
~2
-1
丄
~2
0
丄
2
5
2
-1
~2
-1
£
~2
0
£
2
A
因此心诃2
5
2
一1
_丄
72
丄
_2
0
£
2.
5
-2
-1
-2
2
0
-1
0
1
注:
若已知A,
求小
则需利用
E)
经过初等变换(EA"
求A,则需利用(A二
经过初等变换(EA)
£V1[C0-3A"Er
0_|~|_0AEr0
E0C"
J
0ErA"0
13-4
是最高阶非零子式
18.解:
•.•/?
=3
k11
1k\=疋-3比+2=伙-1)2伙+2)工0
11k
:
.kH—2^JcH1
19.解:
1
2
4
-3'
'1
0
-8
7'
A=
3
5
6
-4
〜
0
1
6
-5
4
5
-2
3
0
0
0
0
20.解:
'1
-1
-1
1'
'1
-1
0
-f
A=
1
-1
1
-3
0
0
1
-2
1
-1
-2
3
0
0
0
0
21・解:
22.
解:
-1
1
0
1
0
0
-1
r
2
1
-3
1
〜
0
1
0
0
0
-2
3
1
0
0
1
-2
1
"2.
2.
1-1
(Ab)=1-1
1-1
23.解:
11k
|A|=1-12=疋一3£-4=伙-4)伙+1)
-1k1
(1)比工4且£工一1时,解唯一。
"1114、
_103o'
⑷)=
1-12-4
0114
111丿
0000.
24.解:
(A+l)x+y+z=A*+3几
x+y+(2+l)z=24+323 » A+l1I |A|=12+11=A2(2+3) 112+1 (1)2H0且几H—3H寸,有唯一解。 0才+才才+T宀 2一一;;+2 22+32加+3兄 (兄+2)(几3+兄2)/^+丸彳] -F+32一,+3兄一 (2+2)(A4+23)23+22 /、X J" r-r y =q 1 ,丿 +c2 0 ■-2 1 1 o' j 0 -1 o' 1 -2 1 0 〜 0 1 -1 0 1 1 -2 0_ 0 0 0 0. (Ab)~ /\ X y =c 1 丄 二、证明题 1. 证明: 只需要证明AX=0与屮AX=0同解即可。 显然,AX=o的解是AUx=o的解, ^A'ax=0,贝\\XrCA'AX)=(AX)'AX=0,AX=0因此ASX=0的解是AX=0的解 /.AX=0与A1AX=0同解 ・・・RiA1A)=R(A)2•证明: 对分块矩阵作初等变换,得 'A O' 'A B' 'A+B B' 0 B .0 B B B 注意到4+3是分块矩阵的子块, 而子块的秩不会大于该矩阵的秩, 所以: r(A+B) ;=心)+心) 3•证明: 设r(A)=r,r(B)=t.则存在可逆矩阵只Q、使得 PAQ= 故r(AB)=r(PAB)=r PAB=PA(QQ~l)B=(PAQ)Q“B= E o" c= E o' 其中c= 0 0 0 0_ .0. C2 则,上式为 =r(C,)>r(C)-(5-r)=r(c)+r-s=r(B)+r(A)-5 即,r(AB)>r(B)+r(A)-s 4. 证明: 由上题可知,r(AB)>r(A)+r(B)-n,而=贝b(AB)=O,故有: 0>r(A)+r(B)-n,即r(A)+r(B) 注意到r(A+E)=r(E+A).r(A-E)=r(E一A), 故要证r(A+E)+r(A-E)=r(E+A)+r{E-A)=n 只需证明不等式: r(A+E)+r(A一E)=r(E+A)+r(E-A) 同时成立即可。 证明: 由A2=E,可得A2-E=0,即(A-E)(A+E)=O,由上题结果可知, r(A+E)+r(A-E) r(A+E)+r(A-E)=r(E+4)+r(E一A)>r(E+A+E-A)=r(2E)=n因此有r(A+£)+r(A一E)=n
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- 关 键 词:
- 内蒙古 科技大学 线性代数 答案 第三 习题 矩阵 初等 变换 线性方程组