电子科大研究生图论0514年图论期末试题.docx
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电子科大研究生图论0514年图论期末试题
2005年研究生期末试题(120分钟)
《图论及其应用》
一、填空(15分,每空1分)
1、已知图G有10条边,4个度数为3的顶点,其余顶点的度数均小于2,则
G中至少有8个顶点.
2、m条边的简单图G中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数为
2m
3、4个顶点的非同构的简单图有11个.
4、图G1的最小生成树各边权值之和为28
5・
A
八、
510
图G1
5、若W是图G中一条包含所有边的闭通道,则W在这样的闭通道中具有最短长
度的充要条件是:
(1)每一条边最多重复经过_1_次;
⑵在G的每一个圈上,重复经过的边的数目不超过圈的长度的_一半
65阶度极大非哈密尔顿图族有_C5,_C;_.
7、在图G2中,图的度序列为(44443322),频序列为(422),独立数为3,团数为4,点色数为4,边色数为4,直径为3.
:
、选择(15分)
(1)下列序列中,能成为某简单图的度序列的是(C)
(A)(54221)(B)(6654332)(C)(332222)
(2)已知图G有13条边,2个5度顶点,4个3度顶点,其余顶点的的度数为2,则图G有(A)个2度点。
(A)2(B)4(C)8
⑶图G如(a)所示,与G同构的图是(C)
(a)
(A)
(B)
(C)
⑷下列图中为欧拉图的是(B),为H图的是(AB),为偶图的是(BC).
(A)
5•下列图中可1-因子分解的是(B)
(C)
、设和分别是(n,m)图G的最大度与最小度,求证:
2m
n
(10分).
证明:
n2md(v)n
vV(G)
2m
n
四、正整数序列(di,d2丄,dn)是
棵树的度序列的充分必要条件是
n
di2(n1)
i1
(10分).
证明:
""结论显然
n
""设正整数序列(d1,d2,L,dn)满足di2(n1),易知它是度序列。
i1
E(G)n1.
设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图,知m=
假设G不连通,则(G)2,且至少有一个分支Gi含有圈C,否则,G是森林,
有m=E(G)nn1矛盾!
从C中任意取出一条边©mw。
并在另一分支G2中任意取出一条边©2U2V2,作图
GGu1v1,u2v2U|V2,u2^
则G的度序列仍然为(did丄,dn)且(G)(G)1,这与G的选取矛盾!
所
以
G是连通的,G是树。
即(d1,d2丄,dn)—棵树的度序列。
五、求证:
在简单连通平面图G中,至少存在一个度数小于或等于5的顶点(10分).
m3n6,这与G是简单连通平
证明:
若不然,2md(v)6n6n12
vV(G)
面图矛盾。
六、证明:
(1)若G恰有两个奇度点u与V,则u与v必连通;
(2)一棵树至多只有一个完美匹配(10分).
证明;
(1)因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个,若G恰有两个奇度点u
与v,且它们不连通,那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。
所以若G恰有两个奇度点u与v,则u与v必连通。
⑵若树T有两个相异的完美匹配M1,M2,则M1M2且T[M1M2]中
的每个顶点的度数为2,则T中包含圈,这与T是数矛盾!
七、求图G的色多项式Pk(G)(15分).
图G
解:
图G的补图如图G,贝U
h(H1,x)dx2ex3jx4,其中,
r1NMH1)0,aN2(HJ2
r3N3(HJ4,匚N4(HJ1;
2
h(H2,x)hxax,其中,r1NMH2)1,hN2W2)1
Pk(G)(xx2)(2x24x3x4)k65k56[k]42[kb
八、求图G中a到b的最短路(15分).
b
图G
解1.Ai={a},t(a)=0,Ti=①
i
2力V3
3.mi=1,a2=v3,t(v3)=t(a)+l(av3)=1(最小),
T2={av3}
2.A={a,v3},bfv1,b;2)v2
3.m2=1,a3=V1,t(v1)=t(a)+I(av1)=2(最小),
T3={av3,av1}
2.A3={a,v3,w},b13)v2,b23)v2,b33)v4
3.m3=3,a4=V4,t(V4)=t(v”+I(V1V4)=3(最小),
T4={av3,av1,V1V4}
2.A4={a,V3,V1,V4},b1⑷=V2,b2⑷=V2,b3⑷=V2,b4⑷=V5
3.m4=4,a5=V5,t(V5)=t(V4)+l(V4V5)=6(最小),
T5={aV3,aV1,V1V4,V4V5}
2.A5={a,V3,V1,V4,V5},b1⑸=V2,b2⑸=V2,b3⑸=V2,b4⑸=V2,b5(5)=V2
3.m5=4,t(V2)=t(V4)+I(V4V2)=7(最小),
T6={aV3,aV1,V1V4,V4V5,V4V2}
2.A6={a,V3,V1,V4,V5,V2},b2(6)=V6,b4⑹=b,b5(6)=V6,b6(6)=V6
3.m6=6,a7=V6,t(V6)=t(V2)+I(V2V6)=9(最小),
T7={aV3,aV1,V1V4,V4V5,V4V2,V2V6}
2.A={a,V3,v1,V4,v5,v2,v6},b4⑺=b,b5⑺=b,b7⑺=b
3.m7=7,a8=b,t(b)=t(v6)+I(v6b)=11(最小),
T8={aV3,aV1,V1V4,V4V5,V4V2,V2V6,V6b}
于是知a与b的距离
d(a,b)=t(b)=11
由T8导出的树中a到b路av1v4v2v6b就是最短路。
2006研究生图论期末试题(120分钟)
一、填空题(15分,每空1分)
1、若两个图的顶点与顶点之间,边与边之间都存在对应,而且它们的关联关
系也保持其关系,则这两个图同构。
2、完全图K4的生成树的数目为;阶为6的不同构的树有棵。
3、设无向图G有12条边,已知G中度为3的结点有6个,其余结点的度数均小于3,则
G中至少有个结点。
4、具有5个结点的自补图的个数有
。
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
5、已知图G的邻接矩阵A(G)
0
1
0
1
1,顶点集合V(G)w,V2,V3,V4,V
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
则由v到V的途径长度为2的条数为
6、若Kn为欧拉图,则n=;若Kn仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路,则
n=。
7、无向完全图Kn(n为奇数),共有条没有公共边的哈密尔顿圈。
8、设G是具有二分类(X,Y)的偶图,贝UG包含饱和X的每个顶点的匹配当且仅当
,对所有SX。
9、在有6个点。
12条边的简单连通平面图中,每个面均由条边组成。
10、彼德森图的点色数为;边色数为;点独立数为
V,E的补图是().
二、单选或多选题(15分,每题3分)
1、设V1,2,3,4,5,E(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1),则图G
4
V1
V2
3、下列图中的(
V4
D
)图,V到V4是可达的。
V3
V2
V1
V1
V4
V2
AB
4、下列图中,可1—因子分解的是().
V3
5、下列优化问题中,存在好算法的是()
(A)最短路问题;(B)最小生成树问题;(C)TSP问题;(D)最优匹配问题.
三、作图题(10分)
1、分别作出满足下列条件的图
(1)、E图但非H图;
(2)H图但非E图;(3)既非H图又非E图;(4)既是H图又是E图2、画出度序列为(3,2,2,1,1,1)的两个非同构的简单图。
b
五、给出一个同构函数证明G1G2(10分)
G1
六、若图G为自补图,那么,它的阶n-负整数。
而且,图G的边有,呦°条。
4
定能够表示为4k或者4k1的形式,其中k为非
(5分)
七、设T为一棵非平凡树,度为i的顶点记为m,则n12n32n4(k2)nk。
(10
分)
八、证明:
阶数为8的简单偶图至多有16条边(5分)
九、设图G有10个4度顶点和8个5度顶点,其余顶点度数均为7。
求7度顶点的最大数量,使得G保持其可平面性(10分)
5
十、求图G的色多项式(10分)
电子科技大学研究生试卷
(考试时间:
至,共小时)
课程名称图论及其应用教师
学时60学分
教学方式讲授考核日期2007年月日成绩
考核方式:
(学生填写)
.填空题(每题2分,共12分)
1.简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数
个;
2.设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3,且2n=m+3则n=
m=
3.
一棵树有ni个度数为i的结点,i=2,3,…,k,贝y它有
个度
数为1的结点;
下边赋权图中,最小生成树的权值之和为
5、某年级学生共选修9门课。
期末考试时,必须提前将这9门
课先考完,每天每人只在下午考一门课,则至少需要天才能考完这9门课。
二.单项选择(每题2分,共10分)
1.下面给出的序列中,不是某简单图的度序列的是()
(A)(11123);(B)(22222);(C)(3333);(D)(1333).
2.
C
F列图中,是欧拉图的是()
3.下列图中,不是哈密尔顿图的是()
D
ABC
4.下列图中,是可平面图的图的是()
ABC
D
5.
F列图中,不是偶图的是(
)
三、(8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树
四,用图论的方法证明:
任何一个人群中至少有两个人认识的朋友
数相同(10分)
5.(10分)设G为n阶简单无向图,n>2且n为奇数,G与G的补图G中度数为奇数的顶点个数是否相等?
证明你的结论
6.(10分)设G是具有n个顶点的无向简单图,其边数m!
(n1)(n2)2,证明
(1)证明G中任何两个不相邻顶点的度数之和大于等于n°
(2)给出一个图,使它具有n个顶点,m£(n1)(n2)1条边,但不是哈密尔顿图。
七、(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师,要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。
已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程,钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程,孙、李、周都只熟悉数学和物理两门课程。
问能否安排他们5人每人只上一门自己所熟悉的课程,使得每门课程都有人教,说明理由
八、(10分)设G是具有n个顶点,m条边,p(P2)个连通分支的平
面图,G的每个面至少由k(k3)条边所围成,则
k(np1)
9.(10分)求下图G的色多项式Fk(G).
十、(10分)
(1)、在一个只有2个奇度点的边赋权图中,如何构造一个最优欧拉环游?
说明理由;
(2)、在一个边赋权的哈密尔顿图中,如何估计其最优哈密尔顿圈的权值之和的下界?
电子科技大学研究生试卷
(考试时间:
至,共_2_小时)
课程名称图论及其应用教师
学时50学分
教学方式讲授考核日期2008年月日成绩
考核方式:
(学生填写)
.填空题(每题2分,共20分)
1.若n阶单图G的最大度是,则其补图的最小度(G)=
2.
若图g(mm),G2(压口2),贝卩它们的联图gGiG2的顶点
;边数二
3.
G是一个完全I部图,n是第i部的的顶点数i=1,2,3,…,1。
则它的边数为;
4.下边赋权图中,最小生成树的权值之和为
5.若GKn,则G的谱spec(G);
6.5个顶点的不同构的树的棵数为;
7.5阶度极大非哈密尔顿图族是;
8.G为具有二分类(X,Y)的偶图,贝SG包含饱和X的每个顶点的匹
配的充分必要条件是
9.3阶以上的极大平面图每个面的次数为;3阶以上的极大外
平面图的每个内部面的次数为
10.n方体的点色数为;边色数为。
二.单项选择(每题3分,共12分)
1.下面给出的序列中,不是某图的度序列的是()
(A)(33323);(B)(12222);(C)(5533);(D)(1333).
2.设V(G)=1,2,3,4,5,E(G)
(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)
则图G(V,E)的
补图是()
4
2
3
3.下列图中,既是欧拉图又是哈密尔顿图的是()
(A)
(B)
(C)
4.下列说法中不正确的是()
(A)每个连通图至少包含一棵生成树;
(B)k正则偶图(k>0)一定存在完美匹配;
(C)平面图G(G*)*,其中G*表示G的对偶图;
(D)完全图K2n可一因子分解。
三、(10分)设图G的阶为14,边数为27,G中每个顶点的度只可能为3,4或5,且G有6个度为4的顶点。
问G中有多少度为3的顶点?
多少度为5的顶点?
四,(10)证明:
每棵非平凡树至少有两片树叶(10分)
5.(10分)今有a,b,c,d,e,f,g七个人围圆桌开会,已知:
a会讲
英语,b会讲英语和汉语,c会讲英语、意大利语和俄语,d会讲日语和汉语,e会讲德语和意大利语,f会讲法语、日语和俄语,g会讲法语与德语。
给出一种排座方法,使每个人能够和他身边的人交流(用图论方法求解)。
6.(10分)设l是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号,若标号对应的相等子图Gi含完美匹配M*,则M*是G的最优匹配。
7.(10分)求证:
在n阶简单平面图G中有2n4,这里是G
的面数。
八、(10分)来自亚特兰大,波士顿,芝加哥,丹佛,路易维尔,迈阿密,以及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛,其中每支队都被安排与一些其它队比赛(安排如下所示)。
每支队同一天最多进行一场比赛。
建立一个具有最少天数的比赛时间表。
亚特兰大:
波士顿,芝加哥,迈阿密,纳什维尔波士顿:
亚特兰大,芝加哥,纳什维尔芝加哥:
亚特兰大,波士顿,丹佛,路易维尔丹佛:
芝加哥,路易维尔,迈阿密,纳什维尔路易维尔:
芝加哥,丹佛,迈阿密
迈阿密:
亚特兰大,丹佛,路易维尔,纳什维尔
纳什维尔:
亚特兰大,波士顿,丹佛,迈阿密
(要求用图论方法求解)
9.(8分)求下图G的色多项式R(G).
电子科技大学研究生试卷
(考试时间:
至,共_2_小时)
课程名称图论及其应用教师学时_60_学分—
教学方式讲授考核日期_2009—年___月日成绩
题
院…
学二
答
考核方式:
(学生填写)
1.填空题(每题2分,共20分)
1若自补图G的顶点数是10,则G的边数m(G)=;
2.若图Gi(m,mi),G2(n2,m2),则它们的积图GGiG2的顶点数
=;边数=;
3.具有m条边的简单图的子图个数为;
4.设G=Kn,则其最大特征值为;
5.设G是n阶的完全I等部图,则其边数m(G)二
6.下图Gi中最小生成树的权值为;
7.6阶度极大非哈密尔顿图族是;
8.K9的2因子分解的数目是;
9.n(n》3)阶极大外平面图内部面个数为;3阶以上的极大
平面图的边数m和顶点数n的关系为;
10.下图G的点色数为;边色数为。
2.单项选择(每题3分,共12分)
1.下面给出的序列中,不是某图的图序列的是()
(A)(11123);(B)(22222);(C)(3333);(D)(1333).
2.下列有向图中是强连通图的是()
000®>
(A)(B)(C)(D)
3.关于n方体Q(n>3),下面说法不正确的是()
(A)Qn是正则图;(B)Qn是偶图;(C)Qn存在完美匹配;(D)Qn是欧拉图。
4.关于平面图G和其几何对偶图G的关系,下列说法中不正确的是
()
(A)平面图G的面数等于其对偶图的顶点数;
(B)平面图G的边数等于其对偶图的边数;
(C)平面图G(G*)*,其中G*表示G的对偶图;
(D)平面图的对偶图是连通平面图。
三、(10分)设根树T有17条边,12片树叶,4个4度内点,1个3度内点,求T的树根的度数。
四,(10分)证明:
若图G的每个顶点的度数为偶数,则G没有割边。
5.(10分)设G是一个边赋权完全图。
如何求出G的最优哈密尔
顿圈的权值的一个下界?
为什么?
6.(10分)求证:
偶图G存在完美匹配的充要条件是对任意的
SV(G),有SN(S)
7.(10分)求证:
若G是连通平面图,且所有顶点度数不小于3,
则G至少有一个面f,使得deg(f)5。
八、(10分)一家公司计划建造一个动物园,他们打算饲养下面这些动物:
狒狒(b)、狐狸(f)、山羊(g)、土狼(h)、非洲大羚羊(k)、狮子(I)、豪猪(p)、兔子(r)、鼩鼱(s)、羚羊(w)和斑马⑵。
根据经验,动物的饮食习惯为:
狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊(幼年)、兔子和鼩鼱;狐狸喜欢吃山羊、豪猪、兔子和鼩鼱;土狼喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马;狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马;豪猪喜欢吃鼩鼱和兔子;而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。
公司将饲养这些动物,希望它们能自由活动但不能相互捕食。
求这些动物的一个分组,使得需要的围栏数最少。
(要求用图论方法求解)
9.(8分)求下图G的色多项式R(G).
电子科技大学研究生试卷
(考试时间:
至,共_2_小时)
课程名称图论及其应用教师
学时60学分
教学方式讲授考核日期2010年月日成绩
考核方式:
(学生填写)
.填空题(每题2分,共20分)
1.若自补图G的顶点数是n,则G的边数m(G)=
2.若图G1(mm),G2(n2,m2),贝卩它们的联图GGG2的顶点
;边数二
3.下图G中u与v间的最短路的长度为
4.设A(aj)nn是图G的推广的邻接矩阵,则Ak(aj(k))nn(k是正整
的aij(k)表示的意义为
5.设GKn,贝SG的谱SpecA(G)二
6.设8阶图G中没有三角形,则G能够含有的最多边数为
;7.三角形图的生成树的棵数为
8.G2的点连通度与边连通度分别为;
9.n=5的度极大非H图族为;
10.n方体(n1)的点色数为;边色数为。
2.单项选择(每题3分,共12分)
1.下面命题正确的是()
(A)任意一个非负整数序列均是某图的度序列;
n
(B)设非负整数序列(d1,d2,L,dn),贝S是图序列当且仅当di为
i1偶数;
(C)若非负整数序列(d1,d2,L,dn)是图序列,则对应的不同构的
图一定唯一;
(D)n阶图G和它的补图G有相同的频序列.
2.下列有向图中是强连通图的是()
000
(A)(B)(C)(D)
3.关于欧拉图与哈密尔顿图的关系,下面说法正确的是()
(A)欧拉图一定是哈密尔顿图;
(B)哈密尔顿图一定是欧拉图;
(C)存在既不是欧拉图又不是哈密尔顿图的图;
(D)欧拉图与哈密尔顿图都可以进行圈分解。
4.下列说法中正确的是()
(A)任意一个图均存在完美匹配;
(B)k(k1)正则偶图一定存在完美匹配;
(C)匈牙利算法不能求出偶图的最大匹配,只能用它求偶图的完美匹配;
(D)图G的一个完美匹配实际上就是它的一个1因子。
三、(10分)若阶为25且边数为62的图G的每个顶点的度只可能为
3,4,5或6,且有两个度为4的顶点,11个度为6的顶点,求G中
5度顶点的个数。
4,(8分)求下图的最小生成树(不要求中间过程,只要求画出
最
小生成树,并给出T的权和)
5.(8分)求下图的k色多项式。
6.(8分)设G是一个边赋权完全图。
如何求出G的最优哈密尔
顿圈的权值的一个下界?
为什么?
7.(8分)求证:
设G1是赋权完全偶图GKn,n的可行顶点标号I对应的相等子图,若M是G|的完美匹配,则它必为G的最优匹配。
8.(8分)求证:
若n为偶数,且(G)号1,则G中存在3因子。
九、(10分)一家公司计划建造一个动物园,他们打算饲养下面这些
动物:
狒狒(b)、狐狸(f)、山羊(g)、土狼(h)、非洲大羚羊(k)、狮子(I)、豪猪(p)、兔子(r)、鼩鼱(s)、羚羊(w)和斑马⑵。
根据经验,动物的饮食习惯为:
狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊(幼年)、兔子和鼩鼱;狐狸喜欢吃山羊、豪猪、兔子和鼩鼱;土狼喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马;狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马;豪猪喜欢吃鼩鼱和兔子;而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。
公司将饲养这些动物,希望它们能自由活动但不能相互捕食。
求这些动物的一个分组,使得需要的围栏数最少。
(要求用图论方法求解)
十.(8分)求证,每个5连通简单可平面图至少有12个顶点
电子科技大学研究生试卷
(考试时间:
至,共_2_小时)
课程名称图论及其应用教师
学时60学分
教学方式讲授考核日期2011年月日成绩
考核方式:
(学生填写)
.填空题(每空1分,共22分)
1.若n阶单图G的最小度是,则其补图的最大度(G)=
2.若图G(mm),G2(n2E2),则它们的积图GG1G?
的顶点数
;边数二
3.设A是图G的推广邻接矩阵,则An的i行j列元q⑴等于由G中
顶点Vi到顶点Vj的长度为
的途径数目。
.完全图Kn的邻接矩阵的最大特征值为
5.不同构的3阶单图共有
个。
6.设n阶图G是具有k个分支的森林,则其边数m(G)
7.n阶树(n3)的点连通度为
;边连通度为
色数为
;若其最大度为,则边色数为
8.图G是k连通的,则G中任意点对间至少有
条内点不交
9.5阶度极大非哈密尔顿图族
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- 电子科 研究生 0514 年图论 期末 试题
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