初中几何知识归纳.docx

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初中数学课本几何部分知识点归纳

第一部分图形认识初步

图形认识初步

一、图形认识初步

1．几何图形：

把从实物中抽象出来的各种图形的统称。

2．平面图形：

有些几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形是平面图形。

3．立体图形：

有些几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形。

4．展开图：

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

5．点，线，面，体

①图形是由点，线，面构成的。

②线与线相交得点，面与面相交得线。

③点动成线，线动成面，面动成体。

二、直线、线段、射线

1．线段：

线段有两个端点。

2．射线：

将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。

3．直线：

将线段的两端无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

4．两点确定一条直线：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

5．相交：

两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交。

6．两条直线相交有一个公共点，这个公共点叫交点。

7．中点：

M点把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。

8．线段的性质：

两点的所有连线中，线段最短。

（两点之间，线段最短）

9．距离：

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

三、角

1．角：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

2．角的度量单位：

度、分、秒。

3．角的度量与表示：

①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的度、分、秒是60进制。

4．角的比较：

①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②平角和周角：

一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。

始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。

平角等于180度。

周角等于360度。

直角等于90度。

③工具：

量角器、三角尺、经纬仪。

5．平分线：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

①性质：

角平分线上的点到角的两边距离相等。

②逆定理：

在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。

（③三角形的内心 ：

利用角的平分线的性质定理可以导出：

三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

）

6．余角和补角

①余角：

两个角的和等于90度，这两个角互为余角。

即其中每一个是另一个角的余角。

②补角：

两个角的和等于180度，这两个角互为补角。

即其中一个是另一个角的补角。

③补角的性质：

等角的补角相等

④余角的性质：

等角的余角相等

　相交线与平行线

一、相交线两条直线相交，形成4个角。

1．邻补角：

两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。

具有这种关系的两个角，互为邻补角。

如：

∠1、∠2。

2．对顶角：

两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。

如：

∠1、∠3。

3．对顶角相等。

二、垂线

1．垂直：

如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2．垂线：

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3．垂足：

两条垂线的交点叫垂足。

4．垂线特点：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截形成8个角。

）

1．同位角：

在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。

如：

∠1和∠5。

2．内错角：

在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

如：

∠3和∠5。

3．同旁内角：

在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，

具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。

如：

∠3和∠6。

四、平行线

（一）平行线

1.平行：

两条直线不相交。

互相平行的两条直线，互为平行线。

a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

） 

2．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论：

①平行于同一直线的两条直线互相平行。

②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（二）平行线的判定：

1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

（三）平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。

以上性质可简单说成：

1.两条直线平行，同位角相等。

2.两条直线平行，内错角相等。

3.两条直线平行，同旁内角互补。

第二部分三角形

三角形

知识点1  三角形的边、角关系 

①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°； 

⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2  三角形的主要线段和外心、内心 

①三角形的角平分线、中线、高； 

②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； 

④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3  等腰三角形 等腰三角形的识别：

①有两边相等的三角形是等腰三角形； 

②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

 等腰三角形的性质：

 ①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。

知识点4  直角三角形 直角三角形的识别：

①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：

如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

 直角三角形的性质：

 ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

知识点5  全等三角形 定义、判定、性质

一、与三角形有关的线段

（一）三角形

1.三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

记作：

△ABC

2．三角形三边的关系：

两边之和大于第三边。

三角形的两边的差一定小于第三边。

（二）三角形的高、中线与角平分线

1.高：

从三角形的顶点向它所对的边做垂线，所得的线段叫三角形这个边上的高。

2．中线：

连接项点和它所对的边的中点，所得的线段叫三角形这个边上的中线。

3．角平分线：

三角形一个顶角的平分线与它所对的边相交，所得的线段叫三角形的角平分线。

4．三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

（三）　三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

二、与三角形有关的角

1．内角：

三角形的内角和等于180。

。

2．外角：

三角形一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角。

①三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、多边形及其内角和

1.多边形：

由有一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形 

2．多边形内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，

3．外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

4．对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．凸多边形：

画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形。

6．正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7．如果说四边形的一对角互补，那么另一组角也互补。

8．多边形的内角和：

n边形的内角和等于180°×（n-2） ；

9．多边形的外角和等于360。

（n边形的边=（内角和÷180°）+2 ；过n边形一个顶点有（n-3）条对角线 ；n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形）

等腰三角形

1．等腰三角形：

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

（相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

）

2．等腰三角形的性质 

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3．判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简称“等角对等边”）。

4．等边三角形 ：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

5．等边三角形的性质 ：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

6．判定 ：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

直角三角行

1.勾股定理：

命题1:

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理的逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　全等三角形

一、全等形 

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形 

１．全等三角形：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

 ）

 ２．全等三角形的符号表示、读法 ：

△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

（两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角）。

  ３．全等三角形的性质 ：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

二、三角形全等的判定：

1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ＳＳＳ”。

2．两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”。

3．两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ＡＳＡ”。

4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ＡＡＳ”。

5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”。

（ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

）

三、相似三角形

1．性质：

平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例,且夹角相等；④相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中