数形结合函数方面的例题.docx
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数形结合函数方面的例题
(一)函数的图像
函数的图像是函数的一种直观表示形式,它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系;通过观察函数的图像,可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律;借助函数的图像,既有助于记忆函数的有关性质和变化规律,又有助于研究函数的性质,以及利用数形结合的方法去解决某些问题;高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。
(二)函数的作图
1、描点作图:
对一般函数的作图常采用描点作图,一般步骤是:
①确定函数的定义域;②列表;③描点;④连线成图。
2、特征值作图:
对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图,常常采用的特征值有:
最值,零点,对称轴等。
3、对称变换作图:
对对称函数的作图,可以先作出部分图像,然后利用对称性作出对称部分的图像。
基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。
设函数y=f(x),则有:
①关于点(a,b)对称的函数为:
2b-y=f(2a-x)即y=2b-f(2a-x);特别地,关于原点对称的函数为y=-f(-x);
②关于直线x=a对称的函数为:
y=f(2a-x);特别地,关于y轴对称的函数为y=f(-x);
③关于直线y=b对称的函数为:
2b-y=f(x)即y=2b-f(x);特别地,关于x轴对称的函数为y=-f(x);
4、平移变换作图:
对由基本初等函数平移得到的函数的作图,可以先作出基本初等函数的图像,然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。
平移的规律:
向坐标轴的正向平移m(>0)时,将对应的坐标减去m;向坐标轴的负向平移n(>0)时,将对应的坐标加上n。
如将y=f(x)向下平移2个单位,则得到y+2=f(x)即y=f(x)-2;将y=f(x)向左平移3个单位,则得到y=f(x+3)的图像。
5、伸缩变换作图:
对由基本初等函数伸缩得到的函数的作图,可以先作出基本初等函数的图像,然后再经水平或竖直方向上的伸缩变换得到所求函数的图像。
伸缩变换的规律:
沿坐标轴方向伸长m(>1)倍时,在对应坐标前乘以。
如将y=f(x)沿水平方向伸长2倍,则得到y=f().
6、翻折变换作图:
一般属于局部对称变换作图。
(三)函数图像的应用
1、利用函数图像,研究函数的几何性质,如单调性,周期性,奇偶性,最值,零点,值域及定义域,对称性等;
2、利用函数图像进行数形结合的思想方法解题,将代数问题转化为平面解析几何问题处理。
四、考点与典型例题
考点一 函数的图像
例1、(2008全国I卷) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车。
若把这一过程中汽车的行驶路程s看成是时间t的函数,则其图像可能是( )
【分析】首先明确路程一直在增加,所以D明显错误;汽车开始时速度较小,在单位时间内路程增加得慢,匀速行驶时路程呈直线递增,减速过程中路程增加又变慢,故选A。
【解答】A。
【点评】本题考查对图像变化趋势的实际意义的理解。
考点二 描点作图
例2、画出函数的图像。
【分析】要注意到定义域是{x|x≥0},列表描点时横坐标只取非负数。
【解答】函数的定义域为{x|x≥0},列表如下:
x
0
1
2
3
4
y
0
1
2
在坐标系中描点并连线成图:
【点评】利用描点法作图时,一要注意定义域,二要注意取“足够”多的点,过少难以确定图像的形状,过多则会给作图带来麻烦,三要注意连线时应以光滑的曲线连接。
考点三 特征值作图
例3、作函数y=x2-2x+3的图像。
【分析】这是一条开口向上的抛物线,所以要画出其图像,只需确定其最低点、与坐标轴交点及对称轴即可。
【解答】由y=x2-2x+3=(x-1)2+2,故该函数的对称轴方程为x=1,最低点坐标为P(1,2),与y轴交点为M(0,3)在坐标系中画出图像如下:
【点评】对一次函数、二次函数、反比例函数等大家都比较熟悉的简单函数的作图,我们均可采用特征值作图法,由最值点、零点、与y轴交点、对称轴等特征值确定图像的大致位置和形状。
考点四 平移变换作图
例4、作出函数的图像。
【分析】若用描点作图法,需要求出定义域以及单调性;若考虑到式子的特征,可以分离变量,将自变量集中到分母上,联系反比例函数平移去解决。
【解答】因为,故可将的图像向左平移1个单位,再向上平移1个单位,即可得到的图像。
【点评】认真分析函数的形式特征,联系基本的初等函数,寻找它们之间的异同点。
考点五 伸缩变换作图
例5、由y=f(x)的图像经怎样的变换可以得到y=2f(3x)的图像?
【分析】将y=2f(3x)化为,比较,比较变量的变化,从而有:
【解答】先保持y=f(x)的纵坐标不变,将每一点的横坐标变为原来的;然后保持横坐标不变,将每点的纵坐标变为原来的2倍,即可得到y=2f(3x)的图像。
【点评】对伸缩变换,主要考虑变换前后变量系数的变化。
考点六 翻折变换作图
例6、画出函数y=|x+1|的图像。
【分析】当x+1≥0时,函数y=x+1的图像和y=|x+1|的图像一致;当x+1<0时,y=|x+1|=-(x+1),其图像与y=x+1的图像关于x轴对称。
【解答】先作出函数y=x+1的图像,然后保持x+1≥0的图像不变,将x+1<0时的y=x+1的图像沿x轴对称地翻折,即可得到y=|x+1|的图像。
【点评】翻折变换一般只需进行局部对称变换,所以需要研究是哪个区间上的对称变换。
考点七 综合作图:
有时将几种变换手法结合起来,一般地,先考虑平移变换,再考虑伸缩变换。
例7、由函数y=f(x)的图像经怎样的变换可以得到y=2f(3x-4)-5的图像?
【分析】
【解答】先将y=f(x)的图像向右平移4个单位,再向下平移个单位;再将每一点的横坐标变为原来的,每一点的纵坐标变为原来的2倍,即可得到y=2f(3x-4)-5的图像。
【点评】对涉及两种及两种以上变换手法的函数作图,一般地,可以先将函数式整理成变换前函数式的形式,然后考察相应位置的变量间的变化关系。
如本题将函数式变形成后,就可以看出:
,从而可以清晰地知道变换关系。
考点八 利用函数图像研究函数性质
例8、已知函数的图像如图所示,则函数的解析式是 。
【分析】由图像可知,这是一个分段函数,所以在探求解析式时应分区间来探究。
【解答】当x∈[-1,0]时,y=-x-1;当x∈(0,1)时,y=x。
故
【点评】由函数图像探求其解析式一般都是在明确函数类型的前提下进行,可以先设出这种函数的一般式,然后通过特殊点坐标代入的方法确定系数的值。
考点九 利用数形结合的思想方法解题
例9、试证明:
如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图像关于直线x=a对称。
【分析】证明函数图像的对称性,一般地可以转化为图像上点的对称性来处理;本题证明f(x)的图像关于直线x=a对称,可在f(x)的图像上任取一点P,证明P关于直线x=a的对称点Q也在该函数图像上即可。
【解答】证明:
在y=f(x)的图像上任取一点P(x,y),P点关于x=a的对称点为Q(2a-x,y),则f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),故Q点坐标也满足y=f(x),故Q点也在该曲线上,因此可得:
f(x)的图像关于直线x=a对称。
【点评】结合图形进行直观感知,一方面有助于理解和记忆函数的性质,另一方面有助于得到解题思路,获得快捷的解题方法。
五、本讲涉及的主要数学思想方法
1、数形结合的思想方法:
此处所指数形结合的方法指的是在“数(式)”与“形”之间建立联系,利用“形”的直观性来解决“数(式)”的问题。
本讲内容蕴含着丰富的数形结合的可能性,处理时应注意数形联系,借助函数图像进行解题。
2、化归的思想:
借助数形结合,把有关数(式)的特征研究化归为形的几何特征的研究。
3、几何变换的思想方法:
本讲对中学数学中常见的几何图形变换的方法均进行了系统的学习,包括平移、伸缩、对称和翻折四种变换手法,学习中要善于利用这几种变换手法,将复杂函数的作图问题转化为基本初等函数的作图问题。
【模拟试题】
一、选择题
1、下列图形中不可能是函数图像的有( )
A B C D
2、向高为H的容器注水,注满为止,则注水量V与水深h的函数关系图像是( )
3、y=ax2+bx+c与y=ax+b(a≠0)在同一坐标系中的图像是( )
4、下列四个图形中,能表示以[-1,1]为定义域,以[0,1]为值域的函数关系的是( )
A、 B、
C、 D、
5、由函数f(x)=x2-1经怎样的平移可以得到函数f(x)=x2+2x+3的图像( )
A、向左平移1个单位,向下平移3个单位;
B、向左平移1个单位,向上平移3个单位;
C、向右平移1个单位,向下平移3个单位;
D、向右平移1个单位,向上平移3个单位;
6、关于函数y=|x-2|+2的对称性的描述,正确的是( )
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称
C、关于x=2对称 D、关于y=2对称
7、已知函数y=f(x)的图像经过P(1,2),则函数y=f(x-2)的图像必经过( )
A、(1,2) B、(2,2) C、(3,2) D、(4,2)
二、填空题
8、(2004.上海)设函数f(x)的图像关于原点对称,其定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图像如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 。
9、已知对一切x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),且方程f(x)=0有五个不同的根,这五个根的和为 。
三、解答题
10、试讨论函数的图像与函数的图像的关系。
11、下列函数的图像可由y=x2的图像经过怎样的“伸缩变换”而得到?
①y=x2 ②y=4x2
12、(2000.上海.文)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
①当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值。
②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数。
一、单项选择题
、两台计算机直接互连一般采用C。
A、直连网线B、1和2、3和6相互交叉的网线
C、1和3、2和6相互交叉的网线D、1和6、2和3相互交叉的网线
、100Base-TX最大的传输距离是(B)米。
A、500B、100C、200D、300
3、Softswitch位于网络的D层
A.业务层核心B、(传输)层C、接入层D、控制层
4、当路由器转发IP包时,需根据A确定下一跳。
A、IP包头中的目的地址B、IP包头中的源地址
C、IP包头中的所有内容D、以上都不是
5/29,该地址段共有A个IP地址。
A、8B、16
C、32D、64
6、在IP网络上,对语音质量影响最大的是A
A.延迟B.抖动C.丢包D.漂移
7、PING命令是用D协议实现的。
A、SMTPB、TCP
C、UDPD、ICMP
8、UTP是指C。
A、屏蔽双绞线B、同轴电缆
C、非屏蔽双绞线D、光纤
9、一个VLAN可以看做是一个B
A、冲突域B、广播域C、管理域D、自治域
10、当路由器转发IP包时,需根据(A)确定下一跳。
A、IP包头中的目的地址B、IP包头中的源地址
C、IP包头中的所有内容D、以上都不是
11、Softswitch的网络结构为B
A、分级B、平面C、星型D、环状
12、双绞线电缆中的电线相互绞合的主要作用是C。
A、减小阻抗B、增加线间电容
C、减弱噪声问题D、便于寻找线对
13、将交换机某端口上的流量复制到另一端口的技术称作B。
A、分流B、镜像
C、分频D、拷贝
14、将IP地址映射为MAC地址的协议是A。
A、ARPB、ICMP
C、UDPD、SMTP
15、删除Windows桌面上某个应用程序的快捷方式,意味着C。
A、该应用程序连同其快捷方式一起被删除
B、只删除了该应用程序,对应的快捷方式被隐藏
C、只删除了快捷方式,对应的应用程序被保留
D、该应用程序连同其快捷方式一起被隐藏
16、ATM信元的交换方式为C。
A、电路交换B、分组交换
C、电路交换和分组交换的组合D、以上都不是
17、下面有关计算机操作系统的叙述中,不正确的是B。
A、操作系统属于系统软件
B、操作系统只负责对用户操作的管理
C、UNIX是一种操作系统
D、计算机的处理器、内存等硬件资源也由操作系统管理
18、Windows2000中可用于查看TCP连接情况的命令是A。
A、netstatB、msconfig
C、tcpdumpD、ipconfig
19、十进制数224的二进制数表示方式是B。
A、00110011B、11100000
C、11111000D、11110000
20、Softswitch可以处理哪些事务A
A、控制媒体流的建立和释放B、IP包的转发C、业务逻辑的建立和解释业务逻辑的建立和解释D、音资源的播放
21.下述哪个功能不由软交换控制设备提供D
A.呼叫处理控制功能
B.接入协议适配功能
C.业务接口提供功能
D.语音编解码功能
22、ATM信元字节的大小为D字节。
A、48B、1024C、53D、64
23、在以下哪种情形下,数据报文的源IP和目的IP地址是确定的主机地C
A、广播(Broadcast);
B、组播(Multicast);
C、单播(Unicast);
D、细播(slivercast)。
24、从理论上讲,vlanid的取值范围是D
A、1-32;B、1-512;C、1-4094;D、0-4095。
25、下面关于QinQ的说法正确的是B
A、目前支持802.1q的交换机,都支持QinQ;
B、支持QinQ的交换机,支持4K×4K个vlan;
C、灵活QinQ支持的vlan数量要多于基本的QinQ支持的vlan数量;
D、QinQ就是VPLS另外一种说法。
26、以下关于组播技术描述错误的是D
A、PIM是组播路由协议,IGMP是组播成员管理协议;
B、不管采取何种方式组播,对于组播源而言,无须知道接收者的地址信息;
C、与广播相比,组播只向需要数据的终端发送数据流,而不是在整个网络中泛滥,也可以有效节省网络资源;
D、所有D类地址都可以作为组播地址使用。
27、在DSLAM上将ADSL端口的下行速率由8M改为2M后,DMT的子信道发生的变化(假设线路上不存在干扰)是D。
A、比特集中承载在频率较低的子信道上。
B、只有部分子信道承载比特。
C、各子信道均承载比特,但承载的比特数随机变化。
D、各子信道均承载比特,但承载的比特数减少。
28、、在障碍处理过程中,接续光纤时,单模光纤的接头损耗应不大于A。
A、0.2dBB、0.1dB
C、0.05dBD、0.25dB
29、在其它SNMP参数配置正确的情况下,设备的Trapsource地址如何配置一定能保证网管可以正常收到设备告警C
A、;
B、trapsource地址设置为loopback;
C、trapsource地址设置为网管添加该设备用的地址;
D、以上都可以。
30、下列这些特性,不能解决某些交换机支持vlan数量不够问题的是A
A、堆叠;
B、vlandisable;
C、ISOLATE-USER-VLAN;
D、QinQ。
二、多选题
1、以下协议中,属于路由协议的是ABC。
A、RIPB、OSPF
C、BGP
2、以下不属于公有地址的网段是ABCD。
A、.0/8
3、我公司ADSL用户使用PPPOE拨号软件进行认证时,出现“错误691”代码的可能原因有BD。
A、无法获取IP地址B、用户名或口令错误
C、ADSLModem故障D、用户帐号被锁死
4、CRC的中文含义是循环冗余校验码,其作用是AD。
A、发现代码的错误B、检验物理通道的通信质量
C、同步通信双方的时钟D、纠正代码的错误
5、关于IP包的分片机制,哪种说法是正确的?
ABCD
A、若IP包头中的DF位为1,则不进行分片。
B、若IP包头中的MF位为1,则不是最后一个分片。
C、各分片的IP包头标识字段相同。
D、分片只在目的地进行组装。
6、以下哪种DSL技术的上下行速率是对称的BC。
A、ADSLB、HDSL
C、SDSLD、VDSL
7、下列关于TCP/IP描述正确的是ABC
A、IP头中,源IP在前,目的IP在后;
B、以太网头中,目的MAC在前,源MAC在后;
C、ICMP报文头共8个字节;
D、802.1P优先级字段是在IP头中定义的。
8、以下关于组播技术描述正确的是AB
A、RPF检查是根据组播源地址在本地路由器的路由表中查找通向组播源的最佳路由;
B、与单播相比,组播不需要在源端复制多份数据流,而只需要传输一个数据流,从而可以有效地节省带宽;
C、IP组播数据既可以通过TCP传送,也可以通过UDP传送;
D、IP组播对网络资源的消耗随着接收端的增长而成比例增加。
9、使用VOIP组网进行通话,出现通话有断续的问题,该问题可能是由以下哪几个原因引起的?
ABCD
A、网络中没有配置QoS对语音流进行保证;
B、接口MTU值设置过大;
C、网络侧数据传输出现误码;
D、链路带宽太小。
10、NGN承载网和传统Internet网络之间的主要区别为BC
A、NGN承载网需要部署MPLSTE协议;
B、NGN承载网要求电信级的可靠性网络,如小于50ms的链路保护;
C、NGN承载网要求更严格的QOS保证;
D、NGN承载网需要尽量减少网络边缘设备的路由数量。
三、填空题
1、Windows2000系统中,用于修改注册表的命令是Regedit,用于查看网卡IP配置的命令是Ipconfig,跟踪数据报所经路由的命令是tracert。
2、IP网络维护管理必须遵循全程全网的原则,严格遵守IP网络运行维护的基本任务和要求。
3、DSLAM设备的维护项目及维护周期,分别为:
检查节点告警状况日;记录忙时DSLAM上联交换机端口流量月;备份系统配置数据月;统计DSLAM设备端口占用率月。
4、新设备启用应执行入网许可证制度及公司的验收测试制度。
。
5、实现多FE捆绑或单GE上联,原则上通过传输网提供上联中继,实现传输层面保护,尽量不采用光纤直驱的方式;采用光纤直驱方式时,应尽量选择不同出局光缆管道。
6、IP网络设备包括网络设备、主机设备、软件及数据、接入设备。
7、监测传输电路是否正常,原则上以IP层环测为依据。
8、在IP网络中,对于语音业务,抖动、延时以及丢包率为影响通话质量,传真成功率的主要因素。
9、IP中继电路状态监控:
指对IP骨干网、IP省网或城域网中继电路的连通性监控,及时发现网络中继故障。
10、IP地址被分为五类,其中:
A、B、C三类可用于分配给用户使用。
四、简答题
1、划分VLAN的主要目的是什么?
(5分)
答:
1)安全性:
使用三层路由所具备的安全功能,通过端口隔离可以实现VLAN之间的访问控制。
2)负载均衡:
VLAN也是通过三层路由所具备的负载均衡功能,来实现VLAN之间的负载均衡目的。
3)隔离故障:
使用VLAN的一个重要原因,就是可以实现对故障的隔离。
2、请说出对DSLAM下的宽带用户进行限速,有几种实现方式?
各个限速方式之间有什么关系?
(5分)
1)RADIUS上帐号限速
2)端口限速(或者线路模板限速)
3)通过创建PVC选择流量索引限速
3种限速同时使用时,限定速率最小的起作用。
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- 结合 函数 方面 例题