中考数学压轴题定值问题.docx
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中考数学压轴题定值问题
定值问题
1.(2012江西南昌8分)如图,已知二次函数L1:
y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:
y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?
如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵抛物线,
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1)。
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:
对称轴为x=2;都经过A(1,0),B(3,0)两点。
②线段EF的长度不会发生变化。
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,
∴kx2﹣4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8。
解得:
x1=﹣1,x2=5。
∴EF=x2﹣x1=6。
∴线段EF的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质。
【分析】
(1)抛物线y=ax2+bx+c中:
a的值决定了抛物线的开口方向,a>0时,抛物线的开口向上;a<0时,抛物线的开口向下。
抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解。
(2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②联立直线和抛物线L2的解析式,先求出点E、F的坐标,从而可表示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化。
2.(2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,
连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y=3时相应x的值;
⑵记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
【答案】解:
(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则。
∴。
∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。
∴,即。
∴y关于x的函数关系式为。
当y=3时,,解得:
x=2.5。
(2)∵,
∴为常数。
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。
∴,化简得:
,解得:
。
∵0≤x≤2.5,∴。
在Rt△DGP中,。
【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】
(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。
(2)利用
(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。
(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度。
3.(2012山东潍坊11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线、.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
【答案】解:
(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
则解得。
∴抛物线对应二次函数的解析式所以。
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,
∴,∴x22=4(y2+1)。
又∵,∴。
又∵y2≥-l,∴ON=2+y2。
设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F,则,
∴ON=2EF,
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半,
∴以ON为直径的圆与相切。
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则,
又∵y1=kx1,y2=kx2,∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上,
∴,即x2-4kx-4=0,∴x2+x1=4k,x2·x1=-4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)=16(1+k2)2。
∴MN=4(1+k2)。
延长NP交于点Q,过点M作MS⊥交于点S,
则MS+NQ=y1+2+y2+2=
∴MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,直线与圆相切的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。
【分析】
(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。
(2)要证以ON为直径的圆与直线相切,只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。
(3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN和M、N两点到直线的距离之和,相比较即可。
4.(2012浙江义乌12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
【答案】解:
(1)把点A(3,6)代入y=kx得;6=3k,即k=2。
∴y=2x。
∴。
(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值,理由如下:
如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H.
①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,
此时。
②当QH与QM不重合时,
∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN。
∴。
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得。
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。
(3)如图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R。
∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF。
∴OC=AC=。
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC。
∴。
∴OF=。
∴点F(,0)。
设点B(x,),过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF。
∴,即。
解得x1=6,x2=3(舍去)。
∴点B(6,2)。
∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4。
∴AB=5。
在△ABE与△OED中,∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。
∴∠ABE=∠DEO。
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED。
设OE=x,则AE=﹣x(),
由△ABE∽△OED得,即。
∴。
∴顶点为。
如图3,当时,OE=x=,此时E点有1个;
当时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个.
∴当时,E点只有1个,当时,E点有2个。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质。
【分析】
(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式,根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。
(2)如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H,构造相似三角形△QHM与△QGN,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比,即为定值.需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成立。
(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED。
在相似三角形△ABE与△OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度,如图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。
设OE=x,则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式,这是一个二次函数.借助此二次函数图象(如图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个。
这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。
5.(2012广西玉林、防城港12分)如图,在平面直角坐标系O中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t秒,当t=2秒时PQ=.
(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围;
(2)连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△AEF的面积S是否随t的变化而变化?
若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.
(3)在
(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?
【答案】解:
(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,
在Rt△PCQ中,由勾股定理得:
PC==4,
∴OC=OP+PC=4+4=8。
又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4)。
t的取值范围为:
0<t<4。
(2)结论:
△AEF的面积S不变化。
∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC。
∴,即,解得CE=。
由翻折变换的性质可知:
DF=DQ=4-t,则CF=CD+DF=8-t。
S=S梯形AOCF+S△FCE-S△AOE=(OA+CF)•OC+CF•CE-OA•OE
=×8+(8-t)•-×4×(8+)。
化简得:
S=32为定值。
所以△AEF的面积S不变化,S=32。
(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF。
由PQ∥AF可得:
△CPQ∽△DAF。
∴CP:
AD=CQ:
DF,即8-2t:
8=t:
4-t,化简得t2-12t+16=0,
解得:
t1=6+2,t2=。
由
(1)可知,0<t<4,∴t1=6+2不符合题意,舍去。
∴当t=秒时,四边形APQF是梯形。
【考点】动点和翻折问题,矩形的性质,勾股定理,翻折对称的性质,相似三角形的判定和性质,梯形的性质,解一元二次方程。
【分析】
(1)由勾股定理可求PC而得点C的坐标,根据矩形的性质可得点D的坐标。
点P到达终点所需时间为8÷2=4秒,点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒,由题意可知,t的取值范围为:
0<t<4。
(2)根据相似三角形和翻折对称的性质,求出S关于t的函数关系式,由于关系式为常数,所以△AEF的面积S不变化,S=32。
(3)根据梯形的性质,应用相似三角形即可求解。
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