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微积分总结下册
微积分总结(下册)
微积分总结
chapter8多元函数微分学
多元函数的极限
先看极限是否存在)。
如果存在,能先求的先求,能用等价无穷小替换的就替换,最后考虑夹逼准则。
偏导数
点导数定义
fx(x,y)=limDx?
0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dxfx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)Dx
fxx(x0,y0)=lim例:
求
Dx?
0f(x,y)=xy,fx(0,0),就是求分段函数的点偏导数
f(x,y)在(x0,y0)连续,但偏导数不一定存在
全微分
函数可微,则偏导数必存在
?
z?
zDz=Dx+Dy+o(r)?
x?
y?
z?
zdz=dx+dy?
x?
y
例:
对于某一点处的全微分,也可能要用到点导数。
多元复合函数求导链式求导法则
z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))?
z?
f?
u?
f?
v=+?
x?
u?
x?
v?
x
链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导,乘以中间变量对自变量求偏导。
而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变。
小心:
中间变量要带入,例:
这里的u,v要带入,并且z是具体的函数,所以在对中间变量求偏导数时,偏导数可以求出来
隐函数求偏导
全微分性质的不变性
例:
①用全微分形式的不变性
两边同时取全微分,相当于为中间变量,求出全微分后,直接出偏导
②想象z=z(x,y)即z是复合函数,两边对x,y求导也能的出来
隐函数求导公式一个方程
dyFxF(x,y)=0=>=-dxFy
Fy?
zFx?
zF(x,y,z)=0=>=-,=-?
xFz?
yFz
分母上的做函数,分子上的做一个自变量,对分子上的求偏导如:
若求偏x,那就把方程看成z=z(x,y)对z求导。
注意,x,yy独立,然而z对x,y求导不是0
方程组
F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
?
u观察方程组,4个变量,两个等式,那么说有两个自变量。
让求?
y,就是把方程组看成u=u(x,y),v=v(x,y),上下对y求导。
空间曲线的几何应用空间曲线的切线与法平面
{x't,y't,z't}特殊地,{1,y'x,z'x}
无论方程如何给出,弄出对x或对t的导数十分关键。
注意,在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入
曲面的切平面与法线
F(x,y,z)=0=>{Fx,Fy,Fz},特殊地
z=f(x,y)=>{fx,fy,-1}
方向导数与梯度
?
z?
z?
z=cosa+cosb?
l?
x?
y即梯度与所给方向l的方向向量的点
对于用参数方程表示的区域的二重积分
先设y对于x的函数为y(x),把二重积分用直角坐标表示出来。
把二重积分化为定积分后,再用二重积分换元法,换成t,记住,换元必换限。
转动惯量
三重积分
解三重积分考虑几个问题:
直角坐标、柱面坐标、球坐标?
通过积分区域和被积函数选择直角坐标:
Step1:
先一后二还是先二后一?
先二后一:
一般情况下当被积函数只有一个变量,积分采用先二后一。
含谁,谁就作为“一”。
然后即可解出。
对于先一后二,进入下一步。
Step2:
对称性有没有?
看被积函数整体有没有,或者整理后某一项有没有,如:
2(x+y+z)dxdydzòòòD,打开后如果被积区域是关于yoz面对称,那么含x的交叉
项就为0.
记住,如果积分变得复杂,那么可能是刚开始没有考虑对称性。
被积函数只要出现了加减法,就对每一个部分考虑对称性。
Step3:
选择一个投影面,最好这个投影面上的每一点引出这个面的垂线与区域边界面相交不多于两点。
Step4:
画出投影面直角坐标:
画出xoy或yoz或xoz投影,在确定另一个变量的范围。
另一个变量如果范围在投影区域内不相同,那么要把投影面分片柱面坐标:
dV=rdrdqdz
先dq,dq后q定下来了,看r的范围,如果对于不同的有不同的值,那么就要把q分段。
对于其他变量也是,d了它,它就定了。
r:
投影面上点距坐标原点的距离
球坐标:
r:
空间上的点距坐标原点距离
dV=r2sinjdrdjdq
与柱坐标相同,球坐标先dq,再dj,最后dr,注意,如果对于每个前面的变量,后面的变量的范围不同,就需要分段
chapter10曲线积分和曲面积分
记住,曲线积分,关键是找曲线的参数方程。
——方法论
尤其是当曲线两个三元方程组甚至三个四元方程组给出时,除了要想通过其中一个方程把积分表达式化繁为简以外,还要想到用参数方程。
第一类曲线积分
求曲线弧段的质量,求准线为曲线的柱面的面积f(x,y)为曲线的线密度
一代二定限,上界一定大于下界
所谓代,可以全换成x,可以全换成y,可以曲线的直角坐标方程化为以t为自变量的参数方程,可以在一般式中带入一个方程。
一代二定限三ds
第二类曲线积分
基本计算法:
一代,二定向,三定限
两类曲线积分也有关系,如果曲线与的每一点的有向曲线元为定值或者特别好算,就可以直接把第二类曲线积分化为第一类曲线积分。
格林公式
格林公式沟通了封闭曲线的第二类曲线积分与二重积分前提:
封闭的在坐标平面上的曲线
用格林公式时,必保证P,Q有定义,否则要扣除无定义的点。
以此为考点很容易出分类讨论,此类问题中,所给曲线一般不固定。
如:
,就要讨论原点在区域内的情
况。
应用格林公式还能计算平面的面积
第二类曲线积分与路径无关的条件:
G为但连通区域,函数P、Q在G内有一阶连续偏导数。
?
uP(x,y)=?
x?
uQ(x,y)=?
y
又因为曲线积分与路径无关,所以求u的最简单方法就是选取一条路径,求曲线积分的值),求出来的原函数要+C
第一类曲面积分
一代,二投,三dS
第二类曲面积分
曲面的侧:
非封闭曲面向坐标轴正向的一面为正侧。
如:
上正下负,正负在曲面积分被化为二重积分时取。
注意,如果在这里认为取正负号,那么在算法向量时,z的系数一定为-1
第二类曲面积分的物理意义是以被积区域为曲面的流量。
P,Q,R为流速场向量。
两类曲面积分之间的关系
此后,dS可以只用dxdy或dydz或dxdz表示,于是把混合型的曲面积分化成了单一型。
高斯公式通量与散度
这里暗取了曲面的外侧,如果取内侧,需要加负号
散度:
某一点的散度是一个数
称为向量场向正向穿过S的通量
斯托克斯公式、环流量与旋度
封闭空间曲线的曲线积分与曲面的曲面积分之间的关系
等式左右两边就表示向量场(P,Q,R)沿曲线C所取方向的环流量
旋度是一个向量
几种曲面积分的解题方法
第一类曲面积分
第一类曲面积分就是再求一个以密度为被积函数的曲面的质量,那么,解法如下:
①如果被积函数是两种形式相加,看其中一个,有可能它是0.②把曲面看成是以其中两个变量为自变量,另外一个是因变量的函数。
如果不能看成函数或者这个函数很复杂,再考虑对称性,只取这个曲面的一个重复单元,变成函数。
③求面积元素带入,化为二重积分,完成。
第二类曲面积分
①如果曲面封闭或者接近封闭,直接进入下一步。
否则进入第五步。
②曲面是否封闭?
如果不封闭要添加辅助曲面③用高斯公式,小心符号④还没有完再算辅助曲面的曲面积分相加减完成。
⑤用对称性或可加性,把曲面变成函数
⑥如果看成z=z(x,y),那么要投影并带入z,而且把组合形式化成dxdy的形式,此时,再看符号。
chapter11无穷级数
常数项级数
几个常见的常数项级数
①等比级数
¥?
qn=n=0¥1(q②p级数
11111=1++++…++…?
np2p3p4ppnn=1
p1收敛
级数收敛性质
?
u?
vnn=1¥n=1¥¥n收敛,则n=1?
ku¥n+lvn收敛
?
un=1n收敛,则
n=k+1?
u¥n收敛,且逆亦真
没括号收敛,则加括号收敛;加括号发散,则没括号发散收敛必要条件=>n?
¥
limun=0(反过来不对,调和级数一般项为0,但发散)
常数项级数审敛法
操作方法,直到判断完成:
①是正项级数吗?
如果是交错级数或任意项级数可不可以加一个绝对值来证明绝对值收敛?
②可以拆分吗?
如果一般项两项之和相加形成,且预期两项都可以使级数发散或收敛,把他们拆开。
审敛法一般审单项式对于每一个单项式,要进行以下操作:
③收敛级数的必要条件④比值审敛法,根值审敛法
有阶乘的,有不带多余项的指数项的都好用
如:
根值适合有指数项的一般项⑤极限审敛法
乘以n,乘以n的p次方,对于:
这种形式非常有用⑥放缩、比较审敛法比较审敛法的极限形式
考虑多项式中当n趋于无穷时的主要项,与主要项做比值
如:
1n与3做比值
比较审敛法放缩:
在这里,把n换成与n相关的结果大于等于0的多项式,依然要会用放缩技巧,想证明发散就往小了放:
sinnln(n+1)£n£e-1
nn(n+k)>n,(k>0)k如果从某项之后,这个不等式才成立,那么扔掉前面那些项
⑦继续进入第③步
正项级数
正项级数收敛?
部分和数列有界
级数收敛的必要条件——
limun=0n?
¥
比较审敛法
放缩级数,大的收敛,小的收敛;小的发散,大的发散
比较审敛法极限形式:
极限审敛法
比值审敛法
根值审敛法
、
交错级数
交错级数是指一正一负,如果一般项并不单调减小,而是在某个n之后单调减小,那么把前面的那些项扔掉
任意项级数
同样,若去掉绝对值发散,加上绝对值发散
加上绝对值后看敛散性,可以用正项级数审敛法
n-1n(-1)u或(-1)un?
?
nn=1n=1¥¥(un>0)
函数项级数
看发散域
xnlim>1n?
¥xn-1求发散域
un(x)lim边界处带入x,转化为常数项级数探讨收敛性
幂级数
注意幂级数的这几项特征:
首先,an部分不能与x有关,还有(x-x0)处的幂是n次幂,如果不是,需要把这个级数还原转化。
解决幂级数收敛半径R
1.后项与前项系数之比的绝对值,或一般项系数的开n次方,一定要取倒数
un(x)lim径。
等于1处要特殊判断
幂级数求和可拆开,也可逐项求导求积分
泰勒级数
泰勒级数的一般表示:
f(x)=?
n=0¥fn(x)(x-x0)n!
展开式(x0=0)和式极限xn?
n!
n=0¥收敛区间x2n+1?
(-1)(2n+1)!
n=0¥nx?
(-¥,+¥)2n+1x3x5xarctanx=x-+-...+(-1)n+...352n+1n+1x2x3nxln(1+x)=x-+-...+(-1)+...23n+1x2n?
(-1)(2n)!
n=0¥nx?
(-¥,+¥)?
n=0¥¥x2n+1(-1)2n+1nnx?
[-1,1]xn+1?
(-1)n+1n=01+?
n=1¥x?
(-1,1]xna(a-1)*...*(a-n+1)n!
是否能泰勒展开:
a£-1,x?
(-1,1)-11,x?
[-1,1]
傅里叶级数
傅里叶级数使我们用连续函数近似代替一个周期函数
a0¥f(x)=+?
(ancosnx+bnsinnx)2n=1
狄利克雷收敛定理
微积分总结
chapter8多元函数微分学
多元函数的极限
先看极限是否存在)。
如果存在,能先求的先求,能用等价无穷小替换的就替换,最后考虑夹逼准则。
偏导数
点导数定义
fx(x,y)=limDx?
0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dxfx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)Dx
fxx(x0,y0)=lim例:
求
Dx?
0f(x,y)=xy,fx(0,0),就是求分段函数的点偏导数
f(x,y)在(x0,y0)连续,但偏导数不一定存在
全微分
函数可微,则偏导数必存在
?
z?
zDz=Dx+Dy+o(r)?
x?
y?
z?
zdz=dx+dy?
x?
y
例:
对于某一点处的全微分,也可能要用到点导数。
多元复合函数求导链式求导法则
z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))?
z?
f?
u?
f?
v=+?
x?
u?
x?
v?
x
链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导,乘以中间变量对自变量求偏导。
而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变。
小心:
中间变量要带入,例:
这里的u,v要带入,并且z是具体的函数,所以在对中间变量求偏导数时,偏导数可以求出来
隐函数求偏导
全微分性质的不变性
例:
①用全微分形式的不变性
两边同时取全微分,相当于为中间变量,求出全微分后,直接出偏导
②想象z=z(x,y)即z是复合函数,两边对x,y求导也能的出来
隐函数求导公式一个方程
dyFxF(x,y)=0=>=-dxFy
Fy?
zFx?
zF(x,y,z)=0=>=-,=-?
xFz?
yFz
分母上的做函数,分子上的做一个自变量,对分子上的求偏导如:
若求偏x,那就把方程看成z=z(x,y)对z求导。
注意,x,yy独立,然而z对x,y求导不是0
方程组
F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
?
u观察方程组,4个变量,两个等式,那么说有两个自变量。
让求?
y,就是把方程组看成u=u(x,y),v=v(x,y),上下对y求导。
空间曲线的几何应用空间曲线的切线与法平面
{x't,y't,z't}特殊地,{1,y'x,z'x}
无论方程如何给出,弄出对x或对t的导数十分关键。
注意,在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入
曲面的切平面与法线
F(x,y,z)=0=>{Fx,Fy,Fz},特殊地
z=f(x,y)=>{fx,fy,-1}
方向导数与梯度
?
z?
z?
z=cosa+cosb?
l?
x?
y即梯度与所给方向l的方向向量的点
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