高中数学阶段质量评估2北师大版选修.docx
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高中数学阶段质量评估2北师大版选修
2019-2020年高中数学阶段质量评估2北师大版选修
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用数学归纳法证明1+++…+
A.1+<2 B.1++<2
C.1++<3D.1+++<3
解析:
n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=,故选B.
答案:
B
2.用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,等式左边增加的项为( )
A.(2k)2B.(2k+3)2
C.(2k+1)2D.(2k+2)2
解析:
把k+1代入(2n-1)2得(2k+2-1)2即(2k+1)2,选C.
答案:
C
3.若a>b>c>d,x=(a+b)(c+d),y=(a+c)(b+d),z=(a+d)(b+c),则x,y,z的大小顺序为( )
A.x C.x 解析: 因a>d且b>c, 则(a+b)(c+d)<(a+c)(b+d), 得x 则(a+c)(b+d)<(a+d)(b+c), 得y 答案: C 4.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到( ) A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k 解析: 左侧应为1+2+22+…2k-1+2k 右侧应为2k+1-1=2k+2k-1 ∴选D. 答案: D 5.用数学归纳法证明2n>n2,n的第一个取值应当是( ) A.1B.大于1小于10的某个整数 C.10D.小于10的某个整数 解析: 易知当n=2或n=4时,2n=n2,观察y=2x及y=x2的函数图象,易知当n≥4时,2n≥n2,故n的第一个值应当是5,故选B. 答案: B 6.设a,b,c为正数,a+b+4c=1,则++2的最大值是( ) A.B. C.2D. 解析: 1=a+b+4c=()2+()2+ (2)2 =[()2+()2+ (2)2]·(12+12+12) ≥(++2)2· ∴(++2)2≤3,即所求为. 答案: B 7.用数学归纳法证明: +++…+<1(n∈N+, n≥2)时,由“k到k+1”,不等式左端的变化是( ) A.增加一项 B.增加和两项 C.增加和两项,同时减少 D.以上都不对 解析: 因f(k)=+++…+, 而f(k+1)=++…+++, 故f(k+1)-f(k)=+-,故选C. 答案: C 8.观察下列各等式: +=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,得一般性的等式为( ) A.+=2B.+=2 C.+=2D.+=2 解析: 观察归纳知选A. 答案: A 9.已知a,b,c,d均为实数,且a+b+c+d=4,a2+b2+c2+d2=,则a的最大值为( ) A.16B.10 C.4D.2 解析: 构造平面π: x+y+z+(a-4)=0, 球O: x2+y2+z2=-a2, 则点(b,c,d)必为平面π与球O的公共点, 从而≤, 即a2-2a≤0,解得0≤a≤2, 故实数a的最大值是2. 答案: D 10.用数学归纳法证明“ n=k+1时(n=1已验证,n=k已假设成立)这样证明: =<=(k+1)+1,则当n=k+1时,命题成立,此种证法( ) A.是正确的 B.归纳假设写法不正确 C.从k到k+1推理不严密 D.从k到k+1的推理过程未使用归纳假设 解析: 经过观察显然选D. 答案: D 11.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3·5·(2n-1)(n∈N*)”时,从n=k到n=k+1等式的左边需增乘代数式为( ) A.2k+1B. C.D. 解析: 左边当n=k时最后一项为2k. 左边当n=k+1时最后一项为2k+2,又第一项变为k+2, ∴需乘. 答案: C 12.x、y、z是非负实数,9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是( ) A.9B.10 C.14D.15 解析: u2=(3x+6y+5z)2 ≤[(3x)2+(2y)2+(z)2]·[12+()2+()2] =9×9=81,∴u≤9. 答案: A 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知a、b、c都是正数,且4a+9b+c=3,则++的最小值是________. 解析: 由4a+9b+c=3,∴+3b+=1, ∴++ =++ =+++3+++++ =3++++ ≥3++4++2=12. 答案: 12 14.用数学归纳法证明: 1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2(n∈N+)时,从n=k到n=k+1时,该式左边应添加的代数式是________________. 解析: 当n=k时,左边=1+2+3+…+k+…+3+2+1.当n=k+1时,左边=1+2+3+…+k+k+1+k+…+3+2+1.所以左边应添加的代数式为k+1+k=2k+1. 答案: 2k+1 15.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立,则实数a的取值范围是________. 解析: 由柯西不等式可得(12+22+22)(x2+y2+z2)≥(x+2y+2z)2,所以x+2y+2z的最大值为3,故有|a-1|≥3, ∴a≥4或a≤-2. 答案: a≥4或a≤-2 16.数列{an}中,a1=1,且Sn、Sn+1、2S1成等差数列,则S2、S3、S4分别为________,猜想Sn=________. 解析: 由题意得,a1=1, 2Sn+1=Sn+2S1. 当n=1时,2S2=S1+2S1,∴S2=. 当n=2时,2S3=S2+2S1,∴S3=. 当n=3时,2S4=S3+2S1,∴S4=. 归纳猜想: Sn=. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)设x2+2y2=1,求μ=x+2y的最值. 解析: 由|x+2y|=|1·x+·y| ≤·=. 当且仅当=,即x=y=±时取等号. 所以,当x=y=-时,μmax=. 当x=y=-时,μmin=-. 18.(12分)求证: ++…+>(n≥2,n∈N+). 证明: (1)当n=2时,左边=+++>,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立. 即++…+>. 则当n=k+1时, ++…++++=++…++ >+ >+=. 所以当n=k+1时不等式也成立. 由 (1)、 (2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立. 19.(12分)已知x+y+z=1,求2x2+3y2+z2的最小值. 解析: 由柯西不等式,得 2x2+3y2+z2 =(2x2+3y2+z2)· ≥2 =(x+y+z)2=, ∴2x2+3y2+z2≥. 当且仅当==, 即x=,y=,z=时取等号. ∴2x2+3y2+z2的最小值为. 20.(12分)设a、b、c为正数.求证: 2≥++. 证明: 由对称性,不妨设a≥b≥c>0. 于是a+b≥a+c≥b+c,a2≥b2≥c2. 故≥≥.由排序原理知: ++≥++, ++≥++, 将上面两个同向不等式相加,得 2≥++. 21.(12分)设a≤b≤c≤d≤e且a+b+c+d+e=1, 求证: ad+dc+cb+be+ea≤. 证明: 由于a≤b≤c≤d≤e, 知a+b≤a+c≤b+d≤c+e≤d+e, 2(ad+dc+cb+be+ea) =a(d+e)+b(c+e)+c(b+d)+d(a+c)+e(a+b) ≤(a+b+c+d+e)[(d+e)+(c+e)+(b+d)+(a+c)+(a+b)]=. ∴ad+dc+cb+be+ea≤. 22.(14分)对于数列{an},若a1=a+(a>0,且a≠1),an+1=a1-. (1)求a2、a3、a4,并猜想{an}的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 解析: (1)∵a1=a+,an+1=a1-, ∴a2=a1-=a+- =-=, a3=a1- =- =, 同理可得 a4= 猜想an= ==. (2)证明: ①当n=1时, 右边===a1,等式成立. ②假设当n=k时(k∈N*),等式成立,即 ak=,则当n=k+1时, ak+1=a1-=- = =, 这就是说,当n=k+1时,等式也成立, 根据①、②可知,对于一切n∈N*, an=成立. 2019-2020年高中数学阶段质量评估3北师大版选修(I) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若拋物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为10,则P点的坐标是( ) A.(9,6) B.(9,±6) C.(6,9)D.(6,±9) 解析: 设P(x0,y0),则x0+1=10,∴x0=9, y=36,∴y0=±6,故P点坐标为(9,±6). 答案: B 2.θ是任意实数,则方程x2+y2sinθ=4的曲线不可能是( ) A.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.圆 解析: sinθ可以等于1,这时曲线表示圆,sinθ可以小于0,这时曲线表示双曲线,sinθ可以大于0且小于1,这时曲线表示椭圆. 答案: C 3.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是( ) A.(-∞,0)B.(-12,0) C.(-3,0)D.(-60,-12) 解析: ∵a2=4,b2=-k,∴c2=4-k. ∵e∈(1,2),∴=∈(1,4),k∈(-12,0). 答案: B 4.以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程是( ) A.-=1B.-=1 C.-=1或-=1D.以上都不对 解析: 当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4,-=1; 当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3,-=1.选C. 答案: C 5.已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.线段 解析: 依题意知,|PF1|+|PF2|=|F1F2|=2,作图可知点P的轨迹为线段. 答案: D 6.设F1和F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( ) A.1B. C.2D. 解析: 由方程知a=2,b=1,c=, 由定义知||PF1|-|PF2||=2a=4 ① 又∠F1PF2=90°, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20 ② 由①、②可得: |PF1|·|PF2|=2, ∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=×2=1,故选A. 答案: A 7.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一
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