41 第2课时 数列的递推公式及前n项和.docx
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41第2课时数列的递推公式及前n项和
第2课时 数列的递推公式及前n项和
考点
学习目标
核心素养
数列的递推公式
理解数列递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项
逻辑推理、数学运算
数列的前n项和及其应用
理解数列{an}前n项和的含义,会用an与Sn的关系求通项an
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P6~P7的内容,并思考下列问题:
1.什么叫数列的递推公式?
2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项?
3.如何求数列{an}的前n项和?
4.什么叫数列的前n项和公式?
5.数列{an}的通项an与前n项和Sn有什么关系?
6.如何利用Sn求an?
1.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
■名师点拨
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何一项和所需的项.
2.数列{an}的前n项和
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
3.数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.an=
■名师点拨
若已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an时,则需利用an与Sn之间的关系式an=在这里,应注意an=Sn-Sn-1不是对一切正整数n都成立,而是局限于n≥2的一切正整数n恒成立.因为当n=1时,Sn-Sn-1无意义.这样,分n=1与n≥2两种情况分别进行计算后,再验证两种情形可否用统一的式子表示.若不能,就用分段的形式表示.
利用前n项和Sn求an时,容易把a1=S1丢掉,而直接写成an=Sn-Sn-1.有时a1=S1不一定符合an=Sn-Sn-1的形式.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)递推公式也是表示数列的一种方法.( )
(2)所有数列都有递推公式.( )
(3)仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)×
2.符合递推关系式an=an-1的数列是( )
A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,…
C.,2,,2,…D.0,,2,2,…
答案:
B
3.已知数列{an}的首项a1=1且an+1=+1,则这个数列的第4项是( )
A.B.
C.D.6
答案:
B
4.在数列{an}中,若an+1-an-n=0,则a2020-a2019=________.
解析:
由an+1-an=n,得a2020-a2019=2019.
答案:
2019
探究点1 根据图形特征写通项公式
图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:
第n个图形中,火柴棒的根数为( )
A.3n-1 B.3n
C.3n+1D.3(n+1)
【解析】 通过观察题图发现,第1个图形中,火柴棒有4根;第2个图形中,火柴棒有4+3根;第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;….可以发现,从第二项起,每一项与前一项的差都等于3,即a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,an-an-1=3(n≥2).把上面的式子累加,则可得第n个图形中,火柴棒的根数为an=4+3(n-1)=3n+1.
【答案】 C
根据图形特征写出数列通项公式的3个步骤
(1)观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化.
(2)把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律.
(3)归纳猜想出通项公式.
根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,可以得出第n个图形中有________个点.
解析:
观察题图,5个图形中点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
答案:
n2-n+1
探究点2 由递推公式求数列的项
(1)已知数列{an}的首项a1=1且满足an+1=an+,则此数列的第3项是( )
A.1 B.
C.D.
(2)已知数列{an}满足an+1=1-且a1=2,则a2020的值为( )
A.B.-1
C.2D.1
【解析】
(1)a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+=.
(2)由an+1=1-及a1=2,得a2=,a3=-1,a4=2,…,可发现数列{an}是周期为3的周期数列:
2,,-1,2,,-1,….而2020=673×3+1,故a2020=a1=2.
【答案】
(1)C
(2)C
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
[注意] 由递推公式写出数列的项时,易忽视数列的周期的判断,导致陷入思维误区.
1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( )
A.an+1=an+n(n∈N*)
B.an=an-1+n(n∈N*,n≥2)
C.an+1=an+(n+1)(n∈N*,n≥2)
D.an=an-1+(n-1)(n∈N*,n≥2)
解析:
选B.把数列的前5项代入验证,知an=an-1+n(n∈N*,n≥2)适合.
2.已知在数列{an}中,a1=1,an+1=an.
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)猜想数列{an}的通项公式;
(3)画出数列{an}的图象.
解:
(1)a1=1,a2=×1=,
a3=×=,
a4=×=,
a5=×=.
(2)猜想:
an=.
(3)图象如图所示:
探究点3 由数列的递推公式求通项公式
在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( )
A.2+lnn B.2+(n-1)lnn
C.2+nlnnD.1+n+lnn
【解析】 方法一(归纳法):
数列的前5项分别为
a1=2,a2=2+ln=2+ln2,
a3=(2+ln2)+ln=2+ln3,
a4=(2+ln3)+ln=2+ln4,
a5=(2+ln4)+ln=2+ln5,
由此可得数列的一个通项公式为an=2+lnn.
方法二(迭代法):
a2=a1+ln,a3=a2+ln(1+),…,an=an-1+ln(n≥2),
则an=a1+ln=2+lnn(n≥2).
又a1=2=2+ln1,所以an=2+lnn.
方法三(累加法):
an+1-an=ln=ln(1+n)-lnn,
a1=2,
a2-a1=ln2,
a3-a2=ln3-ln2,
a4-a3=ln4-ln3,
…
an-an-1=lnn-ln(n-1)(n≥2),
以上各式相加得
an=2+ln2+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)].
所以an=2+lnn(n≥2).
因为a1=2也适合上式,
所以an=2+lnn.
【答案】 A
若将本例中“a1=2,an+1=an+ln”改为“a1=1,an=n(an+1-an)”,求an.
解:
方法一(累乘法):
因为an=n(an+1-an),
即=,
所以=,=,=,…,=(n≥2).
以上各式两边分别相乘,得=×××…×=n.
所以an=n(n≥2).
又因为a1=1也适合上式,所以an=n.
方法二(迭代法):
由=(n≥2)知,=,=,=,…,
所以an=a1××××…××=1××××…××=n.
又因为a1=1也适合上式,所以an=n.
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:
根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法:
递推公式对应的有以下几类:
①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
[注意] 已知数列递推公式求其通项公式的问题未必总可以使用累加法或累乘法求解,只有递推公式表示的是数列相邻两项的差或商时才可以使用.不排除由其他类型的递推公式求通项公式.
1.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+(n≥2),求an.
解:
因为an=an-1+(n≥2),
所以an-an-1==-.
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1
=-+1.
又因为a1=1符合上式,
所以an=-+1.
2.已知数列{an}满足a1=1,lnan-lnan-1=1(n≥2),求an.
解:
因为lnan-lnan-1=1,
所以ln=1,
即=e.
所以an=··…··a1
=e·e·…·e,\s\up6(,(n-1)个))·1
=en-1.
又因为a1=1符合上式,
所以an=en-1.
探究点4 利用an与Sn的关系求an
已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式an.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n+b.
【解】
(1)a1=S1=2-3=-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
因为a1也适合此等式,
所以an=4n-5.
(2)a1=S1=3+b.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
当b=-1时,a1适合此等式;
当b≠-1时,a1不适合此等式.
所以当b=-1时,an=2·3n-1.
当b≠-1时,an=
已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写.如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
解:
(1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)]
=(-1)n+1·(2n-1),
又a1也适合此式,
所以an=(-1)n+1·(2n-1).
(2)因为当n=1时,
a1=S1=6;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2 .
由于a1不适合此式,
所以an=
1.在数列{an}中,a1=,an=(-1)n·2an-1(n≥2),则a5=( )
A.- B.
C.-D.
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