将军饮马模型.docx
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将军饮马模型.docx
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将军饮马模型
将军饮马模型
一、背景知识:
【传说】
早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一
位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应该怎样走才能使路程最短?
这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它.从此以后,这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短,垂线段最短;
三角形两边三边关系;轴对称;平移;
【解题思路】找对称点,实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型:
两定点到一动点的距离和最小
例1:
在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB
作法:
连接AB,与直线l的交点Q,
最小.
Q即为所要寻找的点,即当动点P跑到了点Q处,
PA+PB最小,且最小值等于AB.
原理:
两点之间线段最短。
证明:
连接AB,与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点,在⊿PAB中,由三角形三边关系可知:
AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取
例2:
在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB的和最小.
关键:
找对称点
作法:
作定点B关于定直线l的对称点C,连接AC,与直线l的交点Q即为所要寻找的点,即当动点P跑到了点Q处,PA+PB和最小,且最小值等于AC.
原理:
两点之间,线段最短
证明:
连接AC,与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点,在⊿PAC中,由三角形三边关系可知:
AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
2.两动一定型
例3:
在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得△BAC周长最短.
作法:
作点A关于OM的对称点A',作点A关于ON的对称点A'',连接A'A'',与OM交于点B,与ON交于点C,连接AB,AC,△ABC即为所求.
原理:
两点之间,线段最短
例4:
在∠MON的内部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短.
作法:
作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',连接A'B',与OM交于点C,与ON交于点D,连接AC,BD,AB,四边形ABCD即为所求.
原理:
两点之间,线段最短
3.两定两动型最值
例5:
已知A、B是两个定点,在定直线l上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d(动点M位于动点N左侧),使AM+MN+N的B值最小.
提示:
存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一:
将点A向右平移长度d得到点A',作A'关于直线l的对称点A'',连接A''B,交直线l于点N,将点N向左平移长度d,得到点M。
作法二:
作点A关于直线l的对称点A1,将点A1向右平移长度d得到点A2,连接A2B,交直线l于点Q,将点Q向左平移长度d,得到点Q。
原理:
两点之间,线段最短,最小值为A''B+MN
例6:
(造桥选址)将军每日需骑马从军营出发,去河岸对侧的瞭望台观察敌情,已知河流的宽度为30米,请问,在何地修浮桥,可使得将军每日的行程最短?
例6:
直线l1∥l2,在直线l1上找一个点
C,直线l2上找一个点D,使得CD⊥l2,且
AC+BD+CD最短.
作法:
将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A',连接A'B,交l2于点D,过点D作DC⊥l2于点C,连接AC.则桥CD即为所求.此时最小值为A'B+CD
原理:
两点之间,线段最短,
4.垂线段最短型
例7:
在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC最短.
原理:
垂线段最短
点A是定点,OM,ON是定线,
点B、点C是OM、ON上要找的点,是动点.
例8:
在定直线l上找一个动点
P,使动点P到两个定点
A与B的距离之差最小,即
PA-PB
最小.
作法:
连接AB,作AB的中垂线与l的交点,即为所求点P此时|PA-PB|=0
原理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9:
在定直线l上找一个动点
C,使动点C到两个定点
A与B的距离之差最大,即
|PA-PB
|最大
作法:
延长BA交l于点C,点C即为所求,即点B、A、C三点共线时,最大值为原理:
三角形任意两边之差小于第三边例10:
在定直线l上找一个动点C,使动点最大
作法:
作点A关于OM的对称点A',过点A'作A'C⊥ON,交OM于点B,B、C即为所求。
作法:
作点B关于l的对称点B,连接AB,交交l于点P即为所求,最大值为AB的长度。
原理:
三角形任意两边之差小于第三边
典型例题
三角形
1.如图,在等边△ABC中,AB=6,AD⊥BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,且AE=
2,求EM+EC的最小值
解:
点C关于直线AD的对称点是点B,连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小,过点B作BH⊥AC于点H,
则EH=AH–AE=3–2=1,BH=BC2-CH2=62-32=33
在直角△BHE中,BE=BH2+HE2=(33)2+12=27
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