概率论与数理统计课后答案第4章.docx
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概率论与数理统计课后答案第4章
概率论与数理统计课后答案第
第4章大数定律与中心极限定理
4.1设D(x)为退化分布:
讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数?
11卄亠
(1){D(xn)};
(2){D(x)};(3){D(x0},其中n=1,2;
nn
解:
(1)
(2)不是;(3)是。
4.2设分布函数Fn(x)如下定义:
‘0x兰-n
l/、x+n
Fn(x)=」一ncx兰n
2n
1x>n
问F(x)=limFn(x)是分布函数吗?
n_)pC
解:
不是。
4.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x),且F(x)为连续函数,则{Fn(x)}在(」:
,:
:
)上一致收敛于F(x)。
证:
对任意的;.0,取M充分大,使有
1—F(x):
:
;,—x_M;F(x):
:
;,—x^-M
对上述取定的M,因为F(x)在[-M,M]上一致连续,故可取它的k分点:
捲--M:
:
X2:
…Xk4:
:
Xk=M,使有F(Xj.J-F(xJ:
:
;,1一i:
:
k,再令
x°--:
:
Xk1=:
:
,则有
F(XiJ—FW):
:
:
;,0G:
:
k1
(1)
这时存在N,使得当n•N时有
|Fn(Xi)—F(Xi)|:
:
;,0叮牛1
(2)
成立,对任意的X•(-:
:
:
:
),必存在某个i(0_i一k),使得x・(Xi,Xi1),由
(2)
知当n•N时有
Fn(X)—Fn(Xii):
:
:
F(Xj.J;
(3)
Fn(X)_Fn(Xi).F(Xi)-;
(4)由
(1),(3),(4)可得
Fn(x)-F(x):
:
:
F(Xi1)-F(x),F(Xii)-F(Xi);:
:
:
2;,
Fn(x)-F(x)F(Xi)-F(x)-;_F(Xi)-F(Xi.1)-;-2;,
即有Fn(x)-F(x)名成立,结论得证
4.5设随机变量序列「鳥同时依概率收敛于随机变量•与,证明这时必有
P
(二)二1。
即对任意的名>0有卩护」岸门=0成立,于是有
_n
从而P「二)=1成立,结论得证
4.6设随机变量序列1分别依概率收敛于随机变量■与,证明:
(1)…P厂•;
(2);n。
证:
(1)因为住z—鳥一—王名v[怡一鳥色上LR—X王?
F故
nnLV2八n2丿」
((z\
0兰卩^+耳一九一匕He)兰P王一|+P.H—S兰―|T0,nT旳
<2丿I2丿
即;■nP厂成立。
P0J-巴3上]<6成立这时有
IM丿
P%+彳>M)兰P雋n—q+|2勺>M)
=P娼-勺+|2耳>M「护n—勺小9
P{(|n-|•|2」M)-(|n-|-1)}
空P(|2|•M—1)P(|n一|一1):
:
:
2
从而有
p(占乂2匸3)=P(|―剳占+心)
=P{(|n-||n|一;厂(|;卩M)}
-P{(|n-||n*|-;厂(|n*|M)}
乞P(|n一|)P(|n」M):
:
3・
M
pp
由J的任意性知;2>2,同理可证2>2,由前述
(1)有
P
2nntn*n)j2V*)2一-2
故nn,结论成立。
结论成立。
4.9证明随机变量序列依概率收敛于随机变量•的充要条件为:
P^n—巴
n-
充分大的N使得当n—N时有P(A;):
:
:
;,于是有
-P(A;);:
:
2,
a,bn“b,证
4.10设随机变量;按分布收敛于随机变量•,又数列an、
明annbn也按分布收敛于ab。
证:
先证明a'n按分布收敛于a,。
a=0时为显然,不妨设
的修改为显然),若a,,a;,n的分布函数分别记作Fa-,r,Fan-
与Fn〔],则Fax,当X是Fa〈)的连续点时,-是F£)的连续点,于
2丿〜a-
是有
*X、''X1
limFa)n(x)=limFn—|=lim巳一尸F^(x)
+\a)la丿_
pp
成立,结论为真。
由4.12知n(an-a)—0,再由4.6
(1)知n(an-a)-bn—b,
于是由前述结论及4.11知nan■b^an■(a^a)nbn按分布收敛于a:
亠b,
结论得证。
4.11设随机变量序列{;}按分布收敛于随机变量,随机变量序列{n}依概率
收敛于常数a,证明;■n按分布收敛于:
a。
证:
记',n的分布函数分别为F(x),Fn(x),则a的分布函数为F(x_a),设x
是F(x-a)的连续点,则对任给的;•0,存在0,使当0:
;:
:
:
时有
|F(x-a_;)-F(x-a)|:
:
:
、•
(1)
现任取0「;2八•,使得x-a;1,x-a-;2都是F()的连续点,这时存在N,
当n一弘时有
1F(X-a■;1)-Fn(X-a■;1)卜:
;
(2)
|F(X—a-;2)-Fn(x—a-;2)卜:
;
(3)
对取定的;1,存在N2,当n_N2时有
P(|n—a|_;1)—
(4)
于是当n>max:
N^N?
)时,由
(1),
(2),(4)式有
P(nn-a):
:
x-a)
二P{(nn—a:
:
X-a厂(In-a|:
:
;1)}P{(nn-a:
:
x-a厂(|n-a|-=)}
乞P(n:
:
x—a;1)P(|n—a|—1):
F(x—a)3;⑸
又因为
P(n:
:
X—a—;2)=P{[nn-(n—a):
:
X—;2]一(|n-&卜:
;2)}P{(n:
X-a一;2厂(|n-a|_;2)}
于是由
(1),(3),(4)式有
P(nn-a:
:
X-a)_P{[n.-(n-司:
:
X-;2]一(|n虫卜:
;2)}
-P(n:
:
x-a-q)-P(|n-a|匚2_F(x-a)-3;
(6)由(5),(6)两式可得
|P(n•n-a:
:
:
X-a)-F(x-a)卜:
3;
由;的任意性即知;■n按分布收敛于:
a,结论得证。
4.12设随机变量序列{n}按分布收敛于•,随机变量序列{n}依概率收敛于0,证明
P
nn“0.
证:
记',n的分布函数分别为F(X),Fn(X),对任给的;・0,取a0,b0足够大,使-a,b是F(x)的连续点且
1一F(b):
:
:
;,F(—a):
:
:
;
W
因为Fn(x)>F(x),故存在N,当n一2时有
1-Fn(b):
:
2;,Fn(-a):
:
2;
P
令M=max(a,b),因为n—;0,故存在N2,当n_N2时有
P(|n|厂:
;
M
而
P(|nn|;)=P{(|nn|;厂[(F乞n舟b厂(|n|)]}
M
-P{(|nn|•;厂[(F空n小)_•(|n|)]}=h「2
M
其中打二。
,当n一max;N,,N2)时有
P{(|nn|;厂(P乞n")}岂P{^^n
=P{(n—a)-(n-b)}=Fn(-a)[1-Fn(b)]:
:
4;
P
因而P(lnnL=I2<5;,由;的任意性知\n>0,结论为真。
4.13设随机变量;服从柯西分布,其密度函数为
Pn(X)=
n
2~2~
二(1nx)
P
证明nr0,Hr:
:
。
证:
对任意的;.0,有
n;1—
-;二(1nx)
1,n“:
:
j;二(1-t2)dt
4.14设{需为一列独立同分布随机变量,其密度函数为
_P
其中「0为常数,令n=max(1,2^',n),证明n》-
证:
对任意的n,0:
:
:
n:
:
:
-为显然,这时有
P(n:
:
x)=0,xE0;p(n:
:
x)=1,x—
对任意的;•0(;:
:
:
:
),有
P(|n一丁;)十(n「一;)=
(二)">0,n
P故n》:
成立,结论得证。
4.15设{;}为一列独立同分布随机变量,其密度函数为
;-(x-a)
e
P(x)匕
0
P
令n二min(1,2,…「n),证明n》a
证:
设i的分布函数为F(x),有
这时有
n
P(n-X)刑P(i_)二口-F(x)]n=e』2),x•a
对任意的;.0,有
P(|n-a|_;)=P(n-a_;)=e』‘一•0,n>:
:
P
故n》a成立,结论得证
4.17设{n}为一列独立同分布随机变量,都服从(0,1)上的均匀分布,若
n1p
n=(l丨k)n,证明n—;C(C为常数),并求出C。
kd:
证:
这时{Inn}也是独立同分布随机变量序列,且
En二0lnxdx二-1
1nP
由辛钦大数定律知{lnn}服从大数定理,即有1、Tni»-1,令f(x)=ex,则
ny
f(x)是直线上的连续函数,由4.8题知
n1UiP
(Hi)n=en』>e‘=c
iA
结论成立。
4.18设{n}为一列独立同分布随机变量,每个随机变量的期望为a,且方差存
在,证明
2nP
—k—a。
n(n1)心
—n
证:
已知E“=a,记D”-,令"=Rjk,则
2n
En2ka二a
n(n+1)心
—
Dn242、k—4
n(n1)心n1
对任给的;
•0,由契贝晓夫不等式有
P(|n—a|_0<4>D0,n>
匚匚n1
p
故n》a,结论得证。
按分布收敛于a。
分布收敛于—(见4.10题的证明),因而由4.11题知
a
弱收敛于N(0,1)分布。
即知n按分布收敛于N(0,1)分布,结论得证。
立。
4.21设随机变量序列{;}按分布收敛于随机变量,又随机变量序列{n}依概
率收敛于常数a(a=0),n=0,则{n
数定律(马尔柯夫大数定律)证:
由契贝晓夫不等式即得。
4.26在贝努里试验中,事件A出现的概率为p,令
S=*
4若在第n次及第n+1次实验中A出现
0,其它
证明{;}服从大数定律。
证:
{n}为同分布随机变量序列,且E•厂E;二P2,因而D•厂P2(1-P2)叮,
又当|i-j|-2时,i与j独立,由4.24知{;}服从大数定律,结论得证。
4.28设{n}为一列独立同分布随机变量,方差存在,又Jan为绝对收敛级数,
n£
令n二n-i,则{ann}服从大数定律。
i4
证:
不妨设En=0。
否则令n=n-E;,并讨论{n}即可。
记E:
-2,又:
:
nninn
c■|an卜:
:
:
。
因为7aii=7ai(7J=kLai),故有
n4i=1i=1kJkTi二k
由4.23知{ann}服从大数定律,结论得证。
4.30设{n}为一列独立同分布随机变量,共同分布为
社21
P(n2)k,k二1,2/
k2
试问{;}是否服从大数定律?
答:
因为En存在,由辛钦大数定律知{n}服从大数定律。
4.31设{\}为一列独立同分布随机变量,共同分布为
产C
P(n=k)22,k=2,3,
klogk
旳1
其中C=(2J)',问{;}是否服从大数定律?
kz2klogk
答:
因为E;存在,由辛钦大数定律知{;}服从大数定律。
4.32如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率,为了有95鸠上的把握保证
所观察到的频率与概率p的差小于P[0,问至少应该做多少次试验?
解:
令
极限定理有
故应取1.np=2,即n=400^,但图钉底部重,尖头轻,由直观判断有P—1,
10卞qp2
因而
q_1,故可取n=400。
p
4.33一本书共有一百万个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为0.0001,
校对时每个排版错误被改正的概率为0.9,求在校对后错误不多于15个的概率。
解:
令
产[1第i个印刷符号被排错且校对后仍错误
厂:
0其它
因为排版与校对是两个独立的工序,因而
p二P(i=1)=0.00010.1=10^,P(j=0)=q=1-p
n
{i}是独立同分布随机变量序列,Ei=p,令n=v1,其中n=106,由中心
im
极限定理有
5
其中b:
、:
1.58,查N(0,1)分布表即可得P(^15):
0.94,即在校对后错误
<10
不多于15个的概率。
4.34在一家保险公司里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年里一个人死亡的概率为0。
006,死亡时家属可向保险公司领得1000元,问:
(1)保险公司亏本的概率多大?
(2)保险公司一年的利润不少于40000元,60000元,80000元的概率各为多大?
解:
保险公司一年的总收入为120000元,这时
(1)若一年中死亡人数-120,则公司亏本;
(2)若一年中死亡人数<80,则利润中死亡人数_40000元;
若一年中死亡人数<60,则利润中死亡人数>60000元;
若一年中死亡人数<40,则利润中死亡人数_80000元;令
声‘1第i个人在一年内死亡
t.=j
i0第i个人在一年内活着
n
则P「i=1)=0.006二P,记n八爲n=10000已足够大,于是由中心极限定理
可得欲求事件的概率为
(1)
同理可求得
(2)
P(n乞80):
0.995(对应的b2.59)
,其中n-6000,据题意即要求:
-使满足
P(n-60):
0.5(对应的b=0)
6
其中良种的比例与
1相差多少?
6
解:
令
t-.
‘1
第i粒为良种
0
第i粒不是良种
P(n_40):
0.005(对应的b--2.59)
4.35有一批种子,其中良种占1,从中任取6000粒,问能以0.99的概率保证
n
则P(i"6,记A*,di
■|1n--
P(\—--\<-)_0.99。
令q=1—p,b=—二,因为n很大,由中心极限定理有n6■npq
fe^dxZ0.99
n1n_np
P(\」_7\兰a)=P(4兰亠=£Mb)
n6npq
由N(0,1)分布表知当b=2.60时即能满足上述不等式,于是知
b—
-」pq1.2510*,即能以0.99的概率保证其中良种的比例与—相差不超
n6
过1.2510*。
4.36若某产品的不合格率为0.005,任取10000件,问不合格品不多于70件的概率等于多少?
解:
令
S第i件为不合格品
-i=J0第i件为合格品
其中n=10000,记b=—:
卩
Jnpq
x2
2dx:
0.998
n
贝Up=P(i=1)=0.005,记q=1_p,n八i,
由中心极限定理有
“叫一np
P(n乞70)=p(—-b)
Jnpq
即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。
4.37某螺丝钉厂的不合格品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95?
解:
令
[1第i只是合格品
”0第i只是不合格品
则p=P(i=1)=0.99,记q=1一p,b二100二np,.,其中n尚待确定,
Jnpqi#
它应满足P(n「00)^0.05,由中心极限定理有
查N(0,1)分布表可取b=-1.65,由此求得n-103,即在一盒中应装103只螺丝
钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。
4.39用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。
证:
设{门1丄丄独立同二项分布,即
P(「=1)=Pn,P(「=0)=qn=1-Pn,1一i_n
n
in的特征函数为(qn-Pneit),记n八•in,n的特征函数记作:
n(t),因为
7
npn》■,故Pn
o(-),qn=1o(-),于是有
•n(t)=(qnPne)=(1匕一0
(1)广
nn
n
nnnn
1it1帀HO
二[1—■(e-1)o(—)]()
nn
>e宀,n>:
:
而e'(ei*)是参数为,的普哇松分布的特征函数,由特征函数的逆极限定理即知定理成立,证毕。
4.40设随机变量I.服从:
---分布,其分布密度为
证:
当〉「:
时,"丁"的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。
Ja
证:
l.的特征函数为\(t)=(1--,易知'的特征函数为
因而有
故limg-.(t)=e2,所以相应的分布函数弱收敛于N(0,1)分布,命题得证。
Ot-jpc“
4.41设{;}为一列独立同分布随机变量,且:
服从(-n,n)上的均匀分布,证明
对{n}成立中心极限定理。
Bn
从而当n_N,“金3,,若k",由此知
即林德贝尔格条件满足,所以对{;}成立中心极限定理,结论得证。
4.42设{;},{n}皆为独立同分布随机变量序列,且{n}与{n}独立,其中
11n
E'n=0,Dn=1;P(n二-1)=_,□=1,2,…,证明:
Sn=-ii的分布函数弱
2灯n7
收敛于正态分布N(0,1)。
证:
这时{;n}仍是独立同分布随机变量序列,易知有
E(nn)7D(nn)二E(nn)2二E;=1
n
由林德贝尔格---勒维中心极限定理知:
「n
iA
态分布N(0,1),结论得证
4.45利用中心极限定理证明:
证:
设{;}是独立同分布随机变量序列,共同分布为'=1的Poisson分布,故
n
En=Dn=1,B:
=為Dk=n,由林德贝尔格---勒维中心极限定理知
k#
n
PCkn)=P
k4
(n
ZG—E二)
<0
由Poisson分布的可加性知
n
k服从参数为n的Poisson分布,因而
k4
所以
nnJnk
P('k小)八—eJk4k=0k!
In
k
kA
n
n_n
:
:
n)e
n!
成立,结论得证。
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