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第四节基本不等式
第四节
基本不等式
一、基础知识批注——理解深一点
在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:
当且仅当a=b.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:
积定和最小).
(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:
和定积最大).
和定积最大,积定和最小:
两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值;积为定值时,可求其和的最小值.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)≥2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4)+≥2(a,b∈R,且a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)当a≥0,b≥0时,≥.( )
(2)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(3)x>0且y>0是+≥2的充要条件.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)×
(二)选一选
1.设a>0,则9a+的最小值为( )
A.4 B.5
C.6D.7
解析:
选C 因为a>0,所以9a+≥2=6,当且仅当9a=,即a=时,9a+取得最小值6.故选C.
2.若x>0,y>0,且2(x+y)=36,则的最大值为( )
A.9B.18
C.36D.81
解析:
选A 由2(x+y)=36,得x+y=18,所以≤=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.
3.“x>0”是“x+≥2”成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选C 当x>0时,x+≥2=2.因为x,同号,所以若x+≥2,则x>0,>0,所以“x>0”是“x+≥2”成立的充要条件,故选C.
(三)填一填
4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.
解析:
x2+2y2=x2+(y)2≥2x(y)=2,
当且仅当x=y且xy=1时等号成立.
所以x2+2y2的最小值为2.
答案:
2
5.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.
解析:
设一边长为xm,则另一边长可表示为(10-x)m,
由题知0 答案: 25 利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等. [典例] (1)已知a>2,则a+的最小值是( ) A.6 B.2 C.2+2D.4 (2)设0 (3)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则+的最小值为________. (4)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为________. [解析] (1)拼凑法 因为a>2,所以a-2>0,所以a+=(a-2)++2≥2+2=2+2,当且仅当a-2=,即a=2+时取等号.故选C. (2)拼凑法 y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立. ∵∈, ∴函数y=4x(3-2x)的最大值为. (3)常数代换法 ∵x>0,y>0,且x+2y=1, ∴+=+=1+2++≥3+2=3+2. 当且仅当=且x+2y=1,即x=-1,y=1-时,取得等号. ∴+的最小值为3+2. (4)拼凑法 因为x>0,y>0, 所以8=x+2y+x·2y≤(x+2y)+2, 令x+2y=t,则 8≤t+,即t2+4t-32≥0, 解得t≥4或t≤-8, 即x+2y≥4或x+2y≤-8(舍去), 当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立. [答案] (1)C (2) (3)3+2 (4)4 [解题技法] 基本不等式求最值的2种常用方法 拼凑法 拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意验证等号成立的条件 常数代换法 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商 [题组训练] 1.若a>0,b>0且2a+b=4,则的最小值为( ) A.2B. C.4D. 解析: 选B 因为a>0,b>0,故2a+b≥2(当且仅当2a=b时取等号). 又因为2a+b=4,∴2≤4⇒0 ∴≥,故的最小值为.故选B. 2.设x>0,y>0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是( ) A.40B.10 C.4D.2 解析: 选D 因为x+4y=40,且x>0,y>0, 所以x+4y≥2=4.(当且仅当x=4y时取“=”) 所以4≤40.所以xy≤100. 所以lgx+lgy=lgxy≤lg100=2. 所以lgx+lgy的最大值为2. 3.设a>b>0,则a2++的最小值是( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选D a2++=(a2-ab)+++ab≥2+2=4,当且仅当a2-ab=且=ab,即a=,b=时取等号,故选D. 4.已知x>0,y>0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为________. 解析: 由x>0,y>0,x+2y=xy,得+=1, 所以x+y=(x+y) =3++≥3+2. 当且仅当x=y时取等号. 答案: 3+2 [典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式. (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? [解] (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得: 当0 当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)--250=1200-. 所以L(x)= (2)当0 此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元. 当x≥80时,L(x)=1200-≤1200-2=1200-200=1000. 此时x=, 即x=100时,L(x)取得最大值1000万元. 由于950<1000, 所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1000万元. [解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. [题组训练] 1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________. 解析: 由题意,一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4≥8=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30. 答案: 30 2.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为______米时,可使总造价最低. 解析: 设泳池的长为x米,则宽为米,总造价f(x)=400×+100×+60×200=800×+12000≥1600+12000=36000(元),当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立.即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低. 答案: 15 1.(2019·长春调研)“a>0,b>0”是“ab<2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选D 当a>0,b>0时,≥,即ab≤2,当a=b时,ab<2不成立,故“a>0,b>0”不是“ab<2”的充分条件.当ab<2时,a,b可以异号,故a>0,b>0不一定成立,故“a>0,b>0”不是“ab<2”的必要条件.故“a>0,b>0”是“ab<2”的既不充分也不必要条件,故选D. 2.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy( ) A.有最大值为1B.有最小值为1 C.有最大值为D.有最小值为 解析: 选C 因为x>0,y>0,x+2y=2, 所以x+2y≥2,即2≥2,xy≤, 当且仅当x=2y,即x=1,y=时,等号成立. 所以xy有最大值,且最大值为. 3.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( ) A.B.2 C.2D.4 解析: 选C 因为+=,所以a>0,b>0, 由=+≥2=2, 所以ab≥2(当且仅当b=2a时取等号), 所以ab的最小值为2. 4.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是 ( ) A.3B.4 C.5D.6 解析: 选B 由题意知ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时取等号,故m+n的最小值为4. 5.(2019·长春质量监测)已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为( ) A.8B.9 C.12D.16 解析: 选B 由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)·=++1+4≥2+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”,故选B. 6.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值为( ) A.B. C.D.2 解析: 选D 30=4x2+9y2+3xy≥2+3xy, 即30≥15xy,所以xy≤2, 当且仅当4x2=9y2,即x=,y=时等号成立. 故xy的最大值为2. 7.设x>0,则函数y=x+-的最小值为( ) A.0B. C.1D. 解析: 选A y=x+-=+-2≥2-2=0,当且仅当x+=,即x=时等号成立.所以函数的最小值为0.故选A. 8.已知x>1,y>1,且log2x,,log2y成等比数列,则xy有( ) A.最小值B.最小值2 C.最大值D.最大值2 解析: 选A ∵x>1,y>1,∴log2x>0,log2y>0.又∵log2x,,log2y成等比数列,∴=log2x·log2y,∴由基本不等式,得log2x+log2y≥2=,当且仅当log2x=log2y时取等号,故log2(xy)≥,即xy≥.选A. 9.当3<x<12时,函数y=的最大值为________. 解析: y== =-+15≤-2+15=3, 当且仅当x=,即x=6时,ymax=3. 答案: 3 10.(2018·南昌摸底调研)已知函数y=x+(x>2)的最小值为6,则正数m的值为________. 解析: ∵x>2,m>0,∴y=x-2++2≥2+2=2+2,当x=2+时取等号,又函数y=x+(x>2)的最小值为6,∴2+2=6,解得m=4. 答案: 4 11.(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________. 解析: ∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6. ∴2a+=2a+2-3b≥2 =2=2=2×2-3=. 当且仅当即时等号成立. 答案: 12.(2018·聊城一模)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为________. 解析: 由a>0,b>0,3a+b=2ab,得+=1, 所以a+b=(a+b)=2++≥2+,当且仅当b=a时等号成立,则a+b的最小值为2+. 答案: 2+ 13.(2019·孝感模拟)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=
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