高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义课后导练苏教版选修.docx
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高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义课后导练苏教版选修
2019-2020年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课后导练苏教版选修
课后导练
基础达标
1.i2+i3+i4对应的点在( )
A.实轴上B.虚轴上
C.第一象限D.第三象限
解析:
∵i2+i3+i4=-1-i+1=-i,∴B正确.
答案:
B
2.z1=1+2i、z2=2-i、z3=、z4=对应的点( )
A.在圆|z|=2上B.在|z|=5上
C.在圆|z|2=5上D.不共圆
解析:
∵|z1|=,|z2|=,|z3|=,|z4|=,∴C正确.
答案:
C
3.如果向量=0,则下列说法中正确的个数是( )
①点Z在实轴上 ②点Z在虚轴上 ③点Z既在实轴上,又在虚轴上
A.0B.1C.2D.3
解析:
①②③正确.
答案:
D
4.若=(0,-3),则对应的复数( )
A.等于0B.等于-3
C.在虚轴上D.既不在实轴上,也不在虚轴上
解析:
向量对应的复数为-3i.
答案:
C
5.复数2-3i对应的点在直线_________上( )
A.y=xB.y=-x
C.3x+2y=0D.2x+3y=0
解析:
复数2-3i对应的点为(2,-3),经验证在3x+3y=0上.
答案:
C
6.满足条件|z|<3的复数z在复平面内对应的点Z的集合是__________.
解析:
由复数的几何意义可知.
答案:
以原点为圆心,3为半径的圆的内部
7.已知复数z=x-2+yi的模是,则点(x,y)的轨迹方程是__________.
解析:
由|x-2+yi|=22,得(x-2)2+y2=8.
答案:
(x-2)2+y2=8
8.复数z=x+3+i(y-2),(x,y∈R)且|z|=2,则点(x,y)的轨迹方程是__________.
解析:
∵=2,
∴(x+3)2+(y-2)2=4.
答案:
(x+3)2+(y-2)2=4
9.已知|z|=2+z-4i,求复数z.
解析:
设z=x+yi(x、y∈R),则由题意知
=2+x+iy-4i=(x+2)+(y-4)i,
∴即
∴z=3+4i.
10.已知向量与实轴正向的夹角为45°,向量对应的复数z的模为1,求z.
解:
设z=a+bi(a、b∈R).
∵与x轴正向的夹角为45°,|z|=1,
∴
或
∴
∴z=或z=.
综合运用
11.实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i表示的点:
(1)在实轴上?
(2)在虚轴上?
解:
(1)当x2-2x-15=0,即x=-3或x=5时,复数z对应的点在实轴上.
(2)当x2+x-6=0,即x=2或x=-3时,复数z对应的点在虚轴上.
12.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.求|z|的值及z的实部的取值范围.
解析:
∵z是虚数,∴可设z=x+yi(x,y∈R且y≠0),
ω=z+=(x+yi)+=x+yi+
=(x+)+(y-)i,
∵ω为实数且y≠0,
∴1-=0,
即x2+y2=1,∴|z|=1此时ω=2x,
由-1<ω<2得-1<2x<2.
∴- 即z的实部的范围是(-,1) 13.已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈(0,2π),设对应的复数为z. (1)求复数z; (2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值. 解: (1)z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos2θ-1) =-1-2sin2θ·i. (2)点P的坐标为(-1,-2sin2θ), 由点P在直线y=x上,得-2sin2θ=-. 所以sin2θ=,则sinθ=±. 因为θ∈(0,2π),所以θ=,,,. 拓展探究 14.若复数z满足|z++i|≤1,求: (1)|z|的最大值和最小值; (2)|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值; (3)|z-|2+|z-2i|2的最大值和最小值. 解: (1)如下图所示,||==2. ∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. (2)|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2. ∴|z-1|2+|z+1|2的最大值为20,最小值为4. (3)如右图,在圆面上任取一点P,与复数z1=,z2=2i的对应点A、B相连,得向量,再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为 (1)的类型. 设za=,zb=2i,P为圆面上任一点,zP=z. 则2||2+2||2=||2+(2||)2 =7+4||2, ∴|z-|2+|z-2i|2=(7+4|z--i|2). 而|z--i|max=|O′M|+1=1+, |z--i|min=|O′M|-1=-1, ∴|z-|2+|z-2i|2的最大值为27+,最小值为27-. 2019-2020年高中数学第3章概率1随机事件的概率教学案北师大版必修3 1.概率 在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记为P(A). 2.频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以确切得到,常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值. 3.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但是随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可能性的大小,不能确定是否发生. 4.任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数,它度量该事件发生的可能性大小.小概率(接近于0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于1)事件不是一定发生,而是经常发生. [问题思考] 1.把一枚质地均匀的硬币连续掷1000次,其中有498次正面朝上,502次反面朝上,那么说此次试验正面朝上的频率为0.498,掷一次硬币正面朝上的概率为0.5,这样理解正确吗? 提示: 正确.由题意,正面朝上的频率为 =0.498,通过做大量的试验可以发现,正面朝上的频率都在0.5附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率是0.5.即0.498是1000次试验中正面朝上的频率;而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与每次试验无关. 2.如果某种病治愈的概率是0.3,那么10个人中,前7个人没有治愈,后3个人一定能够治愈吗? 如何理解治愈的概率是0.3? 提示: 如果把治疗一个病人作为一次试验,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个人没有治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈,也可能没有治愈. “治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加,大约有30%的人能够治愈,如果患病的有1000人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可以认为这1000个人中大约有300人能治愈. 讲一讲 1.下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数,m为硬币正面向上的次数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考查它的概率. 实验序号 抛掷的次数n 正面向上的次数m “正面向上”出现的频率 1 500 251 2 500 249 3 500 256 4 500 253 5 500 251 6 500 246 7 500 244 8 500 258 9 500 262 10 500 247 [尝试解答] 利用频率的定义,可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为: 0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在0.5附近左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为0.5. 频数、频率和概率三者之间的关系: (1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数,频率是频数与试验总次数的比值,而概率是随机事件发生的可能性的规律体现; (2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果,但它具有一定的稳定性;概率是频率的稳定值,不会随试验次数的变化而变化. 练一练 1.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下: 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 进球次数m 6 8 9 7 7 12 进球频率 (1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少? 解: (1)进球的频率依次是: 0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76. 讲一讲 2.掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ,是否意味着把它掷6次能得到1次6点? [尝试解答] 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一颗骰子得到6点的概率是 ,并不意味着把它掷6次能得到1次6点. 随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律在数量上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数没有关系. 练一练 2.掷一枚硬币,连续出现5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于 ,这种理解正确吗? 解: 不正确.掷一次硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过做大量的试验,呈现一定的规律性,即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为 .连续5次正面向上这种结果是可能的,对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面和反面的可能性还是 ,不会大于 . 讲一讲 3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法: 先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,如200只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如150只.查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量. [尝试解答] 设保护区中天鹅的数量为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,设事件A={捕到带有记号的天鹅},则P(A)= . 第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的定义可知P(A)≈ . 所以, ≈ ,解得n≈1500, 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500. 利用频率近似等于概率的关系求未知量: (1)抽出m个样本进行标记,设总体容量为n,则标记概率为 ; (2)随机抽取n1个个体,发现其中m1个被标记,则标记频率为 ; (3)用频率近似等于概率建立关系式 ≈ ; (4)求出n≈ ,注意这个n值仅是真实值的近似. 练一练 3.为了估计水库中的鱼的条数,可以使用以下的方法: 先从水库中捕出一定数量的鱼,如2000条,给每条鱼作上记号且不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让它们和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,如500条,查看其中有记号的鱼,设有40条.试根据上述数据,估计水库中鱼的条数. 解: 设水库中鱼的条数为n,从水库中任捕一条,捕到标记鱼的概率为 .第二次从水库中捕出500条,带有记号的鱼有40条,则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为 ,由 ≈ ,得n≈25000,所以水库中约有鱼25000条. 【解题高手】【易错题】 一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查,发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右.如果这个调查继续做下去,10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变).你觉得这种看法对吗? 说出你的理由. [错解] 这种看法是正确的,10年后发生事故的频率等于0.001. [错因] 频率会在某个常数附近摆动,随着试验次数的增加,摆动会越来越小,但不一定等于该常数. [正解] 这种看法是错误的.随着试验次数的增加,频率会稳定于一个常数附近,这个常数就是概率,但稳定于不一定是等于,况且0.001未必是出租车发生事故的概率. 1.下列事件: ①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形; ②经过有信号灯的路口,遇上红灯; ③从10个玻璃杯(其中8个正品,2个次品)中,任取3个,3个都是次品; ④下周六是晴天. 其中,是随机事件的是( ) A.①② B.②③C.③④D.②④ 解析: 选D①为必然事件;对于③,次品总数为2,故取到的3个不可能都是次品,所以③是不可能事件;②④为随机事件. 2.在某市的天气预报中有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为90%”,这是指( ) A.明天该地区约有90%的地方会降水,其余地方不降水 B.明天该地区约有90%的时间会降水,其余时间不降水 C.在气象台的专家中,有90%认为明天会降水,其余专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为90% 解析: 选D明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%. 3.在5张不同的彩票中有2张奖票,5个人依次从中各抽取1张,则每个人抽到奖票的概率( ) A.递减B.递增C.相等D.不确定 解析: 选C因为每个人获得奖票的概率均为 ,即抽到奖票的概率与抽取顺序无关. 4.下列事件: ①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1;②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃;③同时掷两枚大小相同的骰子,向上一面的两个点数之和不小于2;④射击一次,命中靶心;⑤当x为实数时,x2+4x+4<0.其中必然事件有________,不可能事件有________,随机事件有________.(填序号) 答案: ③ ⑤ ①②④ 5.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率是________. 解析: 由频率定义可知用电量超过指标的频率为 =0.4,频率约为概率. 答案: 0.4 6.某质检员从一批种子中抽取若干组种子,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下(单位: 粒): 种子粒数 25 70 130 700 2000 3000 发芽粒数 24 60 116 639 1806 2713 发芽率 (1)计算各组种子的发芽率,填入上表;(精确到0.01) (2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率. 解: (1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90. (2)由 (1)知,发芽率逐渐稳定在0.90,因此可以估计种子的发芽率为0.90. 一、选择题 1.“某彩票的中奖概率为 ”意味着( ) A.买100张彩票就一定能中奖 B.买100张彩票能中一次奖 C.买100张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性为 答案: D 2.抛掷一枚骰子两次,用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率,共进行了两次试验,第一次产生了60组随机数,第二次产生了200组随机数,那么这两次估计的结果相比较( ) A.第一次准确B.第二次准确C.两次的准确率相同D.无法比较 解析: 选B用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确. 3.下列结论正确的是( ) A.事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1 B.事件A发生的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76% D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖 解析: 选CA不正确,因为0≤P(A)≤1;B不正确,若事件A是必然事件,则P(A)=1;D不正确,某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖,但不一定会发生. 4.给出下列三个命题,其中正确命题的个数为( ) ①设有一批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面朝上,则硬币出现正面朝上的概率是 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 选A①②③均不正确. 5.在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%,下列解释正确的是( ) A.100个手术有99个手术成功,有1个手术失败 B.这个手术一定成功 C.99%的医生能做这个手术,另外1%的医生不能做这个手术 D.这个手术成功的可能性是99% 解析: 选D成功率大约是99%,说明手术成功的可能性是99%. 二、填空题 6.一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个,若摸出一个球为白球的概率为 ,则估计这100个球内,有白球________个. 解析: 100× =75. 答案: 75 7.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件: ①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;③在这200件产品中任意选出9件,不全是二级品;④在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于10; 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件. 解析: 200件产品中,8件是二级品,现从中任意选出9件,当然不可能全是二级品,不是一级品的件数最多为8,小于10. 答案: ③④ ② ① 8.下列说法: ①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是 ; ②甲乙两人做游戏: 抛一枚骰子,向上的点数是奇数,甲胜,向上的点数是偶数,乙胜,这种游戏是公平的; ③乒乓球比赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的; ④昨天没有下雨,则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的. 其中正确的有________(填序号). 解析: 对于②,甲胜、乙胜的概率都是 ,是公平的;对于④,降水概率为90%只说明下雨的可能性很大,但也可能不下雨,故④错误. 答案: ①②③ 三、解答题 9.高一 (2)班有50名同学,其中男、女各25人,今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学,试问: 碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大? 有人说可能性一样大,这种说法对吗? 解: 这种说法不正确.这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个,其中碰到同性同学有24种可能,碰到异性同学有25种可能,每碰到一个同学相当于做了一次试验,因为每次试验的结果是随机的,所以碰到异性同学的可能性大,碰到同性同学的可能性小. 10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位: 小时)进行了统计,统计结果如下表所示: 分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率. 解: (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足1500小时的频数是 48+121+208+223=600, 所以样本中寿命不足1500小时的频率是 =0.6,即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
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