届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区高三适应性训练数学理试题解析版.docx
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届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区高三适应性训练数学理试题解析版
乌鲁木齐地区2018年高三年级高考适应性训练
理科数学(问卷)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
解一元二次不等式得到集合A,求指数函数的值域得到集合B,然后再求交集.
详解:
由题意得
,
∴
.
故选D.
点睛:
本题考查一元二次不等式的解法、指数函数值域的求法和集合的交集,主要考查学生的计算能力,属容易题.
2.设复数满足
,则
()
A.
B.
C.
D.2
【答案】C
【解析】
复数满足
=
故选
3.若
,
满足
则
的最大值为()
A.1B.4C.6D.8
【答案】C
【解析】作可行域如图,则直线
过点A(2,2)时取最大值6,选C.
4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:
松长五尺,竹长量尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的,
分别为5,2,则输出的
为()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】由程序框图可得,
时,
,继续循环;
时,
,继续循环;
时,
,继续循环;结束输出
.
点睛:
循环结构的考查是高考热点,有时会问输出结果,或是判断框的条件是什么,这类问题容易错在审题不清,计数变量加错了,没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后,最后循环进来的数是什么等问题,防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环,这样就会很好的防止出错.
5.某几何体的三视图如图所示,则其体积为()
A.4B.8C.
D.
【答案】D
【解析】由题可知,几何体是三棱锥,底面是边长为2的等腰直角三角形,且顶点到底面的距离为2,
.
6.函数
的部分图象如图所示,则其解析式可以是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析:
根据图象求得
和周期
,然后根据周期求得
的值,最后根据代点法求得
,从而可得函数的解析式.
详解:
由图象可得
,所以
,故
,
∴
.
又点
在函数的图象上,
∴
,
∴
,
∴
,∴
,
∴
.
故选A.
点睛:
根据
的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
①
的确定:
根据图象的最高点和最低点,即
;
②
的确定:
根据图象的最高点和最低点,即
;
③
的确定:
结合图象,先求出周期
,然后由
来确定
;
④
的确定:
由函数
最开始与
轴的交点(最靠近原点)的横坐标为
(即令
)确定
.
7.学校艺术节对同一类的
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:
“
或
作品获得一等奖”;
乙说:
“
作品获得一等奖”;
丙说:
“
,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:
“
作品获得一等奖”.
若这四位同学只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为对同一类的
四项参赛作品,只评一项一等奖.
对于选项A,若作品获得一等奖,则四人说法都错误,不符合题意.
对于选项B,若
作品获得一等奖,则甲、丁人说法都错误,乙丙说法正确,符合题意.
对于选项C,若作品获得一等奖,乙说法错误,其余三人说法正确,不符合题意.
对于选项D,若
作品获得一等奖,则乙丙丁人说法都错误,不符合题意.
综上可得
作品获得一等奖.选B.
8.函数
图像的一条对称轴为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析:
将函数解析式化为
后,令
求得对称轴的一般形式,对
取特殊值可得所求.
详解:
由题意得
,
令
,
得
,
当
时,
.
故
是函数图象的一条对称轴.
故选C.
点睛:
函数
的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下:
(1)函数
的图象关于直线
(其中
)成轴对称图形.
(2)函数
的图象关于点
(其中
)成中心对称图形.
9.奇函数
满足
,当
时,
,则
A.-2B.
C.
D.2
【答案】A
【解析】分析:
先由题意得到函数的周期为4,确定出
的范围,然后根据函数的周期性和奇偶性求解.
详解:
∵
,
∴
,
∴函数
的周期为4.
又
,
∴
.
故选A.
点睛:
本题考查函数的性质及指数、对数的运算,解题的关键是通过函数的周期性将求值问题转化到区间(0,1)内解决.
10.已知
,
,若
,
,使得
则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析:
由题意得若满足条件,只需
即可,故将问题转化为求函数
的最小值即可.
详解:
∵
,
,使得
,
∴
.
∵
在
上单调递增,
∴
.
又
在
上单调递减,
∴
.
∴
,解得
.
∴实数
的取值范围是
.
故选A.
11.过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
,
两点,且直线的倾斜角
,点
在
轴上方,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
由题意得到抛物线的焦点坐标,根据解三角形可得
,然后由抛物线的定义得到
,于是可得
,结合
可得
的取值范围.
详解:
∵抛物线方程为
,
∴抛物线的焦点为
,
∵点A在x轴上方,
∴
.,
由抛物线定义可知
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
的取值范围是
.
故选D.
点睛:
抛物线的定义给出了一个重要的内容:
可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可使运算化繁为简.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦问题的重要途径.
12.四面体
中,
,
,点
是
的中点,点
在平面
的射影恰好为
的中点,则该四面体外接球的表面积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析:
由题意得△BCD为等腰直角三角形,故△BCD外接圆的圆心为斜边BC的中点E,从而得到球心O在过点E且与面BCD垂直的直线上,根据条件及球心到四面体的顶点的距离相等可得球的半径,从而可求得外接球的表面积.
详解:
如图,由题意得△BCD为等腰直角三角形,且
,
∴点E是△BCD外接圆的圆心.
∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,
∴
∴
.
设球心
到平面BCD是距离为h,
则有
,
解得
,
∴四面体
外接球的半径
,
∴该四面体外接球的表面积为
.
故选A.
点睛:
解决球的内接几何体的有关题时,关键是如何确定外接球的球心,并在此基础上求出球的半径.解题时一般要用到结论:
球心在过底面多边形的外接圆圆心且与底面垂直的直线上,求球的半径时往往要用到球心到底面的距离
、底面多边形外接圆的半径和球半
径构成的直角三角形求解.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知
均为单位向量,它们的夹角为60°,那么
__________.
【答案】
.
【解析】分析:
由题意先求得
,然后再求出
即可.
详解:
由题意得
,
∴
.
点睛:
本题考查利用数量积求向量的模,主要考查学生的运算能力,属容易题.
14.某公司安排6为员工在元旦假期(1月1日至1月3日)值班,每天安排2人,每人值班一天,则6位员工中甲不在1月1日值班的概率为__________.
【答案】
.
【解析】分析:
先求出所有的基本事件总数,再求出6位员工中甲不在1月1日值班包含的基本事件数,然后根据古典概型概率公式求解即可.
详解:
由题意得基本事件总数为
,
设“6位员工中甲不在1日值班”为事件A,
则事件A包含的基本事件个数
,
由古典概型概率公式可得
,
即6位员工中甲不在1日值班的概率为
.
点睛:
本题考查古典概型和组合的应用,解题的关键是如何求得基本事件总数和6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件数.
15.在
中,角
的对边分别是
,若
,则角
角的大小为_____.
【答案】
【解析】分析:
由题意得
,然后运用余弦定理可得
,于是得到
.
详解:
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
又
,
∴
.
点睛:
本题考查运用余弦定理解三角形,解题时要注意根据
求角
时,不要忘了判断
的取值范围.
16.已知双曲线
:
的右焦点为
,过点
向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为
,交另一条渐近线于
,若
,则双曲线的离心率__________.
【答案】
.
【解析】如图所示
渐近线OM的方程为
右焦点为
,因此
,过点
向ON作垂线,垂足为P,则
.又因为
,所以
,在直角三角形
中,
,所以
,故在三角形OMN中,
,所以
所以
,即
所以
双曲线的离心率为
.
三、解答题:
第17-21题每题12分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列
是公比为2的等比数列,且
,
,
成等差数列.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)记
,
是数列
的前
项和,若
,求
的最小值.
【答案】(I)
.
(II)
的最小值为100.
【解析】分析:
(Ⅰ)根据
,
,
成等差数列可求得
,于是可得数列
的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,然后根据裂项相消法求得
,再由
,得
,从而得到
,所以
的最小值为100.
详解:
(I)∵
,
,
成等差数列,
∴
,
又数列
是公比为2的等比数列,
∴
,
解得
,
∴
.
(II)由(Ⅰ)得
,
∴
.
由
,得
,
∴
,
又
,
∴
的最小值为100.
点睛:
用裂项法求和的原则及规律
(1)裂项原则:
一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.
(2)消项规律:
消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
18.如图,在三棱锥
中,
,
,
为
的中点,且
为正三角形.
(I)求证:
平面
;
(II)若
,求二面角
的余弦值.
【答案】(I)见解析.
(II)
.
【解析】分析:
(I)由题意可得在
中,
,故得
,又
,可得
平面
,于是
;又
,故得
平面
.(II)由
平面
可得
,故
即为二面角
的平面角,解三角形可得
,故二面角
的余弦值为
.
详解:
(I)∵
为正三角形,
∴
,
,
又点
是
的中点,
∴
,
∴
,
∴
,
∴在
中,
,
∴
,
又
,
∴
平面
,
∵
平面
∴
,
又
,
∴
平面
.
(II)∵
平面
,
平面
平面
,
∴
,
∴
即为二面角
的平面角.
设
,则
,
在
中,
,
在
中,
,
在
中,
,
∴
,
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