人教版八年级上册数学教案141 整式的乘法7课时.docx
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人教版八年级上册数学教案141整式的乘法7课时
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法(第1课时)
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握同底数幂的乘法法则,并能进行相关计算.
【过程与方法】
经历探索同底数幂的乘法法则的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.
【情感态度与价值观】
在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.
二、重难点目标
【教学重点】
同底数幂的乘法法则.
【教学难点】
同底数幂的乘法法则的推导及应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P95~P96的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.把下列式子化成同底数幂.
(-a)2=a2;(-a)3=-a3;(x-y)2=(y-x)2;(x-y)3=-(y-x)3.
2.根据乘法的意义填空:
(1)52×53=55; 32×34=36;a3·a4=(a·a·a)·(a·a·a·a)=a7;
(2)总结法则:
am·an=am+n(m、n都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(3)推广:
am·an·ap=am+n+p(m、n、p都是正整数).
3.计算:
(1)103×104;
(2)a·a3;(3)
·
2·
3.
解:
(1)=107.
(2)a4. (3)
.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)-a3·(-a)2·(-a)3;
(2)10000×10m×10m+3;
(3)mn+1·mn·m2·m;
(4)(x-y)2·(y-x)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算.
【解答】
(1)原式=-a3·a2·(-a3)=a3·a2·a3=a8.
(2)原式=104×10m×10m+3=104+m+m+3=107+2m.
(3)原式=mn+1+n+2+1=m2n+4.
(4)原式=(y-x)2·(y-x)5=(y-x)7.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用;单个字母或数可以看成指数为1的幂,进行运算时,不能忽略了幂指数1;
(2)底数互为相反数的幂相乘时,先把底数统一,再进行计算.(a-b)n=
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列算式中,结果等于x6的是( A )
A.x2·x2·x2 B.x2+x2+x2
C.x2·x3 D.x4+x2
2.如果32×27=3n,那么n的值为( C )
A.6B.1
C.5D.8
3.若am=3,an=4,则am+n=12.
教师指导:
am+n=am·an=3×4=12.
4.计算:
(1)-a3·a4;
(2)100·10m+1·10m-3;
(3)(-x)4(-x2)(-x)3.
解:
(1)-a7.
(2)102m. (3)x9.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】若82a+3·8b-2=810,求2a+b的值.
【互动探索】根据同底数幂的乘法法则,确定等式的左边的计算结果,再对比化简后的等式,确定a、b之间的关系.
【解答】∵82a+3·8b-2=82a+3+b-2=810,∴2a+3+b-2=10,解得2a+b=9.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,将等式两边化为同底数幂的形式,底数相同,那么指数也相同,由此得出代数式的值.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
请完成本课时对应练习!
14.1.2 幂的乘方(第2课时)
一、基本目标
【知识与技能】
理解幂的乘方法则,并能利用幂的乘方法则进行计算.
【过程与方法】
经历探索幂的乘方法则的过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,培养学生的应用能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生合作交流和探索精神,让学生体会数学的应用价值.
二、重难点目标
【教学重点】
幂的乘方法则.
【教学难点】
幂的乘方法则的推导及应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P96~P97的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.乘方的意义:
32中,底数是3,指数是2,表示2个3相乘;(32)3的意义:
3个32相乘.
(1)根据幂的意义解答:
(32)3=32×32×32(根据幂的意义)
=32+2+2(根据同底数幂的乘法法则)
=32×3.
(am)2=am·am=a2m(根据am·an=am+n).
(am)n=am·am·…·am(幂的意义)
=am+m+…+m(同底数幂相乘的法则)
=amn(乘法的意义).
(2)幂的乘方法则:
(am)n=amn(m、n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
2.计算:
(1)(103)5;
(2)(b3)4; (3)(xn)3; (4)-(x7)7.
解:
(1)1015.
(2)b12. (3)x3n. (4)-x49.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)(-24)3;
(2)(xm-1)2;
(3)[(24)3]3;(4)(-a5)2+(-a2)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算.
【解答】
(1)原式=-212.
(2)原式=x2(m-1)=x2m-2.
(3)原式==24×3×3=236.
(4)原式=a10-a10=0.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)运用幂的乘方法则进行计算时,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.
(2)在幂的乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.(3)幂的乘方的推广:
((am)n)p=amnp(m、n、p都是正整数).
【例2】若92n=38,求n的值.
【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边底数的关系→将等式转化为(32)2n=38→建立方程求n值.
【解答】依题意,得(32)2n=38,即34n=38.
∴4n=8.解得n=2.
【互动总结】(学生总结,老师点评)可将等式两边化成底数或指数相同的数,再比较.
【例3】已知ax=3,ay=4(x、y为整数),求a3x+2y的值.
【互动总结】(学生总结,老师点评)对a3x+2y变形,得a3x·a2y,再利用幂的乘方进行解答.
【解答】a3x+2y=a3x·a2y=(ax)3·(ay)2=33×42=27×16=432.
【互动探索】(引发学生思考)利用amn=(am)n=(an)m,可对式子进行灵活变形,从而使问题得到解决.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.计算(-a3)2的结果是( A )
A.a6B.-a6
C.-a5D.a5
2.下列运算正确的是( B )
A.(x3)2=x5 B.(-x)5=-x5
C.x3·x2=x6 D.3x2+2x3=5x5
3.当n为奇数时,(-a2)n+(-an)2=0.
4.计算:
(1)a2·(-a)2·(-a2)3+a10;
(2)x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2.
解:
(1)0.
(2)3x16.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】请看下面的解题过程:
比较2100与375的大小.
解:
∵2100=(24)25,375=(33)25,而24=16,33=27,16<27,
∴2100<375.
请你根据上面的解题过程,比较3100与560的大小.
【互动探索】仔细阅读材料,确定例子的解题方法是将指数化为相同,比较底数的大小来比较所求两个数的大小.
【解答】∵3100=(35)20,560=(53)20,而35=243,53=125,243>125,
∴35>53,∴3100>560.
【互动总结】(学生总结,老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用,根据题意得到3100=(35)20,560=(53)20是解此题的关键.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
请完成本课时对应练习!
14.1.3 积的乘方(第3课时)
一、基本目标
【知识与技能】
理解积的乘方法则,利用积的乘方进行计算.
【过程与方法】
经历探索积的乘方法则的过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,培养学生的应用能力.
【情感态度与价值观】
培养学生合作交流和探索精神,让学生体会数学的应用价值.
二、重难点目标
【教学重点】
积的乘方法则.
【教学难点】
积的乘方法则的推导及应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P97~P98的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.下列各式正确的是( D )
A.(a5)3=a8 B.a2·a3=a6
C.x2+x3=x5 D.a2·a2=a4
2.
(1)填空:
(2×5)3=103,23×53=103;(-2×5)3=-103,(-2)3×53=-103.
(2)积的乘方法则:
(ab)n=anbn(n是正整数),
即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
推广:
(abc)n=anbncn.(n是正整数)
3.计算:
(1)(3a2)n;
(2)(-2xy)4; (3)(a2)3·(a3)2.
解:
(1)3na2n.
(2)16x4y4. (3)a12.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算
(1)(x4·y2)3;
(2)(anb3n)2+(a2b6)n;
(3)[(3a2)3+(3a3)2]2;
(4)
2017×
2018;
(5)0.12515×(23)15.
【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序,再根据积的乘方法则计算.
【解答】
(1)原式=x12y6.
(2)原式=a2nb6n+a2nb6n=2a2nb6n.
(3)原式=(27a6+9a6)2=(36a6)2=1296a12.
(4)原式=
2017×
=1×
=
.
(5)原式=
15×(8)15=
15=1.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)~(3)先按乘方再乘除后加减的运算顺序;(4)(5)反用(ab)n=anbn可使计算简便.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.(x2y)2的结果是( B )
A.x6yB.x4y2
C.x5yD.x5y2
2.(am)m·(am)2不等于( C )
A.(am+2)m B.(am·a2)m
C.am2+m2 D.(am)3·(am-1)m
3.am=2,an=3,a2m+3n=108.
4.计算:
(1)-4xy2·
2·(-2x2)3;
(2)(-a3b6)2+(-a2b4)3; (3)
2017×
2018.
解:
(1)8x9y6.
(2)0. (3)
.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】太阳可以近似地看作是球体,如果用V、R分别代表球的体积和半径,那么V=
πR3,太阳的半径约为6×105千米,它的体积大约是多少立方千米?
【互动探索】已知球的体积公式和其半径,代入数据直接计算.
【解答】∵R=6×105千米,
∴V=
πR3=
×π×(6×105)3=8.64×1017(立方千米).
即它的体积大约是8.64×1017立方千米.
【互动总结】(学生总结,老师点评)读懂题目信息,理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
1.在研究问题的结构时,可按整体到部分的顺序去思考和把握.
2.公式(ab)n=anbn(n为正整数)的逆用:
anbn=(ab)n(n为正整数).
请完成本课时对应练习!
14.1.4 整式的乘法
第4课时 单项式乘单项式
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握单项式乘单项式的法则.
【过程与方法】
经历探索单项式乘单项式法则的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.
【情感态度与价值观】
培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.
二、重难点目标
【教学重点】
单项式乘单项式的法则.
【教学难点】
单项式乘单项式的法则的推导及应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P98~P99的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.乘法的交换律和结合律:
(ab)c=(ac)b;
am·an=am+n(m、n都是正整数);
(am)n=amn(m、n都是正整数);
(ab)n=anbn(n是正整数).
2.
(1)2a2-a2=a2;a2·a2=a4;(-2a2)2=4a4.
(2)ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)·=abc5+2=abc7.
(2)单项式乘单项式法则:
单项式乘单项式,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
教师点拨:
单项式乘单项式运用的乘法的交换律和结合律,将数和同底数幂分别结合在一起.
3.计算:
(1)(-5a2b3)(-3a);
(2)(2x)3(-5x2y);
(3)
x3y2·
2;
(4)(-3ab)·(-ac).
解:
(1)15a3b3.
(2)-40x5y.
(3)
x5y6. (4)3a2bc.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)
3·3xy2·(2xy2)2;
(2)-6m2n·(x-y)3·
mn2(y-x)2.
【互动探索】(引发学生思考)根据单项式乘单项式的法则计算.
【解答】
(1)
3·3xy2·(2xy2)2=-
x6y3·3xy2·4x2y4=-
x9y9.
(2)-6m2n·(x-y)3·
mn2(y-x)2=-6×
m3n3(x-y)5=-2m3n3(x-y)5.
【互动总结】(学生总结,老师点评)单项式乘单项式的注意事项:
(1)计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的积;
(2)按顺序运算;(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式;(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立;(5)将(x-y)看作一个整体,一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列计算正确的是( D )
A.(-3x3)·(-2x2)2=-12x12
B.(-3ab)(-2ab)2=12a3b3
C.(-0.1x)·(-10x2)2=x5
D.(2×10n)
=102n
2.3x2可以表示为( A )
A.x2+x2+x2 B.x2·x2·x2
C.3x·3x D.9x
3.如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7,那么mn=12.
4.计算:
(1)(-2x2y)3·3(xy2)2;
(2)(-3x2y)2·
·
xz2.
解:
(1)-24x8y7.
(2)-
x6y3z3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,求m2+n的值.
【互动探索】根据-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,可以得到什么?
怎样求m2+n的值?
【解答】∵-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,
∴
解得
∴m2+n=7.
【互动总结】(学生总结,老师点评)根据单项式乘单项式的法则,结合同类项,列出关于m、n的二元一次方程组,进而求得代数式的值.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
请完成本课时对应练习!
第5课时 单项式乘多项式
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握单项式乘多项式的法则,并能正确计算单项式乘多项式.
【过程与方法】
经历探索单项式乘多项式法则的过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理的思考及语言表达能力.
【情感态度与价值观】
培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.
二、重难点目标
【教学重点】
单项式乘多项式的法则.
【教学难点】
单项式乘多项式的法则的推导及应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P99~P100的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.乘法的分配律:
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
2.填空:
-x(x2-3x+2)=-x·(x2)+(-x)·(-3x)+(-x)·
(2)=-x3+3x2-2x.
3.单项式乘多项式的法则:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
3.计算:
(1)(-2a)·(2a2-3a+1);
(2)(-4x)·(2x2+3x-1).
解:
(1)-4a3+6a2-2a.
(2)-8x3-12x2+4x.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】先化简,再求值:
3a(2a2-4a+3)-2a2·(3a+4),其中a=-2.
【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a=-2代入化简结果求值.
【解答】原式=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.
当a=-2时,原式=-20×4-9×2=-98.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号,然后合并同类项,最后代入已知的数值计算即可.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.一个长方体的长、宽、高分别是3a-4,2a,a,它的体积等于( C )
A.3a3-4a2 B.a2
C.6a3-8a2 D.6a2-8a
2.已知M、N分别表示不同的单项式,且3x·(M-5x)=6x2y3+N,则( C )
A.M=2xy3,N=-15xB.M=3xy3,N=-15x2
C.M=2xy3,N=-15x2D.M=2xy3,N=15x2
3.图中的四边形均为矩形,根据图形,仅用图中出现的字母写出一个正确的等式:
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
4.计算:
(1)2ab2·(3a2b-2ab-1);
(2)(-2xy2)2·
.
解:
(1)6a3b3-4a2b3-2ab2.
(2)x2y6-2x4y4-6x3y5.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如果(-3x)2
的展开式中不含x3项,求n的值.
【互动探索】由原式的展开式中不含x3项可以推出什么?
由此怎样求出n的值?
【解答】(-3x)2
=9x2·
=9x4-18nx3+6x2.
由展开式中不含x3项,得n=0.
【互动总结】(学生总结,老师点评)单项式与多项式相乘,注意当要求多项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数为0.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
请完成本课时对应练习!
第6课时 多项式乘多项式
一、基本目标
【知识与技能】
理解多项式乘多项式的运算法则,运用多项式与多项式的乘法法则进行计算.
【过程与方法】
经历探索多项式乘多项式的运算法则的推理过程,体会其运算的算理.
【情感态度与价值观】
通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.
二、重难点目标
【教学重点】
多项式乘多项式的法则的推导及应用.
【教学难点】
多项式乘多项式的法则的应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P100~P101的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.
(1)(-ab)·(-4b2)=4ab3;
(2)-2x(x-3y)=-2x2+6xy;
(3)(2x2y)3·(-4xy2)=-32x7y5;
(4)-2x(2x2-3x+1)=-4x3+6x2-2x.
2.看图填空:
(1)大长方形的长是a+b,宽是m+n,面积等于(a+b)(m+n).
(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn,由上述可得(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
3.多项式乘多项式的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
4.计算:
(1)(3x+2)(x+2);
(2)(4y-1)(5-y).
解:
(1)3x2+8x+4.
(2)-4y2+21y-5.
5.长方形的长是(2a+1),宽是(a+b),求长方形的面积.
解:
根据题意,得长方形的面积S=(2a+1)(a+b)=2a2+2ab+a+b.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)(x+2y)(5a+3b);
(2)(2x-3)(x+4);
(3)(x+y)2;
(4)(x+y)(x2-xy+y2).
【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算.
【解答】
(1)原式=x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b=5ax+3bx+10ay+6by.
(2)原式=2x2+8x-3x-12=2x2+5x-12.
(3)原式=(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2.
(4)原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.
【互动总结】(学生总结,老师点评)多项式乘多项式,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;所得结果仍是多项式,且在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
【例2】先化简,再求值:
(a-2b)(a2+2ab+4b2)-a(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1.
【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→确定当a=-1,b=1时,化简后代数式的值.
【解答】(a-2b)(a2+2ab+4b2)-a(a-5b)(a+3b)=a3-8b3-(a2-5ab)(a+3b)=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2=-8b3+2a2b+15ab2.当a=-1,b=1时,原式=-8+2-15=-21.
【互动总结】(学生总结,老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型,一定要注意先化简,再求值,不能先代值,再计算.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.若(y+3)(y-2)=y2+my+n,则m、n的值分别为( B )
A.m=5,n=6 B.m=1,n=-6
C.m=1,n=6 D.m=5,n=-6
2.下列各式中,计算结果是x2+7x-18的是( A )
A.(x-2)(x+9) B.(x+2)(x+9)
C.(x-3)(x+6) D.(x-1)(x+18)
3.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,那么需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( A )
A.2,3,7 B.3,7,2
C.2,5,3 D.2,5,7
教师点拨:
(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2.
4.已知a2-a+5=0,则(a-3)(a+2)的值是-11.
教师点拨:
把所求代数式展开后,利用条件得到a2-a=-5,再整体代入即可得解.
5.计算:
(1)(y+1)(x-y)-x(y-x);
(2)(-7x2-8y2)(-x2+3y2);
(3)(3a+1)(2a-
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