小学数学解题技巧大全.docx
- 文档编号:8766616
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:48
- 大小:43.65KB
小学数学解题技巧大全.docx
《小学数学解题技巧大全.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学数学解题技巧大全.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
小学数学解题技巧大全
【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算
(一)
1.特殊数题
(1)21-12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。
减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。
减数从12—89,都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。
如
210-120=(2-1)×90=90,
0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
(2)31×51
个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10,进1。
如
证明:
(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1
=100ab+10(a+b)+1
(3)26×8642×62
个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。
若个位数的积是一位数,前面补0。
证明:
(10a+c)(10b+c)
=100ab+10c(a+b)+cc
=100(ab+c)+cc(a+b=10)。
(4)17×19
十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。
原式=(17+9)×10+7×9=323
证明:
(10+a)(10+b)
=100+10a+10b+ab
=[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。
原式=(63+9)×6×10+3×9
=72×60+27=4347。
证明:
(10a+c)(10a+d)
=100aa+10ac+10ad+cd
=10a[(10a+c)+d]+cd。
(6)83×87
十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。
如
证明:
(10a+c)(10a+d)
=100aa+10a(c+d)+cd
=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式=(30+8)×(30-8)
=302-82=836。
(8)88×37
被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。
=54×10=540。
55×15
(10)125×101
三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。
125+1=126。
原式=12625。
再如348×101,因为348+3=351,
原式=35148。
(11)84×49
一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。
原式=8400÷2-84
=4200-84=4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。
在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式=8500-85=8415
不难看出这类题的积:
最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;
最低位上的两位数,是100与被乘数的差;
中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明:
设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则
如果被乘数的个位数是1,例如
31×999
在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。
71×9999=709999-70=709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为
(10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式=0.052631578947368421。
根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9,把1.9看作2,计算程序:
(1)先用0.1÷2=0.05。
(2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式:
加号前面的0.05是0.1÷2的商,后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005,就是把商向右移动一位写到被除数里,除以1.9。
这样我们又可把除数看作2继续除,依此类推。
除数末位是9,都可用此法计算。
例如1÷29,用0.1÷3计算。
1÷399,用0.1÷40计算。
2.估算
数学素养与能力(含估算能力)的强弱,直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。
已经引起世界有关专家、学者的重视,是个亟待研究的课题。
美国数学督导委员会,提出的12种面向全体学生的基本数学能力中,第6种能力即估算:
“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。
当解题或购物中需要计算时,估算可以用于考查合理性。
检验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果,估算整个算式的值大概在什么范围。
例11137+5044-3169
最高位之和1+5-3=3,结果在3000左右。
如果因为忽视小数点而算成560,依据“一个不等于零的数乘以真分数,积必小于被乘数”估算,错误立即暴露。
例351.9×1.51
整体思考。
因为51.9≈50,
而50×1.51≈50×1.5=75,
又51.9>50,1.51>1.5,
所以51.9×1.51>75。
另外9×1=9,
所以原式结果大致是75多一点,三位小数的末位数字是9。
例43279÷79
把3279和79,看作3200和80。
准确商接近40,若相差较大,则是错的。
(2)最低位估算
例如,6403+232+1578
3+2+8=13,原式和的末位必是3。
(3)规律估算
和大于每一个加数;
两个真分数(或纯小数)的和小于2;
一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数),且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和;
两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和,且小于这两个整数部分的和加上2;
奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数;
差总是小于被减数;
整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差;带分数(或带小数),与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数),且大于带分数(或带小数)减去1的差;
带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差,且大于这个差减去1;
如果两个因数都小于1,则积小于任意一个因数;
若两个因数都大于1,则积大于任意一个因数;
带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积,且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积;例如,
A<AB<B。
奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;
若除数<1,则商>被除数;
若除数>1,则商<被除数;
若被除数>除数,则商>1;
若被除数<除数,则商<1。
(4)位数估算
整数减去小数,差的小数位数等于减数的小数位数;例如,320-0.68,差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数,等于这两个数的位数和;
例如,451×7103
最高位的积4×7=28,满10,结果是3+4=7(位数)。
在整除的情况下,被除数的前几位不够除,商的位数等于被除数的位数减去除数的位数;
例如,147342÷27
14不够27除,商是4-2=2(位数)。
被除数的前几位够除,商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
例如,30226÷238
302够238除,商是5-3+1=3(位数)。
(5)取整估算
把接近整数或整十、整百、……的数,看作整数,或整十、整百…的数估算。
如1.98+0.97≈2+1,和定小于3。
12×8.5≈10×10,积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律,把能凑整的数先并起来或去括号。
例13.34+12.96+6.66
=12.96+(3.34+6.66)
=12.96+10=22.96
=3-3=0
例315.74-(8.52+3.74)
=15.74-3.74-8.52
=12-8.52=3.48
例41600÷(400÷7)
=1600÷400×7
=4×7
=28
4.提取式
根据乘法分配律,可逆联想。
=(3.25+6.75)×0.4=10×0.4
=4
5.合乘式
=87.5×10×1=875
=8-7=1
6.扩缩式
例11.6×16+0.4×36
=0.4×(64+36)
=0.4×100=40
例216×45
7.分解式
例如,14×72+42×76
=14×3×24+42×76
=42×(24+76)
=42×100=4200
8.约分式
=3×7×2=42
例2169÷4÷7×28÷13
=1988
例71988198********8÷198********91989被除数与除数,分别除
9.拆分式
10.拆积式
例如,32×1.25×25
=8×1.25×(4×25)
=10×100=1000
11.换和式
例10.1257×8
=(0.125+0.0007)×8
=1+0.0056=1.0056
例48.37-5.68
=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
=8.69-6=2.69
12.换差式
13.换乘式
例1123+234+345+456+567+678
=(123+678)×3
=801×3=2403
例2(6.72+6.72+6.72+6.72)×25
=6.72×(4×25)=672
例345000÷8÷125
=45000÷(8×125)
=45000÷1000=45
例49.728÷3.2÷25
=9.728÷(0.8×4×25)
=9.728÷80
=0.9728÷8=0.1216
例533333×33333
=11111×99999
=11111×(100000-1)
=1111100000-11111
=1111088889
综合应用,例如
=1000+7=1007
=(11.75+1.25-4.15-0.85)×125.25(转)
=[(11.75+1.25)-(4.15+0.85)]×125.25(合)
=8×125.25
=8×(125+0.25)(拆)
=8×125+8×0.25=1002
14.换除式
例如,5600÷(25×7)
=5600÷7÷25
=800÷25=32
15.直接除
17.以乘代加
例17+4+5+2+3+6
=9×3=27
如果两个分数的分子相同,且等于分母之和(或差),那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。
18.以乘代减
知,两个分数的分子都是1,分母是连续自然数,其差等于其积。
可见,各分数的分子都是1。
第一个减数的分母等于被减数的分母加1。
第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1,第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。
(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘
一个整数与一个整数部分和分子都是1,分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
例如,25×123678448
=123678448×(100÷4)
=12367844800÷4
=3091961200
21.以减代除
=1986-662=1324
3510÷15
=(3510-1170)÷10=234
22.以乘代除
例如,2.7÷4÷6×24÷27
23.以除代除
观察其特点,
24.并数凑整
例如,372+499
=372+500-1=871
56.7-12.8
=56.7-13+0.2=43.9
25.拆数凑整
例如,476+302
=476+300+2=778
9.42-3.1
=9.42-3-0.1=6.32
26.加分数凑整
应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数,其差不变”的性质,使原来减去一个带分数或带小数,变成减去整数。
例38.37-5.68
=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
=8.69-6=2.69
30.凑公因数
例如,1992×27.5+1982×72.5
=1992×27.5+(1992-10)×72.5
=1992×27.5+1992×72.5-10×72.5
=1992×(27.5+72.5)-725
=199200-725=198475
或原式=(1982+10)×27.5+1982×72.5
……
31.和差积法
32.直接写得数
观察整数和分数部分,显然原式=3。
33.变数为式
……
34.分解再组合
例如,(1+2+3+…+99)+(4+8+12+…+396)
=(1+2+3+…+99)+4(1+2+3+…+99)
=5(1+2+3+…+99)
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质,不必用2、3、5、……逐个试除。
把其中一个分解质因数,看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57=3×19,如果57和76有公有的质因数,只可能是3或19。
用3、19试除,
[57,76]=19×3×4=228。
26=2×13,65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7=910。
37.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。
其实,分解质因数在解题中很有用处。
提供新解法,启迪创造思维。
例1184×75
原式=2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
38.“1、1”法
一个整数减去一个带分数,可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数,再从1中减去分数部分。
为便于记忆,称“1、1”法。
39.“1,9,9…10”法
一个整数减去一个小数(末位不为0),可先减去比小数高位多1的数,再从9中减去其它位数,最后从10中减去末位数。
40.改变运算顺序
例1650×74÷65
=(650÷65)×74
=10×74=740
例2176×98÷49
=176×(98÷49)
=176×2=352
例37÷13×52÷4
例4102×99-0.125×99×8
=102×99-1×99
=99×(l00+1)
=9900+99=9999
41.用数据
熟记一些特殊数据,可使计算简捷、迅速。
例1由37×3=111
知37×6=111×2=222
37×15=37×3×5=555
例31000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512;
5、25、125、625。
这些数作分母的分数才能化成有限小数,不需试除。
例4特殊分数化小数
分母是5、20、25、50的最简分数,在化为小数时,把分子相应地扩大2、5、4、2倍,再缩小10、100倍。
分母是8的最简分数,分子是1、3,小数的第一位也是1、3。
分母是9的最简分数,循环节的数字和分子的数字相同。
例51~9π
1×3.14=3.146×3.14=18.84
2×3.14=6.287×3.14=21.98
3×3.14=9.428×3.14=25.12
4×3.14=12.569×3.14=28.26
5×3.14=15.7
熟记这些数值,可口算。
3.14×13=10π+3π=40.82
3.14×89=90π-π
=282.6-3.14=279.46
π×1.58
变为整数,三位数前面补0改为四位数,
这样不会把数位搞错,将结果左端的0去掉,点上小数点得4.9612。
也可从高位算起。
42.想特殊性
仔细审题,知第二个括号里的结果为0,此题得0。
所以可直接得0。
例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8-2.8)
除数为1,则商就是被除数。
43.想变式
44.用规律
例1682+702
两个连续奇(偶)数的平方和,等于这两个数之积的2倍加4的和。
原式=68×70×2+4
=9520+4=9524。
例2522-512=52+51=103
两个连续自然数的平方差,等于这两个数的和。
例318×19+20
任意三个连续自然数,最小数与中间数的乘积加上最大数的和,等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
原式=20×19-18=362。
例416×17-15×18
四个连续自然数,中间两个的积比首尾两个的积多2。
原式=2。
证明:
设任意四个连续自然数分别为a-1、a、a+1、a+2,
则a(a+1)-(a-1)(a+2)
=a2+a-a2-a+2=2。
例5一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数),乘以一个与其循环节位数相同的数,其规律适用于一些题的简算。
ABAB×CD=(AB×100+AB)×CD
=AB×100×CD+AB×CD
=(CD×100+CD)×AB
=CDCD×AB
如:
125×5×1616×78
=125×5×7878×16
=(125×8)×(5×2)×7878
=78780000
45.基础题法
在基础题上深化。
例如,
观察
(1)的解题过程,
逆用各步的结构特点,
46.巧归纳
例如,1+2+…+100+99+…+1
1~100的和为5050,再加一倍为10100,减去多加的100为10000。
但速度太慢。
有相同的行数和列数,用点或圈列成正方形的数,叫作正方形数。
由图知
1+2+3+2+1=32,
1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。
不难发现,和为最大加数的平方。
显然,
5+6+…+29+30+29+…+6+5
=302-42-4
=900-16-4=880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题
(一)
1.想数码
例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:
两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。
某同学的答数是16246。
试问该同学的答数正确吗?
(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。
思路一:
易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。
所以该同学的加法做错了。
正确答案是
思路二:
每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。
这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。
”
2.尾数法
例1比较1222×1222和1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。
知1222×1222>1221×1223
例2二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。
求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348,乙数是34。
例3请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;
由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为
142
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学 数学 解题 技巧 大全