普通高等学校招生全国统一考试文科数学及参考答案解析新课标Ⅰ卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文科数学及参考答案解析新课标Ⅰ卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学文科(新课标Ⅰ卷)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为( )
A.5B.4C.3D.2
2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量等于( )
A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)
3.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z等于( )
A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i
4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.B.C.D.
5.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则AB等于( )
A.3B.6C.9D.12
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛
(第6题)
7.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10的值为( )
A.B.C.10D.12
8.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调减区间为( )
A.,k∈ZB.,k∈Z
C.,k∈ZD.,k∈Z
(第8题)
9.执行如图所示的程序框图,若输入的t=0.01,则输出的n等于( )
A.5B.6C.7D.8
(第9题
10.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)等于( )
A.-B.-C.-D.-
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r等于( )
A.1B.2C.4D.8
(第11题)
12.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a等于( )
A.-1B.1C.2D.4
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n=________.
14.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,7),则实数a=________.
15.若变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.
16.已知F是双曲线C:
x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=
2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB的值;
(2)若角B=90°,且a=,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(1)求证:
平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
(第18题)
19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响,对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量的值.
(第19题)
(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据
(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x,根据
(2)的结果回答下列问题:
①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:
对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
=,=v-u.
20.(本小题满分12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:
(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求斜率k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求MN.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e2x-alnx.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数;
(2)求证:
当a>0时,f(x)≥2a+aln.
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修41:
几何证明选讲
如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的切线,BC交圆O于点E.
(1)若D为AC中点,求证:
DE是圆O的切线;
(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.
(第22题)
23.(本小题满分10分)选修44:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程.
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2,C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
24.(本小题满分10分)选修45:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求实数a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学文科(新课标Ⅰ卷)
1.D 【解析】因为A={x|x=3n+2,n∈N}={…,2,5,8,11,14,…},所以A∩B={8,14},集合A∩B中的元素个数为2.
2.A 【解析】设C(x,y),因为=(x,y-1)=(-4,-3),所以所以
C(-4,-2),所以=(-4-3,-2-2)=(-7,-4).
3.C 【解析】设z=x+yi,因为(z-1)i=[(x-1)+yi]i=-y+(x-1)i=1+i,所以所以z=2-i.
4.C 【解析】因为从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种情况,又构成一组勾股数的情况有1种(3,4,5),所以所求概率为.
5.B 【解析】设椭圆E的标准方程为+=1,依题意得=,c=2,解得a=4,所以b2=12,所以椭圆E的标准方程为+=1,令x=-2,解得y=±3,所以AB=3-
(-3)=6.
6.B 【解析】由题意可知米堆的下底面圆半径为r==,所以米堆的体积为V=×Sh=××3××5=,所以估算出堆放的米约有≈21.94≈22(斛).
7.B 【解析】由S8=4S4,得=4×,化简得a8=a1+2a4,又d=1,可求得a1=,所以a10=a1+9d=+9=.
8.D 【解析】由图可知,T=-=1,所以T=2=,从而ω=π.由f=cos=0及图象的单调性,可知φ=.令2kπ<πx+<π+2kπ,k∈Z,解得2k- 9.C 【解析】第一次循环: S=,m=,n=1;第二次循环: S=,m=,n=2; 第三次循环: S=,m=,n=3;第四次循环: S=,m=,n=4; 第五次循环: S=,m=,n=5;第六次循环: S=,m=,n=6; 第七次循环: S=,m=,n=7.此时S=<0.01,循环结束. 10.A 【解析】当a≤1时,由2a-1-2=-3,知a无解; 当a>1时,由-log2(a+1)=-3,解得a=7, 所以f(6-a)=f(6-7)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-. 11.B 【解析】该几何体由一个半球和半个圆柱组成,圆柱的高为2r,底面半径和球的半径均为r,组合体的表面积为S=2×πr2+πr×2r+2r×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,所以r2=4,r=2. 12.C 【解析】依题意得-x=2-y+a,即f(x)=-log2(-x)+a. 因为f(-2)+f(-4)=1,所以-log22+a-log24+a=1, 即2a=1+1+2=4,所以a=2. 13.6 【解析】因为an+1=2an,即=2,所以{an}是以2为首项、2为公比的等比数列,因此Sn===126,即2n-1=63,2n=64,所以n=6. 14.1 【解析】因为f′(x)=3ax2+1,所以斜率k=f′ (1)=3a+1.又f (1)=a+2,所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),所以7-a-2=(3a+1)×1,所以a=1. 15.4 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由目标函数z=3x+y,得y=-3x+z,显然,当直线y=-3x+z经过点B时,在y轴上的截距最大,即z最大.由解得即B(1,1),所以zmax=3×1+1=4. (第15题) 16.12 【解析】如图,设F1为双曲线的左焦点,则AF=15,AF=AF1,C△APF=AP+PF+FA=AP+PF+AF1.因为PF-PF1=2a=2,所以PF=PF1+2,所以C△APF=AP+PF1+2+AF1≥AF1+2+AF1,即A,P,F1三点共线时,△APF的周长最小,为32,此时直线lAF1: y=2(x+3).联立解得x=-2,y=2,所以S△APF=S△AF1F-S△PF1F=×6×6-×6×2=12. (第16题) 17. (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cosB==. (2)由题设知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2, 故a2+c2=2ac,得c=a=,所以△ABC的面积为1. 18. (1)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以AC⊥BE. 又因为BE∩BD=B,故AC⊥平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°, 可得AG=GC=x,GB=GD=. 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x. 由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x. 由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=,故x=2. 从而可得AE=EC=ED=, 所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为, 故三棱锥EACD的侧面积为3+2. 19.
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