精品函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨doc.docx
- 文档编号:8763185
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:81.15KB
精品函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨doc.docx
《精品函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《精品函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨doc.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
精品函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨doc
函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨
摘要
在高中数学课本中,凹凸函数这一概念虽未曾出现,但观察近儿年全国各地高考试题及一些有难度的高中题,涉及凹凸函数知识的题目已频繁出现.事实上,让高中生掌握一些凹凸函数的简单应用,能起到承上启下,启辿学生思维,增强学生数形结合能力的作用.例如有些对数函数,指数函数以及一些三角不等式的计算或证明,往往看起来很复杂,甚至无从下手,但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明,则会起到简捷明了、事半功倍的效果.本文通过对函数凹凸性定义和相关性质定理的介绍,探讨运用这些定理去证明一些较复杂的不等式,求取值范围,求最值以及解数形结合类的题目,以使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解,进一步提高运用这些性质定理去解决相关题目的数学能力和应用能力.这体现了函数的凹凸性在高中数学解题中的巧妙作用.
关键词:
上凸函数;下凸函数;单调性;不等式
ExploringtheConcavityandConvexityofFunctionanditsApplicationof
MathematicsinSeniorMiddleSchool
Abstract:
Althoughtheconceptoftheconcavityandconvexityoffunctionhasnotbeenintroducedinthehighschooltextbookofmathematics,manydifficultquestionsinvolvedintheconcavityandconvexityoffunctionhadappearedfrequentlyintheCollegeEntranceExamination.Infact.tosomehighschoolstudents,masteringasimpleapplicationoftheconcavityandconvexityoffunctioncanplayaconnecting,enhanceingthecapacityoffiguresandgraphics.Forexample,thecalculationandproofofsomelogarithmicfunction,exponentialfunction,aswellasthetrianglefunctionoftenlooksverycomplicated,evenimpossibletostart,buttheproblemcanbesolvedsimply,clearlyandeffectivelyusingtheconcavityandconvexityoffunction.Inthispaper.thebasicdefinitions,thecharacterandtheoremoftheconcavityandconvexityoffunctionareintroduced.Theapplicationinprovingsomecomplexinequalities,solvingtherangofthefigureandfigures-graphicsarediscussed.Sothatthestudentcanhaveamorecomprehensive,moresystematicanddeeperunderstandingandfurtherenhancetheabilityofusingthesetheoremstosolvesomerelatedproblems.ThisreflectthecleverroleoftheConcavityandConvexityofFunctionofma由ematicsinhighschool.
Keywords:
convexfunction;concavefunction;monotonicity;inequality
1引言1
2文献综述1
2.1国内外研究现状1
2.2国内外研究现状评价2
2.3提出问题2
3凹凸函数基础知识2
3.1凹凸函数的定义3
3.2凹凸函数的相关定理3
函数凹凸性在高中数学解题中的应用
4.
4.
利用函数凹凸性求取值范围
3函数凹凸性在数形结合中的应用11
4.4利用函数凹凸性求最值12
5结论13
5.1主要发现13
5.2启示13
5.3局限性13
5.4努力方向13
参考文献15
1引言
函数的叫凸性主要用于高等数学中,例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用,而高中课本中没有相关的概念.虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质,但它的身影在高考中频频出现,充分说明了高考命题源于课本,乂高于课本的原则,同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.在求解高中涉及函数的凹凸性的相关问题时,许多学生常常感到束手无策,部分学生由于计算量大和繁锁,产生厌学数学的情绪.为了解除这种困惑,培养与提高学生学习数学的兴趣,让学生掌握函数凹凸性及其在高中数学中的应用是很必要的.因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在高中数学解题中的应用两个大方面,对函数凹凸性定义、相关定理及其应用进行进一步的分析,探讨函数凹凸性在证明不等式、求取值范围以及求最值、解数形结合合问题方面的应用,皆在为解决高中有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和解题方法.
2文献综述
2.1国内外研究现状
根据所查到的相关文献资料可知,目前有关函数凹凸性在高等数学和初等数学中的研究甚多,学者们从不同的方面和角度对其进行了较为广泛的探讨,比如:
唐才祯、莫玉忠、李金继的《凹凸函数在不等式证明中的巧用》一文⑴和张建平的《琴生不等式的应用》一文⑵主要介绍了函数凹凸性的定义和詹生不等式的证明过程;谢晓强的《函数凹凸性的儿个应用》一文&和魏远金的《函数凹凸性在高考中的应用》一文"[主要论述了函数凹凸性在初等数学中的应用,解决了一些用初等数学知识难以解决的初等不等式;王强芳、魏远金的《函数凹凸性在解题中的应用》一文⑸探讨函数的凹凸性在高考数学中的应用;周再禹的《巧用函数凸性证明不等式》一文⑹探讨了用函数的凸性巧妙的来证明中学代数中的一些不等式;尚亚东、游淑军的《凸函数及其在不等式证明中的应用》一文⑺和刘海燕的《凸函数在不等式证明中的应用》一文⑻介绍了凸函数的定义性质及其在证明不等式的一些应用;郝建华的《凸函数的性质及其在不等式证明中的应用》一文⑼主要介绍了两个重要的不等式——霍尔德不等式和闵可夫斯基不等式;刘大谨的《凶函数与不等式》一文"探讨了/'⑴在区间/是四函数的充要条件;江炳新的《构造凸函数证一类不等式》一文“针对目前高考数学的部分压轴题中体现的高等数学思想方法提出在教学中要引导学生进行函数凹Hi性的探究;傅拥军的《函数I,性在不等式证明中的应用》一文”针对在中学数学中不等式的证题方法较多,技巧性强的这一特点,通过例题说明函数凸性是函数在区间变化的整体形态,对于一些不等式,可以巧妙地构造凸函数,利用凸函数加以证明;夏红卫的《凸函数与不等式》一文邱从凸函数的定义出发,得到函数的连续性,推导出Jensen不等式,并由此得到n个正数的算术平均与儿何平均之间的不等式关系;张景丽、陈蒂的《凸函数在不等式证明中的应用》一文「逐论述可导凸函数的儿何特征和性质,并举例说明它们在不等式证明中的应用;晏忠红的《凸函数的应用》一文h主要论述了用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证儿种重要的不等式,并对某些结论作一些探讨,等等;朱庆喜的《函数凹凸性的应用举例》'⑺一文主要根据函数凹凸性的定义形式通过例子反映出函I数凹凸性的简捷有效应用;王萍珠的《例说高考函数图像题的解法》-文⑻是针对高考中的函数图像题这类问题该如何解决而提出应从学会看图和学会作图两方面着手;罗志斌,曾菊华的《关于函数凹凸定义的一个注解》用一文针对不同教材的函数凹凸定义进行比较,对函数凹凸性的相关性质进行讨论,并对函数凹凸性的应用进行研究;赵春燕的《构造函数,利用函数性质证明不等式》地一文论述在构造函数的背景下运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,等等.
2.2国内外研究现状评价
综合国内外研究现状可以看出,关于函数凹凸性在高中数学中的应用的研究,仁者见仁、智者见智.其中,较大多数只对一个或儿个题目研究某一方面的问题,对高中出现的有关函数凹凸性的问题没有给出系统的归纳和分类.因此函数凹凸性在高中数学中的应用还有许多问题值得研究和探索.
2.3提出问题
经过查阅了国内外的参考文献以及对近儿年高考试题的分析,发现函数凹凸性在解决高中题时有巧妙作用,而IR前文献对用函数凹凸性来解决高中题乂没具体给出应用的归纳和分类.于是本文在查阅了相关资料后,在前人研究的基础之上,对函数凹凸性的应用做了归纳和分类,总结出函数凹凸性在证明不等式、求取值范围、解数形结合问题以及求最值方面的应用,进而培养与提高学生学习数学的兴趣,为学生解决这些问题提供史广的解题思路和解题方法.
3凹凸函数基础知识
3.1凹凸函数的定义
函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用,往往能起到事半功倍的效果,下面先介绍一下它的定义.
定义1:
如果函数,(尤)对其定义域中任意的玉,心都有如下不等式
V|[/(xj+f(x2)]
(1)
成立,则称/(尤)是下凸(凸)函数(如图1所示),当且仅当明=互时等号成立.
如果函数/.(])对其定义域中任意的明,心都有如下不等式
/(^±^)>_L[/(Xi)+/(X2)]
(2)
成立,则称丁⑴是上凸(凹)函数(如图2所示),当且仅当玉=互时等号成立.
从儿何意义来看,不等式
(1)表示定义域中任意两点羽,尤2的中点M所对应的曲线上的点Q位于弦上对应点P的下面.不等式
(2)则有相反的意义.
3.2凹凸函数的相关定理
以下儿个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要,为了使以后的解题过程更加的方便,下面做一个归纳总结.
定理1(詹生不等式)⑹若函数/(W在区间I是上四函数,则有不等式:
/'筋玉+02心+・・・+0,/〃)20|/。
|)+0/32)+・・・+04(叫)(3)
若函数/(尤)在区间I是下凸函数,则有不等式:
/("+02尤2+•.•+//〃)"01/。
1)+务,(工2)+…+(4)
其中Xje/,/〉0,i=1,2,••・,〃;q、+务+・・・+0〃=1•
定理2若/⑴是下凸函数,贝I」其对应定义域中的任意n个点知上••叫恒有:
vi[f3)+E)+•••+/(^)]
nn
当且仅当玉=x2=-=xn时等号成立.
类似地,对于上凸函数有:
f(H+'ES)+g+・・・+E].
nn
定理3/.3)为区间/上的下凸函数O对于I上的任意A, .gK^)(尤3)顼尤2)成立. x2-Xjx3-x2 定理4设函数/«)在开区间/上可导,则/«)在区间/上为上凸函数 =导函数广M)在区间/单调减少. <=>对1上的任意两点尤],巧且尤1V七,总有/(X2)(X1)+/\X1)(X2-Xj). 推论: 设函数f (1)在开区间/上存在二阶导数: (1)若对任意xe7,有."⑴>0,则,/•⑴在/上为下凸函数; (2)若对任意xel,有f\x)<(),则/'⑴在/上为上凸函数. 定理5对于上凸函数/(X)有如下简单性质: (1)若g(i)是线性函数,则函数/(x)+g(x)与/⑴凸性相同. (2)当/(%)>0时,函数[/(x)p与./•⑴的凸性相同.(sR) (3)函数/。 )与函数-f(x)>f~\x)的凸性相反. 反之对于下凸函数也有相同的性质. 对于一些比较复杂的函数凹凸性的判断,常根据定理4及推论利用导数,判断其二阶导数的正负. 3.3高中数学中常见函数的凹凸性 在高中数学中,对于一些常见函数我们可根据函数图像或求二阶导数对其凹凸性进 行判断.如二次函数),=『,因为开口向上,所以在区间(一8,+8)上是下凸函数,当然也可根据其二阶导数),〃=2〉0,得出它是下凸函数. 下面对于一些常用的,在考试中出现频率高的函数的凹凸性作一个探讨. (1)对数函数 对于对数函数),=log淫(Q>0且QQ)而言,其凹凸性如下: 若则对数函数),=log次为下凸函数;若。 〉1,则对数函数y=}og()x^J上凸函数. (2)指数函数),=ax(a>0,且。 丰1)为下凸函数. y=sinx是上凸函数,xg(0,>zr) y=sinx是下凸函数,品w(兀,2兀 (4)二次函数 对于二次函数),*『+版+冷。 0)而言,其凹凸性如下: 若。 〉0,则二次函数 y=ax2+hx+c^J下四函数;若。 <0,则二次函数y=+伙+。 为上四函数. (5)反比例函数 k 对于反比例函数),=色(4。 0)而言,其凹凸性如下: 当S0时: ■k■ 若xg(-oo,0),则反比例函数y=—(k工0)为上凸函数;若尤e(0,+8),则反比例函 数v=&(k#O)为下凸函数. X 当A<0时: k 若%e(-oo,0),则反比例函数y=—(k工0)为下凸函数;若尤e(0,+oo),则反比例函数1(5)为上凸函数. X (6)双勾函数 对于双勾函数y=ax+-(a>0yb>0)而言,其凹凸性如下: 当xe(-00,0)时,双勾函数y=ax+-(a>0,h>0)^J上凸函数;当xe(0,+co)时,双x 勾函数y=#+♦(□>0,/? >。 )为下凸函数. x 4函数凹凸性在高中数学解题中的应用 凹凸性尽管是高等数学的一个内容,但在高中数学中却有着广泛的应用,如能灵活应用,可事半功倍.在以下例题中主要采用凹凸函数性质解题,其他方法暂不介绍. 4.1函数凹凸性在证明不等式中的应用 证明不等式是高中数学的一个重点内容,也是难点内容,但若用函数凹凸性的方法证明不等式,往往会起到奇妙的效果. 【例1](2000年江西、高考)若->b>l,P=』lga・lgb,Q=: (1go+1g。 ), R=lg(¥),贝叭). 2 A.R C.Q 解: 由a>b>\得1即,恒仞1整均为正数,且互不相等,由均值定理易得P 【例2】(2005年全国高考) (1)设函数 /(x)=xlog2X+(1-x)log2(l-x),(0 (1)求/")的最小值. (2)设正数P\,P? P3,…,Py满足[+当+当+•••+%=1,求证: Pllog? Pl+P2】Og2P2+P3】Og2心…+心”l°g2心〃~ 解: ⑴依题意,设g(x)=xlog9x,则gr(x)=log9x+log9e,g"O)=』logM〉。 , .••当0 当旦仅当x=\-x,即x=l-时等号成立, 2 故/(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-X),(0 (2)由⑴知g(x)=xlog2尤在区间(0,1)为下凸函数,故有 g(Pi)+g(〃2)+…+g(P阳)、/Pi+P2+・・・+〃〃\/I、1,In 2〃 2” -2g(—M)=g(成)=打1华2T7 •••g(P|)+g(P2)+・・・+g(P2")ZF 即Pllog2P.+p2log2p2+p310g2p3+log2Pr>-n. 说明: 本题在高考的参考答案中解题过程较繁杂,利用对数函数的凹凸性则简单明了,干净利落. 【例3】a,beR例ci」,求证: a"+bn>- 2〃-1 证明: 构造上的下凸函数/(x)=r(«>i), .••5〉2号W 说明: 本题由则推广得之易,但用数学归纳法证之难,且证题的其它突破口觅之不易.由于巧妙运用了指数函数凸性,证明不等式,简洁明快. 7 【例4](2006年四川高考)已知函数/(x)=x2+-+alnx(x>0),/(x)的导函数是 广⑴对任意两个不相等的正数玉*,证明: 当6/<0时,>/(^^).22 7? 4 证明: 当。 =0时W/(x)=x2+-,f\x)=2x——/\x)=2+—>0,即f(x)为 XX 下凸函数.221 当a<0时有/(x)=X1+—+a\nx(x>0),f'M=2x-^+一, xax 4i 〃a)=2+: -->o,即心为下凸函数. xax^ 7 综上,当a<0时,/3二子+二+。 血心〉0)为下四函数,对任意两个不相等的 x,,x2,由下凸函数性质有: 」(羽)+/3)〉/(心1). 22 jrrr 【例5】己知函数f(x)=tanx,xg(0,y),若x^x2e(0,―)且尤]n? 证明: l[/(xI)+/(x2)]>/(^±^). 证明: fr(x)=(tanxY=sec2x,fn(x)=(sec2x)r=2tanxsec2x xg(0,—), 2 f"Cx)>0, ・•・/(X)在区间((),? )是下凸函数. 乂•/OX), ••.^[/'(叫)+f(尤2)]>fK;'2). 说明: 若该题采用常规方法,对三角函数式变形要求较高,利用函数凹凸性则可避免繁杂计算、变形,从而提高解题速度. 4.2利用函数凹凸性求取值范围 在高中阶段对很多学生看到求取值范围往往是无从下手,而函数的凹凸性为我们开辟了一种即简单乂易懂的新思路. 【例6](2005年辽宁高考)函数y=/(x)在区间(0,+oo)内可导,导函数广⑴是减函数,且/'(x)>0.设x0e(0,+oo),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(a: 0,/(x0))的切线方程,并设函数g(^)=kx+m. ⑴用A*0,/(x0),/r(x0)表示m; (2)证明: 当X。 e(0,+oo)时,g(x)>/(x); ⑶若关于x的不等式x2+\>ax+h>—x3[0,+oo)_t恒成立,其中。 /? 为实数,求 b的取值范围及。 与b所满足的关系. 解: ⑴函数y=/(尤)在点(x0,/(x0))处的切线方程为: y-f(x0)=/Xx0)(x-x0),整理得: y=f\xQ)x-fz(x0)x0+/(x0),所以m=fg-Kg”。 , (2)(利用定理4) •・•y=fM在区间(0,+oo)内可导且f\x)>o, : .y=/(x)在区间(0,+。 上为单调递增函数. 乂・.•导函数广(x)是减函数, /.y=/(x)在区间(0,+8)上为上凸函数,曲线y=/«)总在它任一切线的下方,即有g(x)>/(%). (3)设*(工)=x2+l(xg[0,+oo)), .../7‘3)=2尤,/2”(尤)=2>0・ 由定理4中的推论 (1)可知/? (、)在[0,+8)上为下凸函数,曲线/7(工)总在它的任一切线的上方.则与曲线/7(工)的切线平行且截距小于等于切线截距的直线满足x~+\>ax+b. 设P(XO,XO2+1)为/? (x)=A-2+l(xG[0,+O0))±任意一*点,过P的切线为 y-(xQ+1)=2x0(x-x0) 整理得: y=2xox-xo2+1(XG[0,+8)), 由o=2x()和b<\-消去x()得a<2(\-b)2(a>0,Z? <1). 设fM=-X3(xe[0,+oo)),x=0为函数J'O)的不可导点. 2 3- 当x=0时,只要/? 20即可满足ax+h>—x3. 2 o2_11_4 函数fM=-x\xe[0,+oo))可导函数,f\x)=x3,fr,M=~~x3vO,故f(x)在 (0,+oo)为上凸函数,曲线/.(x)总在它的任一切线的下方,所以与曲线/.(x)的切线平行 3-且截距大于等于切线截距的直^ax+b>-x^・ 2 2qr 设2(XO,X()3)为/'(尤)=3E[°,+°°))上任意一点,过Q的切线为: 32 y--x03(xG(0,+oo)). 整理得: .112 y=尤。 3+-^o3(XE(°,+°°))• 由a=x03和论: 琮消去尤()得: a>(2b)^(a>0,b>0). _3-. 所以不等式x~+\>ax+h>—x3对任意x€(0,+go)成立的充要条件是不等式 (2幻一5<2(1-/? )2. _\_\_ 显然,存在使上式成立的充要条件是不等式(2。 )"<2(1-3)3有解. 解此不等式得: 上JbJ土L所以b的取值范围是上立,2±笠.所以 4444
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 精品 函数 凹凸 及其 高中数学 中的 应用 探讨 doc
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)