(1).
(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为
(C)5. (D)6.
二、填空题:
把答案填在题中横线上.
(20)sin15°sin75°的值是 .
(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的
(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是.
(23)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则
三、解答题:
解答应写出文字说明、演算步骤.
(26)已知:
两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.
(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围.
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
1992年全国普通高等学校招生统一考试(理工农医卷)
数学参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
(2)D (3)D (4)B (5)D (6)B
(7)B (8)C (9)D (10)D (11)B (12)B
(13)A (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.
三、解答案
(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.
解:
设z=x+yi(x,y∈R).
将z=x+yi代入原方程,得
(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,
整理得
x2+y2-3y-3xi=1+3i.
根据复数相等的定义,得
由①得 x=-1.
将x=-1代入②式解得y=0,y=3.
∴z1=-1,z2=-1+3i.
(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.
解:
由题设知α-β为第一象限的角,
由题设知α+β为第三象限的角,
∴ sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.
解法一:
设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图).
∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.
根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.
在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
∵ AG=m,
∴在△AFG中,
FG2=m2+n2-2mncosθ.
∵ EG2=d2,
∴ EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则
EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.
解法二:
经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.
根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.
在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1,
从而EG⊥α.
连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
(以下同解法一)
(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:
依题意,有
由a3=12,得
a1=12-2d. ③
将③式分别代①、②入,得
(Ⅱ)解法一:
由d<0可知
a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若1≤n≤12在中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于 S12=6(a6+a7)>0,
S13=13a7<0,
即 a6+a7>0,
a7<0.
由此得 a6>-a7>0.
因为 a6>0,a7<0,
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅱ)解法二:
∵ d<0,
∴ S6最大.
(Ⅱ)解法三:
由d<0可知 a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.
证法一:
设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故
│PA│=│PB│,即
∵ A、B在椭圆上,
将上式代入①,得
∵ x1≠x2,可得
∵ -a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,
∴ -2a证法二:
设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为
(x-x0)2+y2=r2,
与椭圆方程联立,消去y得
因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得
因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故