三年级奥数:配对求和.doc
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三年级奥数:配对求和.doc
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配对求和
引入:
被人誉为“数学王子”的高斯在年仅10岁时就以一种非常巧妙的方法很快求出1+2+3+4+5+、、、+99+100的结果。
高斯是怎样求出这个和的呢?
这就是我们要研究的这种求和的方法。
我们利用高斯的巧算方法得出这样的公式:
总和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+(项数-1)×公差
第一类题型
例题1:
计算:
1+2+3+4+5+、、、+98+99+100.
思路点拨:
此数列是一个等差数列,公差是1,我们可以利用“总和=(首项+末项)×项数÷2”的求和公式来解。
解:
1+2+3+4+5+、、、+98+99+100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)+、、、+(50+51)
=(100+1)×(100÷2)
=101×50
=5050
同步精炼:
1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+102、2+4+6+8+、、、+30
第二类题型
例题1:
计算:
2+5+8+11+14+17+20
思路导航:
本题是一个等差数列,公差是3.2、5、8、11、14、17、20,一共有7个数,如果我们仍像例1那样每两个数组成一个组,就多出一个数,那怎么办呢?
我们不妨这样想:
25811141720
+20171411852
22222222222222
7个22是154,而154是两组2到20的和,一组2到20的和一组2到20的和就是154÷2=77,由此我们得出这样的规律,当加数是单数时,就可用第一个数即前项与最后一个数(末项)相加,乘以这组数的个数(项数),再除以2,就能求出正确结果了。
其实这种方法也适用于加数的个数成双的求和:
解:
2+5+8+11+14+17+20
=(2+20)×7÷2
=22×7÷2
=77
同步精炼:
一、计算:
1、18+19+20+21+22+232、100+102+104+106+108+110+112+114
二、试用两种方法计算
1、73+77+81+85+89+932、995+996+997+998+999
三、求出下列题的和。
(1)从1到100的所有单数的和。
(2)从1到100的所有双数的和。
第三类题型
例题1:
计算:
(1)100+95+90+、、、+15+10+5
(2)1+2+3+4+、、、+99+100+99+98+、、、+3+2+1.
思路点拨:
(1)仔细观察,可以发现此数列是一个等差数列,公差是5,我们可以利用求和公式来解。
(2)通过观察发现,如果在数列中加上一个100,原式就可以得到两个相同的等差数列的和。
解:
(1)100+95+90+、、、+15+10+5
=(100+5)×20÷2
=2100÷2
=1050
(2)1+2+3+4+、、、+99+100+99+98+、、、+3+2+1
=(1+2+3+4+、、、+99+100)×-100
=(1+100)×100÷2×2-100
=101×100-100
=10100-100
=10000
同步精炼:
1、求和
(1)1+3+5+7+、、、+37+39
(2)2+6+10+14+、、、+210+214
2、计算:
4+7+10+13+、、、+298+301+298+、、、+13+10+7+4
第四类题型
例题1:
小红读一本长篇小说,第一天读了30页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多4页,最后一天读了70页,刚好读完。
问:
这本小说共有多少页?
思路导航:
每天看的页数组成等差数列,公差是4,首项是30,末项是70.要求这本小说共有多少页,应先求出小红看了多少天。
解:
天数(项数)=(末项-首项)÷公差+1
=(70-30)÷4+1=11
总页数=(30+70)×11÷2
=100×11÷2=550
练习:
1、影剧院有座位若干排,第一排有25个座位,以后每排比前一排多3个座位,最后一排有94个座位。
问:
这个影剧院共有多少个座位?
2、有一堆木材堆在一起,一共25层,第一层有3根,第二层有4根,下面每一层比上一层多一根,这堆木材共有多少根?
第五类题型
例题1:
计算:
(2+4+6+8+、、、+18+20)-(1+3+5+7+、、、+17+19)
思路点拨:
观察题中被减数与减数,可以看出都是一组公差为2的等差数列,所以先分别求出它们的和,再求差。
解法一:
(2+4+6+、、、+18+20)-(1+3+5+、、、+17+19)
=(2+20)×10÷2-(1+19)×10÷2
=22×10÷2-20×10÷2
=110-100
=10
也可以这样想:
把被减数中每一个加数分别减去减数中的每一个加数,再求和。
解法二:
(2+4+6+、、、+18+20)-(1+3+5+、、、+17+19)
=(2-1)+(4-3)+(5-4)+、、、+(18-17)+(20-19)
=10
同步精炼:
计算:
(1)1999-1998+1997-1996+、、、+3-2+1
(2)(1+3+5+、、、+79)-(2+4+6+、、、+78)
(3)100-98+96-94+92-90+、、、+8-6+4-2
第一课时课后作业:
周杰豪
一、计算
(1)1+11+21+31+、、、+101+111
(2)4+7+10+13+、、、+298+301
(3)1-2+3-4+5-6+、、、-98+99(4)260-1-2-3-4-、、、-19-20
(5)1+2+3+4+、、、+20(6)100-98+96-94+92-90+、、、+8-6+4-2
(7)(1+3+5+7+、、、+999)—(2+4+6+8+、、、+998)
二、求出所有的两位数之和。
三、解决问题
1、有10只盒子,44只乒乓球,把这44只乒乓球放到盒子中,能不能使每个盒子的球数都不相同(每个盒子中至少要放一个球)?
3、时钟每逢几时就敲几下,每半点钟时敲1下。
问:
一昼夜该时钟总共敲了多少下?
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