LMS算法在自适应滤波器中的实现.docx

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LMS算法在自适应滤波器中的实现

LMS算法在自适应滤波器中的实现

摘要：

自适应滤波器是一种参数可自适应调整的有限冲激响应（FIR）数字滤波器，具有非递归结构形式。

本文介绍了自适应滤波器的基本原理，用LMS自适应算法来仿真，得到LMS算法在自适应滤波中的收敛特性。

关键字：

LMS、自适应滤波器、收敛特性

Abstracts：

Adaptivefilterisaparameterwhichcanbeadaptedtoadjustthelimitedimpulseresponse.ThisarticleintroducesthebasicprincipleofadaptivefilteralgorithmwithLMS,andgetLMSalgorithmofadaptivefilterconvergenceproperties.

Keywords：

LMS、Adaptivefilter、ConvergenceProperties

一引言

自适应线性滤波器是一种参数可自适应调整的有限冲激响应（FIR）数字滤波器，具有非递归结构形式。

因为它的分析和实现比较简单，所以在大多数自适应信号处理系统中得到了广泛应用。

自适应滤波器实际上是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，它能够在工作过程中逐步“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自身的参数，以达到最佳滤波效果。

一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。

本文介绍了自适应滤波器的基本原理，用LMS自适应算法来仿真，得到LMS算法在自适应滤波中的收敛特性。

二基本原理

图一为自适应线性滤波器的一般形式。

输入信号矢量x（n）的L+1个元素，既可以通过在同一时刻

对L+1个不同信号源取样得到，也可以通过对同一信号源在n以前L+1个时刻取样得到。

输入信号

…………………………式1

是一个时间序列，其元素由一个信号在不同时刻的取样值构成。

对于一组固定的权系数来说，线性滤波器是输出y（n）等于输入矢量x（n）的各元素的线性加权之和。

然而实际上权系数是可调的，调整权系数的过程叫做自适应过程。

在自适应过程中，各个权系数不仅是误差信号e（n）的函数，而且还可能是输入信号的函数，因此，自适应线性滤波器的输出就不再是输入信号的线性函数。

输入信号和输出信号之间的关系为

………………………………式2

图一自适应滤波器

图一所示的自适应线性滤波器，也是一个时变横向数字滤波器，有时称为自适应横向滤波器。

自适应线性滤波器的L+1个权系数构成一个权系数矢量，称为权矢量，用w（n）表示，即

…………………………式3

输出响应表示为 

…………………………式4

参考响应与输出响应之差称为误差信号，用e（n）表示，即

…………式5

自适应线性滤波器按照误差信号均方值（或平均功率）最小的准则，即

………………………………式6

来自动调整权矢量。

三LMS算法的实现

自适应滤波器的权矢量是根据输入数据在最优准则的控制下不断更新的。

Widrow等人提出的最小均方算法（LMS）就是一种以期望响应和滤波器输出信号之间误差的均方值最小为准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数以达到最佳的自适应迭代算法。

LMS算法的原理是由输出的反馈去调节加权系数，是一个闭环结构，它基于最小均方误差准则以及梯度估计的最陡下降原理。

LMS算法进行梯度估计的方法是以误差信号每一次迭代的瞬时平方值替代其均方值，梯度可近似为

………………式7

……………………式8

是单个平方误差序列的梯度，

则是多个平方误差序列统计平均的梯度，所以LMS算法就是用前者作为后者的近似。

用梯度估值

替代最速下降法中的梯度真值

，有

……………………式9

式中，

为自适应滤波器的收敛因子。

式（7-57）即为著名的LMS算法的滤波器权矢量迭代公式。

可以看出，自适应迭代下一时刻的权系数矢量可以由当前时刻的权系数矢量加上以误差函数为比例因子的输入矢量得到。

w（n）为自适应滤波器在n时刻的权矢量，x（n）为n时刻输入信号矢量，d（n）为期望输出值，e（n）为误差信号，

为迭代步长，它控制算法收敛的速度，它的取值必须满足：

0<

<

……………………………………式9

LMS算法的迭代公式如下：

e（n）=d（n）-X

（n）w（n）………………………式10

w（n+1）=w（n）+2

x（n）e（n）………………………式11

四LMS算法的收敛性

收敛性是自适应滤波器的一个非常重要的指标。

LMS算法对性能函数梯度的估值是无偏的。

每次迭代调整权矢量前能够进行多次观测，获得多个x（n），并对计算得到的多个梯度估计进行统计平均，然后依据梯度的统计平均值

来调整权矢量。

迭代结果必能得到理想的最佳权矢量。

在实际运用中每次调整权矢量前，通过观测只能得到一个x（n），据此调整权矢量得到的w（n）必然是随机的。

当迭代过程收敛后，权矢量将在最佳权矢量附近随机起伏，这等于在最佳权矢量上叠加了一个噪声。

假设LMS算法的连续两次迭代时间足够长，以保证输入信号x（n）和x（n+1）互不相关，即满足了w（n）将与x（n）无关的要求。

对式9两边取数学期望，有

………………式12

在前面我们讨论最速下降法时，得到的权矢量为

……………………………式13

从上面的两个式子得到，LMS算法得到的权矢量，其期望值与最速下降法得到的权矢量本身都服从相同的迭代计算规律。

因此，用相同的推导方法能够得出这样的结论：

当式13的条件得到满足时，随着迭代次数趋近于无穷，权矢量的期望值将趋近于最佳权矢量。

对于横向自适应滤波器来说，输入信号的自相关矩阵的迹可用输入信号功率表示为：

………………………式14

式中，

是输入信号功率。

因此，式（7-51）的收敛条件可表示为

………………………………式15

五MATLAB仿真

1、LMS自适应算法的仿真

A、设置参数：

N为采样个数，u为步长，k为迭代次数，rk为正态分布的随机矩阵，wk为起始权值。

步长因子满足

0<

<

…………………………………式16

B、用LMS算法迭代求最佳权值：

权值迭代为

wk（i+1,:

）=wk（i,:

）+2*u*err（i）*xk（i,:

）………………式17

C、画图

仿真结果：

图二期望信号

步长因子在满足式16的收敛条件下，

值越大，收敛越快。

但是，一旦把步长因子设得太大，超出了式16的收敛条件，那么LMS算法就失去了跟踪信号的收敛能力。

例如，当把步长因子增大为1时，超过

时，程序失去了收敛能力。

图三输入信号

图四输出信号

图五误差信号

2、时域LMS算法收敛曲线的仿真

% 该程序实现时域LMS算法，并用统计的方法仿真得出不同步长下的收敛曲线

clear                           %  清空变量空间

g=100;                        %  统计仿真次数为g

N=1024;                      %  输入信号抽样点数N

k=128;                        %  时域抽头LMS算法滤波器阶数

pp=zeros（g,N-k）;               %  将每次独立循环的误差结果存于矩阵pp中，以便后

                             %  面对其平均

u=0.001;                      %  收敛因子

forq=1:

g                

t=1:

N;

   a=1;

   s=a*sin（0.5*pi*t）;          %  输入单频信号s

   figure

（1）;

   plot（t,real（s））;              %  信号s时域波形

   title（'信号s时域波形'）;

   xlabel（'n'）;

   ylabel（'s'）;

   axis（[0,N,-a-1,a+1]）;

   xn=awgn（s,3）;             %  加入均值为零的高斯白噪声，信噪比为3dB   

   %设置初值

   y=zeros（1,N）;              %   输出信号y

   y（1:

k）=xn（1:

k）;            %  将输入信号xn的前k个值作为输出y的前k个值

   w=zeros（1,k）;              %   设置抽头加权初值

   e=zeros（1,N）;              %   误差信号

   %用LMS算法迭代滤波

   fori=（k+1）:

N

             XN=xn（（i-k+1）:

（i））; 

             y（i）=w*XN';

             e（i）=s（i）-y（i）;

             w=w+u*e（i）*XN;   

    end

    pp（q,:

）=（e（k+1:

N））.^2;  

 end

 forb=1:

N-k

       bi（b）=sum（pp（:

b））/g;    %  求误差的统计平均

 end

 figure

（2）;                  %  算法收敛曲线

 t=1:

N-k;

 plot（t,bi）;

 holdoff                   %  将每次循环的图形显示结果保存下来

程序运行结果：

图六信号的时域波形

图七LMS算法收敛曲线

六总结

LMS是由输出的反馈去调节加权系数，是一个闭环结构，它用统一标量u来调整加权系数，LMS算法是一种梯度最速下降算法，其显著特点简单性、计算量小、易于实现。

这种算法不需要计算相关矩阵，也不需要进行矩阵运算。

只要自适应线性组合器每次迭代运算时都知道输入信号和参考响应，选用LMS算法是很合适的。

参考书目

[1]张贤达现代信号处理（第二版）[M]清华大学出版社,2009，P245-256

[2]李杰、张猛、刑笑雪信号处理MATLAB[M]实验教程北京大学出版社，2009

[3]胡广书现代信号处理教程[M]清华大学出版社，2004

[4]董辰辉彭雪峰MATLAB2008全程指南[M]电子工业出版社，2009

[5]李妍MATLAB通信仿真开发手册[M]国防工业出版社，2005