高中数学常用公式与知识点北师大版必修1必修5与选修21.docx

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高中数学常用公式与知识点北师大版必修1必修5与选修21

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测

北师大版教材

高中数学

常用公式及知识点

记忆检测

（必修1必修5及选修2-1）

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北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测

必修1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3

必修2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7

必修3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10

必修4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13

必修5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18

选秀2-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22

后记⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯28

第2页共28页

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必修1

§集合

1.集合的基本运算

；；

2..集合的包含关系:

；

；

3.识记重要结论：

A

BA

AB;A

B

A

A

B;

CUABCUACUB;CUABCUACUB

4．对常用集合的元素的认识

①A

xx2

3x

4

0中的元素是方程x2

3x

4

0的解，A即方程的解集；

②B

xx2

x

6

0中的元素是不等式x2

x

6

0的解，B即不等式的解集；

③C

yy

x2

2x

1,0x

5中的元素是函数

y

x2

2x1,0x5的函数值，

C即函数的值域；

④D

xy

log2

x2

2x1中的元素是函数

ylog2x2

2x1的自变量，D即函

数的定义域；

⑤M

x,y

y

2x

3中的元素可看成是关于

x,y的方程的解集，也可看成以方程

y2x3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。

5.集合{a1,a2,

an}

的子集个数共有

2n个；真子集有

2n–1

个；非空子集有

2n–1个；

非空的真子集有

2n–2

个.

6.方程f（x）

0在（k1,k2）上有且只有一个实根

与f（k1）f（k2）0不等价,前者是后者的

一个必要而不是充分条件

.特别地,

方程ax2

bx

c

0（a

0）有且只有一个实根在

（k1,k2）内,等价于f（k1）f（k2）

0,或f（k1）

0且k1

b

k1

k2

或f（k2）0且

2a

2

k1k2

b

k2.

2

2a

7.闭区间上的二次函数的最值问题：

二次函数f（x）

ax2

bxc（a

0）

在闭区间

p,q

上的最值只能在

x

b

处及区间的

2a

两端点处取得，具体如下：

（1）当

a>0

时，①

若x

b

p,q，则

2a

f（x）min

f（

b

；

）,f（xm）ax

mafxp（f）q,

b

2a

p,q，f（x）max

maxf（p）,f（q），

②x

2a

f（x）min

min

f（p）,f（q）.

（）二次函数在闭区间上必有

最值，求最值问题用“两看法”：

一看开口方向；二看对称轴与

所给区间的相对位置关系。

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（2）当a<0时，①若

b

p,q，则f（x）min

min

f（p）,f（q）

x

，

2a

b

p,q，则f（x）max

max

f（p）,f（q）

，f（x）min

minf（p）,f（q）.

②若x

2a

8.

afx

a

fx

；afx

a

fx

max

min

9.

由不等导相等的有效方法：

若

a

b且a

b，则a

b.

§

函

数

1.函数的单调性

（1）

设x1

x2

a,b,x1

x2那么

（x1

x2）

f（x1）

f（x2）

f（x1）

f（x2）

0

f（x）在a,b上是增函数；

0

x2

x1

（x1

x2）

f（x1）

f（x2）

f（x1）

f（x2）

0

f（x）在a,b上是减函数.

0

x2

x1

（2）

设函数y

f（x）在某个区间内可导，如果f（x）

0，则f（x）为增函数；如果f（x）

0，

则f（x）为减函数.

⑶单调性性质：

①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函

数-增函数=减函数；

注：

上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

2.复合函数单调性的判断方法：

⑴如果函数f（x）和

g（x）都是减函数（增函数）

则在公共定义域内

是减函数（增函数）

;

⑵对于复合函数y

f[g（x）]的单调性，必须考虑

y

f（u）与

ug（x）的单调性，从而得出

yf[g（x）]的单调性。

yfu

u

gx

y

fgx

增函数

增函数

增函数

增函数

减函数

减函数

减函数

增函数

减函数

减函数

减函数

增函数

3．函数的奇偶性（注：

奇偶函数大前提：

定义域必须关于原点对称）

和函数f（x）g（x）也

小结：

同增异

减。

研究函数

的单调性，定

义域优先考

虑，且复合函

数的单调区间

是它的定义域

的某个子区

间。

⑴若f（x）是偶函数，则fxfxfx；偶函数的图象关于y轴对称；偶函数在

x>0和x<0上具有相反的单调区间。

⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间。

f

x

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：

fxfx0或者

1fx0

f

x

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⑷奇偶函数的图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，

偶函数的图象关于y轴对称;反过来，

如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于

y

轴对称，那么这个函数是偶函数．

⑸多项式函数

P（x）anxn

an1xn1

a0的奇偶性

多项式函数P（x）是奇函数

P（x）的偶次项（即奇数项）的系数全为零.

多项式函数P（x）是偶函数

P（x）的奇次项（即偶数项）的系数全为零.

4.函数y

f（x）的图象的对称性：

函数y

f（x）的图象关于直线x

a对称

f（ax）

f（ax）

f（2a

x）

f（x.）

5.两个函数图象的对称性

（1）函数yf（x）与函数

（2）函数yf（x）与函数

y

f（

x）的图象关于直线

x

0（即y轴）对称.

y

f

（x）的图象关于直线

y

0（即x轴）对称.

（3）指数函数

yax和ylogax的图象关于直线y=x对称.

6.若将函数y

f（x）的图象右移a、上移b个单位，得到函数y

f（x

a）

b的图象；若

将曲线f（x,y）

0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线

f（x

a,y

b）

0的图象.

7．互为反函数的两个函数的关系：

f（a）bf1（b）

a.

8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型

（1）

正比例函数f（x）

kx,f（xy）

f（x）

f（y）,f

（1）

k.

（2）

指数函数f（x）

ax,f（x

y）

f（x）f（y）,f（xy）

f（x）

f（y）,f

（1）

a0.

（3）

对数函数f（x）

logax,

f（xy）

f（x）

f（y）,f（x）

f（x）

f（y）,.

y

f（a）1（a0,a

1）

（4）

幂函数f（x）

x

f（xy）

f（x）f（y）,f'

（1）.

（5）

余弦函数f（x）

cosx,

正弦函数g（x）

sinx，f（xy）

f（x）f（y）

g（x）g（y），

f（0）1.

1

1的图象，了解它们的变化情况．如

9.对于yx，y

x2，y

x3，yx2，y

x

2

hx=x3

gx=x2

右下图：

10.几个函数方程的周期a0

fx=x

1.5

qx=x

1

rx=

1

⑴y

fx

对xR时，

0.5

x

f（x）

f（x

3

2

1

O

11

2

3

4

a），则

f（x）的周期为a的周

0.5

期函数

⑵fxafxa

或fx2afxa0

1

1.5

2

恒成立，则yfx是周期为2a的周期函数

⑶若

⑷若

yfxyfx

是偶函数，其图像又关于直线xa对称，则是周期为2a的周期函数是奇函数，其图像又关于直线xa对称，则是周期为4a的周期函数

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⑸yfx对x

R时，f（x）

f（xa）0，或f（xa）

1

则yfx

（f（）x0）

f（x）

的周期2a的周期函数

11.函数图像变换

向上（b>0）或向下（b<0）移︱b︱单位

yfx

b图象

向左（φ>0）或向右（φ<0）移︱φ︱单位

y

f

x

图象

y

f

x

图象

点的纵坐标变为原来的

A倍

y=Af

x

图象

横坐标不变

点的横坐标变为原来的

1/ω倍

y=

f（wx）图象

纵坐标不变

m

nam（a

12.分数指数幂

：

（1）

an

0,m,n

N

，且n

1）;

m

1

（2）an

（a

0,m,n

N

，且n1

）.

m

an

13．根式的性质

：

（1）（na）n

a;

（2）当n为奇数时，

n

an

a；当n为偶数时，

nan|a|

a,a

0

.

a,a

0

14．有理指数幂的运算性质

（1）

a

r

a

s

a

rs

（

a

0,

r

s

）

r

s

a

rs

（a

0,r,s

R）;

R;

（2）（a）

（3）（ab）r

arbr

（a

0,b

0,r

R）.

15.指数式与对数式的互化式：

logaNb

ab

N（a

0,a

1,N

0）.

16.对数的换底公式

：

logaN

logm

N

a

0

且

a

1

m

0

且

m

1

N

0

）.

（

logma

推论

logambn

nlogab（

a0

且a

1

m,n

0,

且m

1,

n

1

N

0）.

m

17．对数有关性质：

⑴logab的符号有口诀“同正异负”记忆；

⑵logaa1；

⑶loga1

0；

⑷对数恒等式：

alogaN

N

a

0,a

1,N0

⑸logabm

mlogab；

⑹设函数

f

（）

log

（

ax

2

bxc

）（

a

0）,记

b2

4ac

.若f（x）的定义域为R,则

x

m

a

0，且

0;若f（x）的值域为R,

则a0，且

0.对于a

0的情形,需要单独检

验.

；

18.

⑴对数函数

y

logaxa

0,a

1的图像和性质分析：

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a的符号

a

1

0

a1

y

y

图像

1

o

1

o

x

x

定义域

0,

值域

单调性

在（0,+∞）上是增函数

在（0,+∞）上是减函数

过定点

1,0

函数值的分布情况

0x1时，y

0；

0x1时，y

0；

x1时，y

0

x1时，y0

⑵指数函数yaxa0,a

1的图像和性质分析：

a的符号

a

1

0a1

y

y

图像

1

x

1

x

o

o

定义域

值域

0,

单调性

在

上是增函数

在

上是减函数

过定点

0,1

函数值的分

x

0时，y

1；

x

0时，0y

1；

布情况

x

0时，0

y1

x

0时，y

1

19.

平均增长率的问题

p，则对于时间

x的总产值

y，有

如果原来产值的基础数为

N，平均增长率为

y

N（1p）x.

必修2

§立体几何初步

1.常用公理和定理

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公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：

①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．

⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．

⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．

⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．

⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．

B

⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

2.三余弦定理（最小角定理:

立平斜公式）

设AB与平面α所成的角为1,AC是α内的任一条

A

B'

C

直线，且AC与AB的射影AB/所成的角为

2，

AB/

与AC所成的角为．则cos

cos1cos

2.如右图⑴。

图⑴

3.

面积射影定理:

S

.（S'

平面多边形及其射影的面积分别