安徽省合肥一中高考数学最后一卷理科.docx
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安徽省合肥一中高考数学最后一卷理科
2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A.
B.
C.
D.
2.已知是虚数单位,若,则的虚部是()
A.
B.
C.
D.
3.已知,函数在上单调递增,则的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
4.《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上有叙述为:
“今有女善织,日益功疾(注:
从第天开始,每天比前一天多织相同量的布),如图是源于其思想的一个程序框图,如果输出的是,则输入的是()
A.
B.
C.
D.
5.已知,分别满足,,则的值为()
A.
B.
C.
D.
6.某空间凸多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧(左)视图中的正方形的边长为,正(主)视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形,则该几何体的表面积为()
A.
B.
C.
D.
7.中,,,的对边分别为,,.已知,,则的值为________
8.某班级有男生人,女生人,现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为,则的数学期望为()
A.
B.
C.
D.
9.已知函数单调递增,函数的图象关于点对称,实数,满足不等式,则的最小值为()
A.
B.
C.
D.
10.一个正四面体的四个面上分别标有数字,,,.掷这个四面体四次,令第次得到的数为,若存在正整数使得的概率,其中,是互质的正整数,则的值为()
A.
B.
C.
D.
11.已知抛物线,过定点,且作直线交抛物线于,两点,且直线不垂直轴,在,两点处分别作该抛物线的切线,,设,的交点为,直线的斜率为,线段的中点为,则下列四个结论:
①;②当直线绕着点旋转时,点的轨迹为抛物线;③当时,直线经过抛物线的焦点;④当,时,直线垂直轴.其中正确的个数有()
A.个
B.个
C.个
D.个
12.设函数在上存在导函数,对任意的有,且当时,.若,的零点有()
A.个
B.个
C.个
D.个
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.平行四边形中,,,,则________.
14.的展开式中含的项的系数是________.
15.棱长为的正方体如图所示,,分别为直线,上的动点,则线段长度的最小值为________.
16.如图所示,已知直线的方程为,,是相外切的等圆,且分别与坐标轴及线段相切,,则两圆半径________(用常数,,表示)
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设数列的前项和为,已知.
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足,求前项和.
18.底面为正方形的四棱锥,且底面,过的平面与侧面的交线为,且满足.
(1)证明:
平面;
(2)当时,求二面角的余弦值.
19.深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析,为了考察甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:
球队胜
球队负
总计
甲参加
甲未参加
总计
(1)求,,,,的值,据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:
,,,,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为:
,,,.则:
当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;当他参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率;如果你是教练员,应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员?
附表及公式:
.
20.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,,且,与该椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)过点的直线与相切,且与椭圆相交于,两点,求证:
;
(3)过点的直线与相切,且与椭圆相交于,两点,试探究的数量关系.
21.已知函数.
(1)讨论函数的零点个数;
(2)已知,证明:
当时,.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的参数方程为(为参数),直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程,并求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标,
(2)求曲线的极坐标方程,并设,为曲线上的两个动点,且,求的取值范围.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数.
当时,求不等式的解集;
若的解集包含,求实数的取值范围.
参考答案与试题解析
2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
求出集合,,从而求出,由此能求出.
【解答】
∵集合,,
∴,
∴.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
由已知可得,代入,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】
∵,
∴,
∴的虚部为.
3.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
利用余弦函数的单调性建立不等式关系求解即可.
【解答】
函数在上单调递增,
则,.
解得:
,.
∵,
∴当,可得.
4.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知:
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】
第一次执行循环体后,,,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体后,,,不满足退出循环的条件;
第三次执行循环体后,,,不满足退出循环的条件;
第四次执行循环体后,,,不满足退出循环的条件;
…
第次执行循环体后,,,不满足退出循环的条件;
第次执行循环体后,,,满足退出循环的条件;
故输出
∴,
5.
【答案】
D
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
对等式两边取自然对数,再由,求导,判断单调性,运用对数的运算性质,可得所求值.
【解答】
,可得,,
可得,
即有,
可得,
由的导数为,
可得在递增,
可得,
即为,
即,
可得,
可得,
6.
【答案】
C
【考点】
由三视图求面积、体积
【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.
【解答】
由题意可知几何体的直观图如图:
左侧是放倒的三棱柱,右侧是三棱锥,
俯视图和侧(左)视图中的正方形的边长为,正(主)视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形,
则该几何体的表面积为:
.
7.
【答案】
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
利用二倍角和正弦定理,化简可得答案.
【解答】
∵由,
得
,
即,
∴得,
∴则(舍),或,
∵
∴,
∵,由正弦定理可得:
,
∴,
推导可得:
,
即,
∴.
8.
【答案】
C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由题意知随机变量的可能取值是,,,,,
计算对应的概率值,求出的数学期望值.
【解答】
由题意知,随机变量的可能取值是,,,,,
且,,,,;
∴的数学期望为
.
9.
【答案】
A
【考点】
抽象函数及其应用
简单线性规划
【解析】
根据题意,分析可得函数为奇函数,结合函数的单调性分析可得,变形可得:
,即或,由二元一次不等式的几何意义分析其可行域,又由,设,其几何意义为可行域中任意一点到点距离的平方,求出的最小值,计算即可得答案.
【解答】
根据题意,因为函数的图象关于点
对称,
所以函数的图象关于点对称,
即函数是定义在上的奇函数,
则,
又由函数单调递增,则,
变形可得:
,
即或,
所以可得其可行域,如图所示:
,
设,其几何意义为可行域中任意一点到点距离的平方,
分析可得:
的最小值为,
则的最小值为;
故选:
.
10.
【答案】
B
【考点】
模拟方法估计概率
【解析】
当时,的概率,当时,的概率,当时,的概率,当时,的概率,从而求出的概率,由此能求出的值.
【解答】
正四面体的四个面上分别标有数字,,,.掷这个四面体四次,令第次得到的数为,
存在正整数使得的概率,
∴当时,的概率,
当时,的概率,
当时,的概率,
当时,的概率,
∴得的概率,
其中,是互质的正整数,
∴,,
则.
11.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设点坐标,根据导数的几何意义,即可求得直线的方程,代入即可求得,即可求得直线的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及中点坐标公式,即可求得,.即可判断①④正确.
【解答】
设,则直线的方程:
,
直线过点,所以,解得,
所以直线,,
由,
所以,
所以,即,,,
所以,
则,
∴.
故垂直轴,故①④正确,
12.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
令,,由,可得函数为奇函数.利用导数可得函数在上是增函数,,即,解得,再令,分离参数,可得,,利用导数,求出当时,,即可判断函数零点的个数.
【解答】
当时,令时,,函数单调递增,
令时,,函数单调递减,
∴,
(1)当时,,函数单调递减,
∵,
∴直线与有两个交点,
∴的零点有个,
故选:
.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
推导出,,,由此能求出.
【解答】
∵平行四边形中,,,,如图,
∴,∴,∴,
∴,
∴
.
14.
【答案】
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
利用二项式定理把展开,可得的展开式中含的项的系数.
【解答】
∵,
故它的展开式中含的项的系数是,
15.
【答案】
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
线段长度的最小值是异面直线与间的距离,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段长度的最小值.
【解答】
∵棱长为的正方体如图所示,,分别为直线,上的动点,
∴线段长度的最小值是异面直线与间的距离,
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,,,,,,
∴线段长度的最小值:
.
16.
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
由题意画出图形,得,,设,,列关于,,,,,的方程组,整体求解得答案.
【解答】
如图,
由已知得,,,
设,,
则,
②+③得:
④.
把①代入④,得,
∴.
三、解答题
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