高中数学等比数列提升题型.docx
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高中数学等比数列提升题型
高中数学等比数列提升题型
等比数列及其前n项和
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为
=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:
an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a
.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},
,{a
},{an·bn},
(λ≠0)仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
4.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
概念方法微思考
1.将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗?
若是,这两个等比数列的公比有何关系?
提示 仍然是一个等比数列,这两个数列的公比互为倒数.
2.任意两个实数都有等比中项吗?
提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.
3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?
提示 必要不充分条件.因为b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(2)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.( )
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=
.( )
(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )
题组二 教材改编
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则公比q=______.
3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为( )
A.8B.9C.10D.11
题组三 易错自纠
4.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是( )
A.
B.log2a
C.{an+an+1}D.{an+an+1+an+2}
5.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则
的值为________.
6.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则
=________.
7.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据内存8GB.(1GB=210MB)
等比数列基本量的运算
1.(2020·晋城模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q等于( )
A.5B.4C.3D.2
2.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3等于( )
A.16B.8C.4D.2
3.(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=
,则S4=________.
4.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
等比数列的判定与证明
例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=-an+n(n∈N*).
(1)求证:
数列
为等比数列;
(2)求数列{an-1}的前n项和Tn.
跟踪训练1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:
数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
等比数列性质的应用
例2
(1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{an}中,2a2019-a
+2a2021=0,数列{bn}是等比数列,且b2020=a2020,则log2(b2019·b2021)的值为( )
A.1B.2C.4D.8
(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S6=30,S9=70,则S3=________.
跟踪训练2
(1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比q=-
,该数列前9项的乘积为1,则a1等于( )
A.8B.16C.32D.64
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且
=
,则
=________(n≥2,且n∈N*).
对于数列通项公式的求解,除了我们已经学习的方法以外,根据所给递推公式的特点,还有以下几种构造方式.
构造法1 形如an+1=can+d(c≠0,其中a1=a)型
(1)若c=1,数列{an}为等差数列;
(2)若d=0,数列{an}为等比数列;
(3)若c≠1且d≠0,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下:
设an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,
与题设an+1=can+d比较系数得λ=
(c≠1),
所以an+
=c
(n≥2),
即
构成以a1+
为首项,以c为公比的等比数列.
例1 在数列{an}中,若a1=1,an+1=3an+2,则通项an=________.
构造法2 形如an+1=pan+q·pn+1(p≠0,1,q≠0)型
an+1=pan+q·pn+1(p≠0,1,q≠0)的求解方法是两端同时除以pn+1,即得
-
=q,则数列
为等差数列.
例2
(1)已知正项数列{an}满足a1=4,an+1=2an+2n+1,则an等于( )
A.n·2n-1B.(n+1)·2n
C.n·2n+1D.(n-1)·2n
(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项an等于( )
A.-3×2n-1B.3×2n-1
C.5n+3×2n-1D.5n-3×2n-1
构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1,其中a1=a,a2=b型)
可化为an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两根.
例3 数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=
an+1+
an,求数列{an}的通项公式.
构造法4 倒数为特殊数列(形如an=
型)
例4 已知数列{an}中,a1=1,an+1=
,求数列{an}的通项公式.
本次课课后练习
1.(2020·韶关模拟)若等比数列{an}的各项均为正数,a2=3,4a
=a1a7,则a5等于( )
A.
B.
C.12D.24
2.等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r,则r的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
3.(2019·天津市河西区月考)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知递增的等比数列{an}中,a2=6,a1+1,a2+2,a3成等差数列,则该数列的前6项和S6等于( )
A.93B.189C.
D.378
5.(2020·永州模拟)设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是( )
A.数列{anan+1}是公比为q的等比数列
B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列
C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列
D.数列
是公比为
的等比数列
6.若正项等比数列{an}满足anan+1=22n(n∈N*),则a6-a5的值是( )
A.
B.-16
C.2D.16
7.(多选)在等比数列{an}中,a5=4,a7=16,则a6可以为( )
A.8B.12
C.-8D.-12
8.(多选)在等比数列{an}中,公比为q,其前n项积为Tn,并且满足a1>1,a99·a100-1>0,
<0,下列选项中,结论正确的是( )
A.0<q<1
B.a99·a101-1<0
C.T100的值是Tn中最大的
D.使Tn>1成立的最大自然数n等于198
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2020,a2+a4=-2a3,则S2021=________.
10.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树状图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为
,则其最小正方形的边长为________.
11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=
.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
12.(2019·淄博模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=
,Sn=Sn-1+an-1+
(n∈N*且n≥2),数列{bn}满足:
b1=-
,且3bn-bn-1=n+1(n∈N*且n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
数列{bn-an}为等比数列.
13.各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:
an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式为________.
14.已知在等比数列{an}中,an>0,a
+a
=900-2a1a5,a5=9a3,则a2020的个位数字是____.
15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2,….设第n次“扩展”后得到的数列为1,x1,x2,…,xt,2,并记an=log2(1·x1·x2·…·xt·2),其中t=2n-1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且数列
是首项为3,公差为2的等差数列,若bn=
,数列{bn}的前n项和为Tn,求使得Sn+Tn≥268成立的n的最小值.
学生学习总结与反思
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下节课学习内容
以下是家长填写内容,请家长积极配合
(家长您好,您的回评会非常有助于我们帮助您的孩子持续提升学习效果)
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