人教版数学高二选修44导学案三第1课时圆的极坐标方程.docx
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人教版数学高二选修44导学案三第1课时圆的极坐标方程
第1课时 圆的极坐标方程
学习目标
1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质.
知识点一 曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中,如果曲线C上______________的极坐标中________有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点______________,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的____________.
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式;
③将列出的关系式整理、化简;
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程.
知识点二 圆的极坐标方程
思考1 在极坐标系中,点M(ρ,θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗?
思考2 圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程是什么?
梳理 圆的极坐标方程
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0,0)
ρ=________
(0≤θ<2π)
圆心在点(r,0)
ρ=________
圆心在点(r,
)
ρ=________
(0≤θ<π)
圆心在点(r,π)
ρ=________
(
≤θ<
)
圆心在点(r,
)
ρ=________
(-π<θ≤0)
类型一 求圆的极坐标方程
例1 求圆心在(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程.
引申探究
若圆心在(3,0),半径r=2,求圆的极坐标方程.
反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ,θ).
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化简.
(3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ,θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.
跟踪训练1 求圆心在C(2,
)处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点(-2,sin
)是否在这个圆上.
类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)x2+y2=1;
(2)x2+y2-4x+4=0;
(3)x2+y2-2x-2y-2=0.
反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时,要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的,即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合,两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是惟一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)y2=4x;
(2)x2+y2-2x-1=0.
例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.
(1)ρ2cos2θ=1;
(2)ρ=2cos(θ-
);
(3)ρcos(θ+
)=
;
(4)ρ=
.
反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.
跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.
(1)x2+y2-2x=0;
(2)ρ=cosθ-2sinθ;
(3)ρ2=cos2θ.
类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用
例4 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若曲线ρsin(θ-
)=0与曲线C相交于A、B,求|AB|的值.
反思与感悟 在研究曲线的性质时,如交点、距离等,如果用极坐标不方便,可以转化为直角坐标方程,反之,可以转化为极坐标方程.
跟踪训练4 在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为________.
1.极坐标方程分别为ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( )
A.3B.
C.1D.
2.将极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0化为直角坐标方程为( )
A.x2+y2=0或y=1
B.x=1
C.x2+y2=0或x=1
D.y=1
3.在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是( )
A.(1,π)B.(2,
)
C.(1,
)D.(1,0)
4.4ρsin2
=5表示的曲线是( )
A.圆B.椭圆
C.双曲线的一支D.抛物线
5.在极坐标系中,已知圆C的圆心为C(2,
),半径为1,求圆C的极坐标方程.
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一,即(ρ,θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,π+θ),(-ρ,-π+θ)都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的惟一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ=θ,点M
可以表示为
或
或
等多种形式,其中,只有
的极坐标满足方程ρ=θ.
2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点M(ρ,θ),探求ρ,θ的关系,经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.
答案精析
问题导学
知识点一
(1)任意一点 至少 都在曲线C上 极坐标方程
知识点二
思考1 不一定.
思考2 ρ=2.
梳理 r 2rcosθ 2rsinθ -2rcosθ
-2rsinθ
题型探究
例1 解 在圆周上任取一点P(如图),
设其极坐标为(ρ,θ),
由余弦定理知,
CP2=OP2+OC2-2OP·OCcos∠COP,
故其极坐标方程为
r2=ρ
+ρ2-2ρρ0cos(θ-θ0).
引申探究
解 设P(ρ,θ)为圆上任意一点,
则|CP|2=|OP|2+|OC|2-2|OP|·|OC|·cos∠COP,
∴22=ρ2+9-6ρcosθ,
即ρ2=6ρcosθ-5.
跟踪训练1 解 如图,
由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,则|OA|=2r,连接AM,则OM⊥MA.
在Rt△OAM中,
|OM|=|OA|cos∠AOM,
即ρ=2rcos(
-θ),
∴ρ=-4sinθ,经验证,点O(0,0),A(4,
)的坐标满足上式.
∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.
∵sin
=
,∴ρ=-4sinθ=-4sin
=-2,
∴点(-2,sin
)在此圆上.
例2 解 把
代入方程化简,
(1)∵(ρcosθ)2+(ρsinθ)2=1,
∴ρ2=1,即ρ=1.
(2)∵(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-4ρcosθ+4=0,
∴ρ2-4ρcosθ+4=0.
(3)∵(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-2ρcosθ-2ρsinθ-2=0.
∴ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)-2=0,
∴ρ2-2
ρsin(θ+
)-2=0.
跟踪训练2 解
(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,
得(ρsinθ)2=4ρcosθ,
化简,得ρsin2θ=4cosθ.
(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2-2x-1=0,
得(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-2ρcosθ-1=0,
化简,得ρ2-2ρcosθ-1=0.
例3 解
(1)∵ρ2cos2θ=1,
∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1,
∴化为直角坐标方程为x2-y2=1.
(2)∵ρ=2cosθcos
+2sinθsin
=
cosθ+
sinθ,
∴ρ2=
ρcosθ+
ρsinθ,
∴化为直角坐标方程为x2+y2-
x-
y=0.
(3)∵ρcos(θ+
)=
,
∴ρ(cosθ·cos
-sinθ·sin
)=
,∴ρcosθ-ρsinθ-1=0.
又ρcosθ=x,ρsinθ=y,
∴x-y-1=0.
(4)∵ρ=
,
∴2ρ-ρcosθ=1,
∴2
-x=1.化简,得3x2+4y2-2x-1=0.
跟踪训练3 解
(1)∵x2+y2-2x=0,
∴ρ2-2ρcosθ=0.
∴ρ=2cosθ.
(2)∵ρ=cosθ-2sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-2ρsinθ.
∴x2+y2=x-2y,
即x2+y2-x+2y=0.
(3)∵ρ2=cos2θ,
∴ρ4=ρ2cos2θ=(ρcosθ)2.
∴(x2+y2)2=x2,
即x2+y2=x或x2+y2=-x.
例4 解
(1)∵
所以ρ2=x2+y2,由ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,
∴x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)由ρsin(θ-
)=0,
得ρ(
sinθ-
cosθ)=0,
即ρsinθ-ρcosθ=0,∴x-y=0.
由于圆(x-2)2+(y-1)2=5的半径为r=
,圆心(2,1)到直线x-y=0的距离为d=
=
,
∴|AB|=2
=3
.
跟踪训练4 (1,1)
当堂训练
1.D 2.B
3.C
4.D
5.解 在圆C上任取一点P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即1=4+ρ2-2×2×ρcos(θ-
),化简可得ρ2-4ρcos(θ-
)+3=0.
当O,P,C共线时,此方程也成立,故圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcos(θ-
)+3=0.
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